Cerrado [Desafío 1.21] La divina pendiente

[La esfinge]

¡Hola a todos!

Como hacía demasiado tiempo que no visitaba el Monte Olimpo, aquí me tenéis de nuevo. La verdad es que últimamente paso más tiempo en las alturas que en Giza. Esta vez mi anfitrión es el fortachón de Ulises.

No sé si será para desquitarse de los traumas de la infancia, pero el buen héroe se ha encaprichado con organizar pruebas para que participen los mortales. Lo último que se le ha metido entre ceja y ceja es organizar la subida ciclista al Olimpo. La idea ha entusiasmado al resto de dioses, a quien les encanta la idea de acoger cerca de sus divinas mansiones de cristal la llegada a meta de tan épica prueba contra reloj. Incluso afrodita se había ofrecido como premio, pero eso es otra historia...

Lo que ahora preocupa al también llamado Odiseo es recibir la autorización de la Unión Ciclista Internacional, que le pide por lo menos presentar la pendiente media del puerto de montaña; aunque es un mérito añadido pormenorizar la pendiente del recorrido por tramos. Resulta que sobre las laderas de esta sagrada montaña corre la maldición que impide el uso de plomadas. Al parecer, fue un deseo del propio Poseidón, que temía que el uso de todo tipo de péndulos por parte de los mortales, ladrones de agua.

Para evitar una confrontación directa con el diós acuático, Ulises ha decidido acudir a todos vosotros, amigos de La web de Física, para que le sugiráis como podría medir, por lo menos, la pendiente media de la ladera por la que se realizará la escalada. Y si vuestro método puede funcionar tramo a tramo, ¡mejor!

[La esfinge]

Re: [Desafío 1.21] La divina pendiente

El resultado de este desafío es el siguiente:

Pos	Nombre	Puntos	Reputación
1	Alefriz	20	50
2	N30f3b0	12	30
3	Ricardo_Gibbs	8	20
4	raramigo	0	0
4	MadScientist	0	0
4	Tronco	0	0

[[Beto]]

Respuesta [Desafío 1.21]

Para calcular la pendiente, lo que se me ocurre es hacer rodar un cuerpo (ya sea una rueda, un cilindro, una esfera) un determinado tramo $L$ y calcular el tiempo que le toma en recorrer esa distancia.

Si considero que el rodamiendo es tal que no hay deslizamiento, lo cual implicaría que $v=\omega R$, y además que por conservación de la energía mecánica se tiene que:

$$T_{To}+T_{Ro}+U_o=T_{Tf}+T_{Rf}+U_f$$

Al tomar como nivel de referencia la base de la pendiete, y si el cuerpo parte del reposo:

$$mgx\sin\theta=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}I\underbrace{\left(\frac{v}{R}\right)^2}_{\omega^2}$$

De donde despejando se tiene que:

$$v=\frac{\dd x}{\dd t}=\sqrt{\frac{2gx\sin\theta}{1+(I/mR^2)}}$$

Luego:

$$\int_0^L\sqrt{\frac{1+(I/mR^2)}{2gx\sin\theta}}\dd x=\int_0^t\dd t$$

Con lo que se obtiene el tiempo que le tomaria en desplazasse una distancia $L$:

$$t=\sqrt{\frac{2L[1+(I/mR^2)]}{g\sin\theta}}$$

Y finalmente el ángulo de inclinación de la pendiente sería:

$$\theta=\arcsin\left(\frac{2L[1+(I/mR^2)]}{gt^2}\right)$$

Midiendo el tiempo y la distancia que vaya a recorrer, es un método sencillo para calcular que tan inclinada está la pendiente, y por ejemplo dependiendo del cuerpo al que se haga rodar se tendría que:

Cuerpo	Momento de inercia ($I$)	Ángulo de Inclinación ($\theta$)
Aro	$mR^2$	$\dst\arcsin\left(\frac{4L}{gt^2}\right)$
Esfera macisa	$\dst\frac{2}{5}mR^2$	$\dst\arcsin\left(\frac{14L}{5gt^2}\right)$
Esfera hueca	$\dst\frac{2}{3}mR^2$	$\dst\arcsin\left(\frac{10L}{3gt^2}\right)$

[raramigo]

Levantamiento topográfico del itinerario

No sé si es porque no lo he acabado de entender pero.....¿no sería tan fácil como hacer un levantamiento topográfico con un equipo GPS o una Estación Total, taquímetro o similares?.

Saludos.

[alefriz]

la divina pendiente

Buenas,

Hay varias formas de calcular la pendiente del monte, sin usar péndulos ni plomadas. Se me ocurre que la más sencilla es la siguiente:

Una forma de calcular la pendiente por tramos es emplear un recipiente cilíndrico transparente con agua en su interior. El recipiente ha de estar calibrado, es decir, conocer su diámetro $D$ y la altura inicial del agua en su interior $h_o$ (empleando un volumen conocido de agua). Para ello se montará una regla por el interior del recipiente.

