Duda: energía y modelo corpuscular de la materia

[Jorgee]

Re: Duda: energía y modelo corpuscular de la materia

Y, otro detalle: me estoy dando cuenta que en todos mis libros dan el tema de la energía eléctrica analizando primero las distribuciones discretas y, después, las continuas. Las discretas son analizadas con todo lujo de detalles pero con las continuas se limitan a decir "se haría así" (y convierten el sumatorio en una integral).

[Entro]

Re: Duda: energía y modelo corpuscular de la materia

Si te das cuenta:

$\frac{\partial \rho}{\partial t}dt=d\rho$

Eso es la diferencial de densidad de carga. Multiplicado por el diferencial de volumen:

$d\rho dv = dq$

Es el elemento de carga

$dq\phi(r)=dE$

Es el diferencial de energía.

Así que toma un cuerpo con una distribución contina de carga, partelo en infinitos trozos infinitesimales de carga, como si fueran particulitas, y calcula la energía de cada uno de ellos, luego sumalos (integra) y verás que justo te sale lo que buscas.

[pod]

Re: Duda: energía y modelo corpuscular de la materia

A ver. Todo este lío sale de una fórmula que vi en el "Introduction to electrodynamics" de Griffiths.

Según el libro, el trabajo realizado durante un dt por las fuerzas eléctricas (originadas en cargas libres o en las cargas de polarización de dieléctricos) sobre las cargas libres del sistema viene dado por la siguiente integral volumétrica:



Donde (rho sub l) es la densidad de carga libre y (phi de r) es el potencial eléctrico en el instante t. Por cierto, me doy cuenta de que falta un signo menos.

Se trata de una forma "distinta" de contabilizar la energía que acaba llevando a la idea de que la energía se almacena en el campo.

El caso es que no soy capaz de deducir esta expresión a partir de distribuciones continuas de carga, pero sí (más o menos) a partir de distribuciones discretas.

O bien me estoy olvidando de algo importante (cosa muy probable) o bien estoy entrando en un terreno que pertenece a asignaturas de cursos posteriores (como mecánica estadística y compañía).

Cuando tenga tiempo, intentaré escanear la hoja en la que tengo hecha la pseudo-deducción de la fórmula y colgarla aquí por si alguien puede encontrar dónde estoy fallando.

La demostración de ese tipo de fórmulas se suele dar en electromagnetismo de segundo, no hace falta nada más.

De todas formas, la forma más usual de escribir la energía eléctrica y magnética en función de los campos es

$$W = \int\!\dd v \ \frac12 \big( \vec{E}\cdot\vec{D} + \vec{B}\cdot\vec{H} \big) \ .$$

Supongo que podrás llegar a esta a partir de la tuya aplicando definiciones básicas.

[Jorgee]

Re: Duda: energía y modelo corpuscular de la materia

Al final, escaneé la hoja (disculpad si el tamaño es demasiado grande). Por cierto, ¿conocéis alguna herramienta software que permita hacer estas presentaciones en menos tiempo?

[pod]

Re: Duda: energía y modelo corpuscular de la materia

Las sumas infinitas se llaman integrales. La forma de pasar de integrales a sumas finitas se llama delta de Dirac. Por ejemplo, la integral que tienes se escribiría

$$\int\! \dd v \, \rho(\vec{r}, t) \phi(\vec r, t) \ .$$

Si en vez de una distribución continua tienes una colección de N cargas $q_i$ en las posiciones $\vec r_i(t)$, entonces la densidad pasa a ser

$$\rho(\vec r, t) = \sum_{i=1}^N q_i \delta^{(3)} (\vec r - \vec r_i) \ .$$

Y metiendo esto, la integral de antes se convierte en

$$\int\! \dd v \, \rho(\vec{r}, t) \phi(\vec r, t) = \sum_{i=1}^N q_i \phi(\vec r_i, t) \ .$$

Hay algún otro hilo donde se menciona esta relación entre discreto y continuo para el cálculo de momentos de inercia.

[Jorgee]

Re: Duda: energía y modelo corpuscular de la materia

Las sumas infinitas se llaman integrales. La forma de pasar de integrales a sumas finitas se llama delta de Dirac.

Poco vi de momento de la delta de Dirac. Me pareció muy interesante, eso sí (esa delta de Dirac, me imagino que la dan en cursos avanzados, ¿no?).

