Divulgación De dónde se deduce exactamente que la integral de volumen sea 1

[alexpglez]

$$1=\iiint_V \vert f(x) \vert ^2 \dd x \dd y \dd z$$

Hola me preguntaba cómo se deduce a partir de la ecuación de schrödinger la anterior ecuación. Entiendo que sea porque la probabilidad de encontrar una partícula en el volumen total sea 1, ya que es lo que representa esa función de onda al cuadrado, pero por qué¿?, Schrödinger según leí no sabía ni entendía que la función al cuadrado representase la densidad de probabilidad, según leí fue max born quien lo interpretó así y hasta a schrödinger le pareció extraño..
Pues eso, por qué¿?

Muchas gracias

[Weip]

Re: De dónde se deduce exactamente que la integral de volumen sea 1

Es una implicación directa de los postulados. Podríamos decir que es una definición casi. Pero cuidado, que el volumen no es un volumen cualquiera: es todo el espacio, por eso la probabilidad da uno. ¿Porqué? No sé los detalles históricos, pero si lo piensas es una condición lógica que se debe cumplir. Supongo que alguien en algún momento vio que ese cuadrado cumplía todo lo que ha de cumplir una probabilidad, y a partir de ahí se actuó en consecuencia. El contexto histórico deberían explicarlo en las clases, es algo que se ha perdido por optimizar el tiempo y el aprendizaje pero yo no lo veo.

[alexpglez]

Re: De dónde se deduce exactamente que la integral de volumen sea 1

Si se que es lógico, casi una definición, pero yo digo como se llegó, estaba mirandome series de fourier e integrales de fourier, pero no sé.
Por fourier se puede desarrollar una serie infinita, y los coeficientes se obtienen de una función dada, pero también se normaliza la función con esa fórmula, es algo que no veo, supongo que tienen que tener relación las series de fourier, la integral de fourier con la anterior integral para normalizar funciones.

[visitante20160513]

Re: De dónde se deduce exactamente que la integral de volumen sea 1

Vamos a ver el operador de la ecuación de Schrödinger es lineal y por lo tanto si una función $\varphi$ es solución de la ecuación también debe serlo esa misma función multiplicada por una constante cualquiera. Así solo debe exigirse que la función sea de cuadrado sumable finito porque entonces siempre existe una constante que la convierta en una función cuya integral extendida a todo el espacio sea 1. La condición de que las soluciones cumplan dicha condición no es pues matemática sino física. La interpretación de dichas funciones de onda como ondas de probabilidad es la que permite que las soluciones contempladas sean precisamente las que cumplen esa condición. Ahora bien por la misma razón (la linealidad del operador) también la suma de dos soluciones cualesquiera vuelve a ser solución de la ecuación, y la pregunta es entonces ¿porque se eligen solo aquellas que describen los orbitales electrónicos y se desprecian otras que a priori tienen la misma validez? Pues no lo sé y nunca he leído en ninguna parte la razón de que eso sea así aunque debe haber razones poderosas para realizar la interpretación de la función de onda como una función de probabilidad, pero la historia nos demuestra que ha habido muchos físicos, algunos de renombre, que no han estado de acuerdo con esa interpretación. La famosa frase de Einstein (Dios no juega a los dados) muestra que ni Schrödinger ni el propio Einstein estuvieron de acuerdo con esa interpretación, aunque hoy es la interpretación ortodoxa, pero desde luego no es la única posible, y es muy probable que tampoco sea la más correcta, pero mientras no haya otra más coherente pues es lo que hay. La función de onda podría interpretarse también como una distribución de energía, de carga eléctrica, de masa y de otra muchas magnitudes físicas, y las soluciones podrían ser el doble, el triple o estar multiplicadas por cualquier otra constante o incluso ser no estacionarias y seguirían siendo soluciones de la ecuación. Lo que condiciona qué soluciones son aceptables es su interpretación como ondas de probabilidad estacionarias, es decir la razón es física, y no matemática.

