1r ciclo Determinar la función de onda

[erza]

Hola a todos!
Me he puesto a estudiar Cuántica, y se me ha ocurrido coger este problema, que parece que lo que pide calcular es como las bases del tema y me he dicho, ¡voy a hacerlo! Pero como siempre me pasa en estos casos, me he atascado a la primera. Este es el problema:

Una partícula se encuentra sometida a un cierto potencial unidimensional de manera que su estado en t=0 viene descrito por la función de onda:

$\Psi(x,0)=N(\Psi_{1}(x)-\displaystyle\frac{i}{2}\Psi_{2}(x))$

donde $\Psi_{n}(x)$ son los estados propios normalizados del Hamiltoniano correspondientes a las energías $E_{n}$
El problema tiene varios apartados, pero lo primero que me pide es que escriba la función de onda $\Psi(x,t)$ para t>0 en función de $\Psi_{1}$ y $\Psi_{2}$; y normalizarla.
La verdad, estoy completamente atascada, agradecería que alguien me guiara.
Muchas gracias!

[pod]

Re: Determinar la función de onda

En primer lugar, normaliza. Debería ser muy sencillo, ya que las $\Psi_n$ son ortonormales, así que no tienes que hacer la integral,

$$\int \dd x\ \Psi_n^*(x) \Psi_m(x) = \delta_{nm} .$$

Para la evolución temporal, no sé exactamente como lo habrás estudiado. Una de las formas es poner el operador de evolución temporal, si sabes lo que es aplicalo y te saldrá enseguida.

La forma un poco más larga es usar la ecuación de Schödinger dependiente del tiempo,

$$- i \hbar \partial_t \Psi(x, t) = H \Psi(x, t) .$$

La función de onda, en general, tendrá la forma

$$\Psi(x, t) = N \Big( a(t) \Psi_1(x) - \frac i 2 b(t) \Psi_2 \Big) .$$

Al aplicarlo, lo que tienes que tener en cuenta es que $H \Psi_n = E_n \Psi_n$. Así que básicamente puedes igualar los coeficientes de cada función propia del hamiltonano, y te quedarán ecuaciones del tipo

$$- i\hbar a' = E_1 a, \qquad - i\hbar b' = E_2 b .$$

Las soluciones son exponenciales complejas con la energía. Esto siempre es así, así que a la práctica siempre puedes poner las exponenciales con la energía que toca y tan tranquila.

Salvo error u omisión, debería darte algo tal que así

$$\Psi(x, t) = \frac{2}{\sqrt5} \eee{- i E_1 t/\hbar} \Psi_1(x) - \frac i {\sqrt5} \eee{-i E_2 t/\hbar} \Psi_2(x) .$$