De todas formas, lo que más me llama la atención es que he tenido que iniciar el razonamiento con paquetes discretos de carga. No fui capaz de hacerlo de otra forma. Porque si empiezo con distribuciones continuas, la cabeza me da vueltas. No se trata de un sólido rígido o algo por el estilo, sino de un fluido con densidad variable.

[Entro]

Re: Duda: energía y modelo corpuscular de la materia

Pero por aquí ya hemos señalado que el caso continuo y el discreto son totalmente análogos. Lo importante que tienes que conseguir es saber qué es lo que estas calculando en realidad. Si entiendes eso, pasar del caso continuo al discreto es trivial.

[Jorgee]

Re: Duda: energía y modelo corpuscular de la materia

Pero por aquí ya hemos señalado que el caso continuo y el discreto son totalmente análogos. Lo importante que tienes que conseguir es saber qué es lo que estas calculando en realidad. Si entiendes eso, pasar del caso continuo al discreto es trivial.

Esa analogía es precisamente la que no entiendo: la intuyo, pero no la comprendo.

[Entro]

Re: Duda: energía y modelo corpuscular de la materia

Pues es fácil si uno se relaja un poco:

1º Tenemos 5 cargas juntas en una disposición determinada.

2º Me pregunto qué energía tiene ese sistema de 5 cargas en esa posición determinada.

3º Pensando un poco me doy cuenta de que la energía que ha de contener ha de ser igual al trabajo que he realizado para traer cada una de las cargas del infinito hasta la posición que tienen en la configuración bajo estudio. (por eso hay un signo menos por algún sitio porque el trabajo lo hacemos en contra del potencial).

4º Luego me doy cuenta de que calcular eso está chupao, la primera carga (elegida al azar) no me ha costado trabajo traerla, la segunda ya no es tan facil porque tengo que vencer un potencial de interacción con la primera carga, la energía es $q_2\phi$, donde $\phi=\frac{q_1}{r}$

5º Luego traigo la tercera, pero tengo que tener en cuenta ahora que tengo dos cargas ya, pero no hay problema, los potenciales son escalares así que los calculo por separado y luego sumo y tan amigos.

6º Y así hasta llegar a la última.

Ahora el caso continuo.

Tengo una patata llena de carga, y se que su densidad de carga es:

$\rho (x)$

¿Cómo lo hago?

Pues pulverizo la patata, y ahora tengo infinitos trozos de carga $dq=\rho dv$

Y me lo voy trayendo de uno en uno, las energías elementales cada vez que me traigo una de ellas serán del tipo: $dE=dq\phi$.

Como la energía es en contra del trabajo realizado $W=-\int dE=-E$

Pero qué es dE:

$\int dE=\int dq\phi=\int \rho \phi dv$

Así que la analogía es completa.

[Jorgee]

Re: Duda: energía y modelo corpuscular de la materia

Este es para mí uno de los puntos clave:

3º Pensando un poco me doy cuenta de que la energía que ha de contener ha de ser igual al trabajo que he realizado para traer cada una de las cargas del infinito hasta la posición que tienen en la configuración bajo estudio. (por eso hay un signo menos por algún sitio porque el trabajo lo hacemos en contra del potencial).

¿Por qué da siempre el mismo trabajo? Sin importar el orden de ensamblado (como si se nos da por traerlos a todos simultáneamente).

Y otra duda: ¿por qué se mete siempre al infinito dentro de este tipo de problemas energéticos? Cuando cargamos un condensador con una batería, por ejemplo, las cargas no proceden del infinito. La única explicación que le encuentro al uso del infinito es que simplifica los cálculos.

Pero, ¿qué sucede cuando en el problema intervienen dieléctricos? Aparecen cargas de polarización variables que dan lugar a campos eléctricos que varían durante el proceso de carga, a medida que vamos trayendo las cargas desde el "infinito". Es decir, a medida que acercamos la carga libre al dieléctrico, su polarización cambia. ¿Cómo podemos estar seguros en este caso de que el trabajo es independiente del orden de colocación de la carga libre?

[Entro]

Re: Duda: energía y modelo corpuscular de la materia

¿Por qué da siempre el mismo trabajo? Sin importar el orden de ensamblado (como si se nos da por traerlos a todos simultáneamente).

La energía es un escalar, así que para saber la energía total de un sistema sumamos todas las energías que tenemos en el sistema. Y el orden de sumandos no altera el resultado.

Así que da igual, traerlos uno a uno, dos a dos, o todos a la vez, siempre podemos descomponer el proceso en uno a uno y así es más facil conceptualmente.