Salu2, Jabato.

[javier m]

Re: De dónde se deduce exactamente que la integral de volumen sea 1

Que yo recuerde de las clases tal vez salió del experimento de la doble rendija:

La probabilidad en una región es proporcional al número de impactos en esa región (por lógica), y el número de impactos era propocial al la amplitud de la función de onda (por experimentación)

De todos modos, el asunto puede no ser trivial, Sean Carroll por ejemplo, ha escrito al respecto, lo único es que él está inclinado hacia la interpretación de los muchos mundos.

[pod]

Re: De dónde se deduce exactamente que la integral de volumen sea 1

$$1=\iiint_V \vert f(x) \vert ^2 \dd x \dd y \dd z$$

Hola me preguntaba cómo se deduce a partir de la ecuación de schrödinger la anterior ecuación. Entiendo que sea porque la probabilidad de encontrar una partícula en el volumen total sea 1, ya que es lo que representa esa función de onda al cuadrado, pero por qué¿?, Schrödinger según leí no sabía ni entendía que la función al cuadrado representase la densidad de probabilidad, según leí fue max born quien lo interpretó así y hasta a schrödinger le pareció extraño..
Pues eso, por qué¿?

No se demuestra. Como dice Weip, proviene directamente de los postulados de la mecánica cuántica.

En realidad, no hay ninguna necesidad de normalizar la función de onda. Uno podría definir la distribución de probabilidad de la siguiente guisa:

$$P(\vec x) = \dfrac{\big| \psi(x) \big|^2}{\iiint \dd^3 r\ \big| \psi(x) \big|^2} ,$$

y el resultado sería exactamente el mismo. Un tema para otro hilo es por qué la función de onda está relacionada con la probabilidad.

Ahora bien, si uno hace la definición de esta forma, resulta que ese denominador con la integral aparece en multitud de ecuaciones, y uno se cansa de escribirlo. Resulta más sencillo absorver ese factor en la normalización de la función de onda. Así que normalizar a uno es un convenio que elegimos tomar porque los físicos somos unos vagos. No hay mucho más en ello.

Matemáticamente, sabemos que la función de onda (el estado cuántico, si hablamos de forma un poco más general) pertenece a un espacio de Hilbert. Resulta que en realidad no nos interesa todos los vectores (léase, funciones de onda) del espacio de Hilbert, sino que lo que hacemos es formar clases de equivalencia formada por la siguiente relación: dos vectores $\psi_1$ y $\psi_2$ pertenecen a la misma clase si y solo si existe un número complejo $z\neq 0$ tal que $\psi_1 = z \psi_2$. Es fácil ver que esta es una relación de equivalencia porque es reflexiva, simétrica y transitiva. Cada una de estas clases de equivalencia recibe el nombre de rayo, si no recuerdo mal. Como estudiamos en algebra en su dia, dentro de una clase de equivalencia podemos escoger cualquiera de sus integrantes para hacer los cálculos, y por convención elegimos siempre un integrante con normal igual a 1. De nuevo, esta convención nos permite simplificar los cálculos, ya que no es necesario tener la normalización en la mayoría de ecuaciones.

Ahora bien por la misma razón (la linealidad del operador) también la suma de dos soluciones cualesquiera vuelve a ser solución de la ecuación, y la pregunta es entonces ¿porque se eligen solo aquellas que describen los orbitales electrónicos y se desprecian otras que a priori tienen la misma validez?

En efecto, cualquier suma de estados es un nuevo estado. Esta es una propiedad fundamental de los espacios vectoriales (y el espacio de Hilbert no es más que un espacio vectorial). El motivo es el siguiente:

La ecuación de Schödinger independiente del tiempo es en realidad el promebla de valores propios del operador Hamiltoniano (el nombre "operador de Schödinger" que mencionas no lo había escuchado jamás, por lo menos en circulos físicos). Esto no es diferente a los problemas de valores propios que aprendemos con matrices en algebra de primero, sólo que como el espacio de Hilbert en este caso es de infinitas dimensiones, en vez de una matriz tenemos un operador diferencial. En otros espacios de Hilbert de dimensión finita tenemos matrices (por ejemplo, el espacio de spin s, que es un espacio de dimensión 2s+1).