La superficie del agua, al ser una superficie equipotencial, será siempre paralela a la horizontal (siempre y cuando el recipiente esté en reposo) independientemente de que el plano de apoyo del recipiente sea horizontal o inclinado (VER IMAGEN ADJUNTA). El agua en el punto A baja una altura $\Delta h$ respecto a la altura inicial $h_o$, y el punto B sube la misma altura $\Delta h$, que mediremos en la regla.

Al situar el recipiente en un plano inclinado, el nivel del agua marcará una altura diferente sobre la regla respecto a la altura inicial, y al conocer el diámetro del recipiente, conocemos directamente la inclinación del suelo por trigonometría simple:

$$tan \theta = \frac{2\cdot \Delta h}{D} \longrightarrow Pendiente (\%) = 100 \cdot tan \theta$$

De esta forma, podemos medir la pendiente del monte por tramos con una buena aproximación, simplemente trasladando el recipiente a donde queramos. También podremos sacar la pendiente media haciendo la media de las pendientes obtenidas.

[Ricardo_Gibbs]

A la antigua usanza

[FONT=Times New Roman]Para conocer la pendiente media de la montaña debemos conocer su altura y su base, desde el centro de la montaña hasta el inicio de la ladera, es decir la longitud de los segmentos OH’ y CO del gráfico.[/FONT]

[FONT=Times New Roman]El método a seguir consiste en medir el avance de la sombra de la montaña y el de un palo vertical. [/FONT]
[FONT=Times New Roman]La geometría simplificada de la montaña (triangulo gris) y la del palo permiten establecer una serie de relaciones geométricas basadas en triángulos:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Sabemos que los rayos de luz, las proyecciones de las sombras, el palo y el eje vertical de la montaña forman triángulos equivalentes, ya que los ángulos son los mismos. [/FONT]
[FONT=Times New Roman]Esto se debe a que los rayos del sol son paralelos. Por lo tanto, estos triángulos serán proporcionales. De esta forma, midiendo y conociendo distancias en el palo, las proporciones se deben conservar en la montaña.[/FONT]

[FONT=Times New Roman]El proceso consiste en lo siguiente:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Paso 1: Colocamos un palo, de longitud conocida, en posición vertical justo al lado del pie de la montaña (segmento de color verde O-H)[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Paso 2: Simultáneamente (con ayuda de un compañero), marcamos en el suelo el extremo de la proyección de la sombra del palo, es decir, el punto A, y el extremo de la proyección de la sombra de la montaña, es decir, el punto A’. Estas marcas nos facilitaran las medidas posteriormente (La sombra se mueve y no podemos perder el tiempo midiendo). [/FONT]

[FONT=Times New Roman]Paso 3: Dejamos pasar un tiempo para que la sombra se desplace.[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Paso 4: Igual que en paso 2, marcamos los extremos de las nuevas sombras del palo y la montaña. Puntos B y B’.[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Paso 5: Medimos distancias: [/FONT]
[FONT=Times New Roman]BA[/FONT]
[FONT=Times New Roman]B’A’[/FONT]
[FONT=Times New Roman]AO[/FONT]
[FONT=Times New Roman]A’C[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Paso 6: Calculamos las distancias que nos faltan según las ecuaciones del gráfico adjunto.[/FONT]

[MadScientist]

Desafío

Hola,

Bueno es mi primer "posteo" así que seré breve:

Básicamente tendrían que obtener la función continua por la que viene dado dicho recorrido y luego calcular la pendiente punto a punto mediante la derivación. La función f(x) por la cual viene dado el recorrido seguramente la conoce el dios que creo la colina, y en el caso de que este la halla perdido, simplemente podrían hacer una regresión lineal en base a muchas coordenadas (X,Y) de el recorrido para obtener una muy buena aproximación de la funcion f(x) que lo representa, y asi poder obtener la pendiente punto a punto.

Saludos

Téc. M! (Me habría gustado ese "nick" )

[Tronco]

Se puede medir la presiòn atmosfèrica en el puerto y en la cima del monte con un baròmetro. Sacando la diferencia de presiòn, tendremos la dierencia de alturas y midiendo la longitud del camino podermos tener la pendiente media total. Si tomamos puntos intermedios paramedir la presiòn atmosférica y las distancias correspondientes podremos calcular las pendientes por tramos.


Si pudiéramos tener en varios puntos de la montaña lugares desde donde arrojar un objeto pesado (para que la fricción del aire no juegue un papel importante) desde estos puntos y hacer que caiga el en puerto (o la misma cota), midiendo eltiempo de caída libre, podremos calcular las alturas correspondientes y midiendo, además, las distancias, obtendrìamos las pendientes.


Si la pendiente del monte es constante, podemos lanzar a rodar una bola pesada (para que el rozamiento no juegue un papel importante) y medir el tiempo que tarda en llegar al pie del monte. Tednríamos un mruv y calculando la aceleración de bola calcularìamos las componentes de la fuerza y así podríamos obtener el ángulo de la pendiente de la ladera.