Y otra duda: ¿por qué se mete siempre al infinito dentro de este tipo de problemas energéticos? Cuando cargamos un condensador con una batería, por ejemplo, las cargas no proceden del infinito. La única explicación que le encuentro al uso del infinito es que simplifica los cálculos.

Efectivamente, es porque en el infinito las partículas no interactuan entre sí, con lo cual no introduces energías ficticias en el problema.

Además por convenio el potencial en el infinito vale 0. Con lo cual el valor del potencial en cada punto está referido al infinito generalmente cuando usamos:

$\phi=\frac{q}{r}$

puedes comprobar que cuando r tiende a infinito el potencial tiende a cero, así que es un convenio bastante conveniente.

De hecho es que el potencial no tiene un sentido absoluto, lo que significa que sólo nos interesan las diferencias de potencial, ya que el trabajo es menos la diferencia del potencial (por la carga que estemos desplazando).

Por tanto, yo puedo elegir cualquier otro potencial:

$\phi=\frac{q}{r}+k$

Este potencial en el infinito vale K, como es facil de comprobar.

Pero si uno calcula una diferencia de potencial la k cancela, con lo cual podemos elegir el valor de dicha K a placer. Y en este tipo de problemas conviene tomarla 0, lo que significa que el potencial se anula en el infinito.

Pero, ¿qué sucede cuando en el problema intervienen dieléctricos? Aparecen cargas de polarización variables que dan lugar a campos eléctricos que varían durante el proceso de carga, a medida que vamos trayendo las cargas desde el "infinito". Es decir, a medida que acercamos la carga libre al dieléctrico, su polarización cambia. ¿Cómo podemos estar seguros en este caso de que el trabajo es independiente del orden de colocación de la carga libre?

Por el mismo motivo de antes. En procesos electroestáticos (conservativos) el trabajo no depende del camino, solo de los puntos inicial y final, y la energía es un escalar así que se van sumando, y la suma conmuta y no importa el orden para el resultado final.

[pod]

Re: Duda: energía y modelo corpuscular de la materia

¿Por qué da siempre el mismo trabajo? Sin importar el orden de ensamblado (como si se nos da por traerlos a todos simultáneamente).

De hecho una de las formas de demostrar esas formulas consiste en traer todas las cargas a la vez, pero no la carga entera sino una fracción $x$ cada vez. Después se integra $x$ de 0 a 1

La esencia de por qué da lo mismo es la siguiente: cuando traes la n-ésima carga, no solo tienes que hacer fuerza sobre ella, sino que además tienes que hacer fuerza sobre el resto para mantenerlas en el sitio. En términos de integrales de caminos, cambiar el orden de "montaje" equivale a cambiar el camino que sigue la carga. Y como te habrán demostrado en alguna asignatura de mates en primero o segundo, la integral de linea de un campo irrotacional (y este lo es) no depende del camino.

[Jorgee]

Re: Duda: energía y modelo corpuscular de la materia

Antes de nada, os agradezco (Pod y Entro) la enorme paciencia que estáis teniendo conmigo. Al participar en este hilo me estáis ayudando mucho a acotar el tema.

Voy a seguir insistiendo en el tema. Vaya por delante que no intento desesperaros sino poner un poco de orden en la empanada mental que tengo ahora mismo (que se va aclarando).

A ver. Todo eso que me explicasteis es exactamente lo mismo que me explicaron el año pasado en Electricidad y Magnetismo. Para poder aprobar, tuve que "chaparme" lo que decía el libro, aunque no le viese el sentido por ninguna parte.

Para mí, todas esas explicaciones no tienen ningún sentido por sí solas. Es decir, tal como lo veo, son solo una consecuencia (NO necesariamente válida en todos los casos) que cuelga de algo más fundamental: la 2ª ley de Newton aplicada a sistemas de partículas.

Me explico: tal como proponéis con toda la lógica del mundo, voy a dividir mi sistema de cargas libres en porciones de carga $\Delta q_i$ (finalmente, mediante un proceso de límites obtendremos las integrales que tanto nos simplifican los cálculos).
Ahora $\sum_{i=1}^N \vec {f_i} = \sum_{i=1}^N m_i \vec{a_i}$, donde $\vec {f_i}$ es la fuerza total que actúa sobre la porción de carga i.