Como sabemos de algebra, si el operador cumple unas propiedades muy genericas, el conjunto de vectores propios tiene una propiedad muy importante: es una base ortonormal de todo el espacio de Hilbert. Es decir, cualquier estado posible (del electrón, en este caso) se puede escribir como una combinación lineal de los estados propios del Hamiltoniano.

Además, estos estados tienen una propiedad muy importante. Resulta que el hamiltoniano es también el operador que describe la evolución temporal (lo que a veces llamamos ecuación de Schödinger dependiente del tiempo). Eso quiere decir que si el electrón está en un estado propio del Hamiltoniano (es decir, si está en un orbital puro), entonces el electrón permanecerá en ese mismo estado a lo largo del tiempo (por lo menos, hasta q haya una medida y se produzca el colapso del estado). Son los únicos estados que tienen esta propiedad, en general el estado cuántico de un sistema puede cambiar con el tiempo.

Por otra parte, un estado que no sea propio del Hamiltoniano, siempre se puede escribir como una combinación lineal de estados que si lo son (por eso los vectores propios forman una base). Resulta que esa descomposición tiene la propiedad de que es muy sencillo calcular la evolución temporal del estado: el motivo es sencillo, como cada termino por separado es propio del hamiltoniano, al aplciar el operador de evolución temporal a la combinación, actúa en cada término por separado sin mezclarlos.

Así, pues, no es cierto que sólo nos quedemos con los estados propios del Hamiltoniano (los orbitales electrónicos). Todos los estados son válidos, posibles y de hecho existen en la naturaleza. Simplemente, se estudian los orbitales porque, al ser la base propia del hamiltoniano, tiene unas propiedades muy interesantes.

La famosa frase de Einstein (Dios no juega a los dados) muestra que ni Schrödinger ni el propio Einstein estuvieron de acuerdo con esa interpretación, aunque hoy es la interpretación ortodoxa, pero desde luego no es la única posible, y es muy probable que tampoco sea la más correcta,

De hecho, la postura de Einstein en esta famosa discusión (que se conoce como paradoja EPR, de Einstein–Podolsky–Rosen) fue puesta a prueba experimentalmente gracias a las desigualdades de Bell. Ellos defendian (y John Bell estaba de acuerdo... inicialmente) en que en realidad existian "variables ocultas" que determinaban el resultado de las mediciones cuánticas. Si fueramos capaces de medir esas variables, la física volvería a ser determinista. Dicho de otro modo, la aparente probabilidad de la mecánica cuántica lo que hacía era parametrizar nuestra ignorancia sobre unas variables subyacente que, a lo mejor, se podrían medir algún día. Esto es lo que esta gente pensaba.

Hasta que apareció Bell, la postura general es que, hasta que no se obserbaran esas variables, ningún experimento podría distinguir la mecánica cuántica probabilista de una teoría clásica con variables ocultas. El gran mérito de Bell fue demostrar matemáticamente que esto no era así, que existía una clase de experimentos que pueden detectar si existen variables ocultas sin necesidad de observarlas directamente. Básicamente, se trata de realizar dos (o más) mediciones diferentes, si las mediciones están determinadas por variables ocultas (sean cuales sean estas variables) la correlación entre esas mediciones debe ser una muy concreta.

