1r ciclo Probabilidad de obtener un autovalor

[gdonoso94]

Hola, estoy empezando con física cuántica y la verdad que esto no es fácil... Después de estar estudiando me dio por hacer problemas y me topé con el siguiente:

An operator A, corresponding to an observable $\alpha$, has two normalised eigenfunctions $\phi_1$ and $\phi_2$, with eigenvalues $a_1$ and $a_2$. An operator B, corresponding to an observable $\beta$, has two normalised eigenfunctions $\chi_1$ and $\chi_2$, with eigenvalues $b_1$ and $b_2$. The eigenfunctions are related by

$\dst \phi_1=\frac{2\chi_1+3\chi_2}{\sqrt{13}}\quad\phi_2=\frac{3\chi_1-2\chi_2}{\sqrt{13}}$

$\alpha$ is measured and the value $a_1$ is obtained. If $\beta$ is then measured and then $\alpha$ again, show that de probability of obtaining $a_1$ a second time is 97/169.

Lo copio así para que no haya problemas con la traducción, aunque no es muy difícil. Bien, para resolverlo hago lo siguiente: después de medir $\alpha$ obteniendo el resultado $a_1$ el sistema se encuentra en el estado $\psi=\phi_1$. Ahora se mide $\beta$, y las probabilidades de obtener los autovalores $b_{1,2}$ vienen dadas por la expansión de $\phi_1$ en términos de $\chi_{1,2}$, que lo da el problema, y, según tengo entendido, la probabilidad de obtener $b_1$ es $c_1^2$, donde $c_1$ es lo que acompaña a $\chi_1$ en $\phi_1$ (en este caso $c_1=2/\sqrt{13}$).

Ahora bien... ¿Cómo sigo?

Gracias de antemano.

Un saludo.

[pod]

Re: Probabilidad de obtener un autovalor

Hola, estoy empezando con física cuántica y la verdad que esto no es fácil... Después de estar estudiando me dio por hacer problemas y me topé con el siguiente:



Lo copio así para que no haya problemas con la traducción, aunque no es muy difícil. Bien, para resolverlo hago lo siguiente: después de medir $\alpha$ obteniendo el resultado $a_1$ el sistema se encuentra en el estado $\psi=\phi_1$. Ahora se mide $\beta$, y las probabilidades de obtener los autovalores $b_{1,2}$ vienen dadas por la expansión de $\phi_1$ en términos de $\chi_{1,2}$, que lo da el problema, y, según tengo entendido, la probabilidad de obtener $b_1$ es $c_1^2$, donde $c_1$ es lo que acompaña a $\chi_1$ en $\phi_1$ (en este caso $c_1=2/\sqrt{13}$).

Ahora bien... ¿Cómo sigo?

Gracias de antemano.

Un saludo.

Tienes dos caminos: $a_1 \to b_1 \to a_1$ y $a_1 \to b_2 \to a_1$. Tienes que calcular la probabilidad de cada camino, cosa que conseguirás multiplicando la probabilidad de cada paso (fíjate que para el segundo paso tendrás que aislar $\chi_i$ en función de $\phi_i$). Luego, dado que los dos caminos son disjuntos, la probabilidad total se calcula sumando.

[gdonoso94]

Re: Probabilidad de obtener un autovalor

¿Y cómo aislo, a partir de los datos que tengo, $\chi_i$ en función de $\phi_i$? ¿Simplemente despejando del sistema de que me da el enunciado?

Muchas gracias, pod .

[pod]

Re: Probabilidad de obtener un autovalor

¿Y cómo aislo, a partir de los datos que tengo, $\chi_i$ en función de $\phi_i$? ¿Simplemente despejando del sistema de que me da el enunciado?

En principio sí.