De aquí llegamos a $\sum_{i=1}^N \vec {f_i} d\vec{r_i} = d(\sum_{i=1}^N \frac{1}{2} m_i v_i^2)$, donde $\sum_{i=1}^N \frac{1}{2} m_i v_i^2$ es lo que conocemos como energía cinética del sistema de cargas libres. Por su parte, $\vec {f_i}$ se divide en fuerza de "agente" y fuerza eléctrica (originada en el resto de cargas libres y en las cargas de polarización). Es decir $\vec {f_i} = \vec {f_i}^{ag} + \vec {f_i}^{el}$

LLegamos así a trabajo agentes = -(trabajo fuerzas eléctricas) + d(Ec):

$\sum_{i=1}^N \vec {f_i^{ag}} d\vec{r_i} = - \sum_{i=1}^N \vec {f_i^{el}} d\vec{r_i} + d E_c$

Si en el sistema intervienen solo cargas libres:

$\sum_{i=1}^N \vec {f_i^{el}} d\vec{r_i} = \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \vec {f_{ij}^{el}} d\vec{r_i}$

Ahora defino una función energía (entre dos cargas) de la siguiente forma: $E_{ij} = \frac{k \Delta q_i \Delta q_j}{r_{ij}}$. Observad (muy importante) que es función de 6 variables: las 3 coordenadas de posición de la carga i y las 3 coordenadas de posición de la carga j. De modo que, como sabemos por cálculo: $d E_{ij} = \nabla E_{ij}|_{r_i} d\vec{r_i} + \nabla E_{ij}|_{r_j} d\vec{r_j}$. Pero esto último es precisamente: $d E_{ij} = - \vec {f_{ij}^{el}} d\vec{r_i} - \vec {f_{ji}^{el}} d\vec{r_j}$, por lo que $\sum_{i=1}^N \vec {f_i^{el}} d\vec{r_i} = \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \vec {f_{ij}^{el}} d\vec{r_i} = -d( \frac{1}{2} \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N E_{ij})$

Finalmente:

$\sum_{i=1}^N \vec {f_i^{ag}} d\vec{r_i} = d E_c + d E_p$, donde $E_p = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N E_{ij}$ es lo que se conoce como energía electrostática. Esta energía depende solo de las separaciones entre cargas (lo que implica que su valor es independiente de cómo se llegue al estado final) y vale cero cuando las cargas se encuentran infinitamente separadas.

Si definimos:
$E\infty$ =estado "infinito", en el que las cargas se hallan infinitamente separadas y el sistema tiene una energía cinética nula.
$Efinal$ = estado final, con energía cinética nula.

Resulta: $W_{ag} (de E\infty a Efinal) = E_c (Efinal) - E_c (E\infty) + E_p (Efinal) - E_p (E\infty) = E_p (Efinal)$

Y de aquí salen las definiciones que nos dieron en 2º curso de electromagnetismo.

Ahora (ATENCION), si en el problema intervienen cargas de polarización, éstas no pueden incluirse en $\sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \vec {f_{ij}^{el}} d\vec{r_i}$, porque NO son cargas libres (y nosotros estamos calculando únicamente la energía del sistema de cargas libres), con lo cual una gran parte de los razonamientos anteriores se va al traste.

Aun así, el problema tiene solución. De hecho, en Griffiths y en Jackson nos dicen como obtenerla y avisan que los razonamientos que me dieron en clase y que no entendí no son evidentes en absoluto. No pongo la solución porque ésta es mi primera experiencia con el latex y ya me lloran los ojos.

[Jorgee]

Re: Duda: energía y modelo corpuscular de la materia

Hola de nuevo. ¿Le echasteis un vistazo al último desarrollo que escribí? Puedo estar metiendo la pata en algún punto, por eso os pregunto, porque cuatro ojos ven más que dos.

Ahora mismo estoy consultando otros libros. Principalmente uno que me gustó mucho: el Stratton.

[Jorgee]

Re: Duda: energía y modelo corpuscular de la materia

Como veis, el desarrollo anterior sale de la 2ª ley de Newton aplicada a sistemas de partículas. Lo que no sé es si mis razonamientos son demasiado inocentes y hay algo más profundo que se me escapa porque todavía no lo he estudiado.

Por cierto, leí en algunos libros que el trabajo para ensamblar el sistema de carga libre puede NO ser independiente del orden de colocación de la misma, si, por ejemplo, los dieléctricos que intervienen tienen susceptibilidad eléctrica tipo histéresis.