Pues bien, esto permitió poner a prueba para ver si la realidad es determinista o no. Si diós (sea lo qe sea) juega a los dados o no. Y resulta que siempre que se ha hecho este experimentos, en sus numerosas variantes, siempre ha dado la razón a la interpretación de Copenhagen para decepción del propio John Bell. Así, pues, los experimentos demuestran que la realidad es probabilistica y de esto no cabe lugar a duda (cientifica). Otra cosa es que podamos decir que esta probabilidad procede de que en cada medición la realidad se ramifica en diversos universos paralelos y tenemos una probabilidad concreta de terminar en cada universo ramificado (esta es una idea que se atribuye a Everett y tiene sus seguidores), o por algún proceso de decoherencia (quizá la opción más extendida en la actualidad). Pero que la física es probabilistca, no cabe lugar a dudas. Lo dicen los experimentos.

Bell tuvo la mala suerte de inventar (o, por lo menos, publicar) sus famosas desigualdades nueve años después que Einstein muriera. De lo contrario, hoy en día recordariamos alguna cita del doctor Albert reconociendo que el mayor error de su vida no fue la constante cosmológica, sino la famosa frase de los dados.

Que yo recuerde de las clases tal vez salió del experimento de la doble rendija:

La probabilidad en una región es proporcional al número de impactos en esa región (por lógica), y el número de impactos era propocial al la amplitud de la función de onda (por experimentación)

Aquí estás haciendo un poco de trampa, realizando el argumento al revés. El cuadrado de la amplitud (no solo la amplitud) de la función de onda describe la probabilidad de encontrar una sóla partícula. Si tu "tiras" una sola partícula, sólo tendrás un impacto. Lo que se hace en este experimento es enviar muchas partículas. Cada partícula impactará una sola vez, y la ubicación en la que impactará será independiente del lugar donde hayan colisionado las anteriores. Así, pues, si recopilamso la ubicación del impacto de muchas partículas, podemos reconstruir la distribución de probabilidad haciendo una simple estadística.

Pero esto no es nuevo en la cuántica. Es muy común estimar una distribución de probabilidad realizando muchas repeticiones idénticas de un experimento. Si queremos saber si un dado está trucado, lo que hacemos es realizar muchas tiradas y ver si el número de resultados está fuera de lo que esperariamos de un dado justo...

[visitante20160513]

Re: De dónde se deduce exactamente que la integral de volumen sea 1

¿Y no podría ocurrir que las partículas elementales tuvieran por ejemplo una determinada oscilación (una llamémosla por ejemplo ... hipervibración) con una frecuencia muy elevada, tanto que seríamos incapaces de detectarla, y eso hiciera que los experimentos detectaran una cierta distribución de probabilidad pero que obedeciera a una ley perfectamente determinista que actualmente no se conoce? Yo no veo razón para que eso no se pueda descubrir en un futuro más o menos lejano. Es decir que una partícula elemental estuviera hipervibrando entre todas las posiciones que hoy se supone que obedecen a una distribución de probabilidad. Eso podría explicar los resultados aparentemente estadísticos que se obtienen al realizar experimentos con dichas partículas, y no necesariamente deberían observarse correlaciones en las mediciones efectuadas. Yo lo veo como posible, desde luego, y no hay razón para descartar aquello que es posible, siempre y cuando no se demuestre lo contrario.

Voy a tratar de poner un ejemplo sencillo, para ilustrar mi idea, y está improvisado así que a lo mejor no resulta todo lo afortunado que se pretende. Imaginemos que una partícula elemental se encuentra hipervibrando alrededor de una posición fija en el plano XY y con una amplitud constante y al mismo tiempo está describiendo una rotación con velocidad angular constante respecto al eje Z. La frecuencia de la vibración es muy elevada, de manera que al realizar mediciones con dicha partícula el resultado mostraría que la partícula se encontraría ubicada, con una determinada distribución de probabilidad, en un círculo del plano XY, cuando realmente lo que hace es describir una trayectoria perfectamente determinista. Tened un poco de consideración, ya sé que el ejemplo es muy burdo, pero creo que ilustra bien la idea.

Salu2, Jabato.

[pod]

Re: De dónde se deduce exactamente que la integral de volumen sea 1

¿Y no podría ocurrir que las partículas elementales tuvieran por ejemplo una determinada oscilación (una llamémosla por ejemplo ... hipervibración) con una frecuencia muy elevada, tanto que seríamos incapaces de detectarla, y eso hiciera que los experimentos detectaran una cierta distribución de probabilidad pero que obedeciera a una ley perfectamente determinista que actualmente no se conoce? Yo no veo razón para que eso no se pueda descubrir en un futuro más o menos lejano. Es decir que una partícula elemental estuviera hipervibrando entre todas las posiciones que hoy se supone que obedecen a una distribución de probabilidad. Eso podría explicar los resultados aparentemente estadísticos que se obtienen al realizar experimentos con dichas partículas, y no necesariamente debería observarse correlaciones en las mediciones efectuadas. Yo lo veo como posible, desde luego, y no hay razón para descartar aquello que es posible, siempre y cuando no se demuestre lo contrario.

Voy a tratar de poner un ejemplo sencillo, para ilustrar mi idea, y esta improvisado así que a lo mejor no resulta todo lo afortunado que se pretende. Imaginemos que una partícula elemental se encuentra hipervibrando alrededor de una posición fija en el plano XY y con una amplitud constante y al mismo tiempo está describiendo una rotación con velocidad angular constante respecto al eje Z. La frecuencia de la vibración es muy elevada, de manera que al realizar mediciones con dicha partícula el resultado se mostraría como que la partícula se encuentra ubicada en un determinado círculo del plano XY, cuando realmente lo que hace es describir una trayectoria perfectamente determinista. Tened un poco de consideración, ya sé que el ejemplo es muy burdo.

Salu2, Jabato.

No, no podría ser. Eso que propones es muy parecido (o equivalente a) lo que decían Einstein y compañía en su época. Es algo que se ha demostrado no ser correcto.

Hay teoremas matemáticos que demuestran que cualquier teoría de variables ocultas (no importan los detalles) cumpliría las desigualdades de Bell, y hemos visto experimentalmente que las desigualdades de Bell no se cumplen.

Estos teoremas matemáticos desgranan la esencia de lo que es una teoría de variables ocultas, y lo que es una teoría probabilista, y demuestran hay resultados que una teoría determinista jamás podría producir por motivos fundamentales. Y los experimentos demuestran que esos resultados sí se dan en la naturaleza. Lo impresionante de lo que hizo Bell (y de los que han seguido después de él) es que consiguió encontrar una forma de ver que son las variables ocultas en esencia, y encontrar resultados que son diferentes en una teoría determinista y en una probabilistica, independientemente de cual sea el mecanismo por el que me invente para definir una variable interna que arroje una distribución de probabilidad.

Así que la naturaleza no es determinista. Nos guste o no. Yo, si pudiera haber elegido crear la realidad, no la habría hecho cuántica y probablemente tampoco relativista... pero mira, la naturaleza no pidió mi opinión. En cualquier caso, lo bueno de la ciencia es que todos estos teoremas y experimentos están publicados y hay libros que los explican. Igual que si algún decido que no me gusta el último teorema de Fermat, iré a leer la demostración de Wiles y no tendré mas remedio que decir que es verdad.

[visitante20160513]

Re: De dónde se deduce exactamente que la integral de volumen sea 1

Entiendo, gracias por esta aclaración.

Salu2, Jabato.

[alexpglez]

Re: De dónde se deduce exactamente que la integral de volumen sea 1

Gracias, me quedo al final más o menos claro, abriré entonces un hilo con lo de la probabilidad que me decías

[javier m]

Re: De dónde se deduce exactamente que la integral de volumen sea 1

Yo, si pudiera haber elegido crear la realidad, no la habría hecho cuántica y probablemente tampoco relativista... pero mira, la naturaleza no pidió mi opinión.

Sería interesante imaginar qué clase de mundo crearías tu.

[visitante20160513]

Re: De dónde se deduce exactamente que la integral de volumen sea 1

Pues con la Acrópolis y el Partenon en todo lo alto.

Ja, Ja, Ja, Jabato.