¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

[visitante20160513]

Re: ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

Sí se cumple, sí. Sale de la relación $v=\lambda\nu$ propia de todas las ondas, que afirma que la velocidad de propagación de una onda es igual al producto de su longitud de onda por su frecuencia y que seguro debes conocer.

Salu2, Jabato.

[Weip]

Re: ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

Quiero comentar un poco el tema central del hilo desde el punto de vista matemático. El punto de vista físico es importante, pero en mi opinión es más rebuscado para un joven que se está introduciendo en el tema. Así que solo quiero aportar otro argumento más simple, directo, y accesible para alexpglez.

El cuadrado de la función de onda es una función de densidad de probabilidad porque cumple la definición. Esta función ha de cumplir:

1) $|\psi|^2 \geqslant 0$

2) $\dst \int_{-\infty}^{\infty} |\psi|^2 dV=1$

Como se puede ver, es evidente que se cumplen las dos condiciones y por lo tanto podemos hacer la interpretación usual.

Básicamente era comentar esto, que es más fácil de entender, creo.

[alexpglez]

Re: ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

Quiero comentar un poco el tema central del hilo desde el punto de vista matemático. El punto de vista físico es importante, pero en mi opinión es más rebuscado para un joven que se está introduciendo en el tema. Así que solo quiero aportar otro argumento más simple, directo, y accesible para alexpglez.

El cuadrado de la función de onda es una función de densidad de probabilidad porque cumple la definición. Esta función ha de cumplir:

1) $|\psi|^2 \geqslant 0$

2) $\dst \int_{-\infty}^{\infty} |\psi|^2 dV=1$

Como se puede ver, es evidente que se cumplen las dos condiciones y por lo tanto podemos hacer la interpretación usual.

Básicamente era comentar esto, que es más fácil de entender, creo.

Si, quería más una demostración matemática. Aunque realmente esa condición es para probabilidad por partícula, que era a donde quería llegar relacionando la probabilidad con función de onda, así que hemos vuelto a la pregunta..

Lo de Re{} lo entiendo, lo que no entiendo es otra duda (bastante tonta creo yo), ya que estoy aprovecho para preguntarla por aquí.
La ecuación de ondas:

$$\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2}$$

La solución es:

$$u(x,t)=(Ae^{ikx} + Be^{-ikx})(Ce^{ikvt}+De^{-ikvt})$$

Que para una onda viajera B y C se anulan.

$$u(x,t)=Ae^{ik(x-vt)}$$

En la ecuación de Schrödinger para una partícula libre le da esa complejidad que su módulo sea 1 y por tanto la probabilidad se reparta a partes iguales por el espacio, creo (corregidme si me equivoco). Pero no entiendo lo de coger la parte real o imaginaria, porque evidentemente coger una parte no equivale a coger todo, me refiero que no sé por qué se coge. En segundo lugar, no sé como se demuestra las ecuaciones de ondas senoidales, cogiendo la parte imaginaria tal vez¿?

Perdón por preguntar estas cosas tan básicas pero no las entiendo.

[Weip]

Re: ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

Si, quería más una demostración matemática. Aunque realmente esa condición es para probabilidad por partícula, que era a donde quería llegar relacionando la probabilidad con función de onda, así que hemos vuelto a la pregunta..

No entiendo tu frase. Lo que he puesto es la definición de función de densidad de probabilidad (es cierto que me han faltado un par de tecnicismos pero no he creído relevante hablar de ellos puesto que juegan un papel más bien secundario en la discusión). No estoy hablando ni de partículas ni de física. Solo he puesto lo que ha de cumplir una función (en este caso $|\psi|^2$) para que sea función de densidad. Por eso creo que es un argumento más directo. Que la función de onda sea un vector de un espacio de Hilbert o cualquier otra cosa es irrelevante.

Lo de Re{} lo entiendo, lo que no entiendo es otra duda (bastante tonta creo yo), ya que estoy aprovecho para preguntarla por aquí.
La ecuación de ondas:

$$\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2}$$

La solución es:

$$u(x,t)=(Ae^{ikx} + Be^{-ikx})(Ce^{ikvt}+De^{-ikvt})$$

Que para una onda viajera B y C se anulan.

$$u(x,t)=Ae^{ik(x-vt)}$$

En la ecuación de Schrödinger para una partícula libre le da esa complejidad que su módulo sea 1 y por tanto la probabilidad se reparta a partes iguales por el espacio, creo (corregidme si me equivoco). Pero no entiendo lo de coger la parte real o imaginaria, porque evidentemente coger una parte no equivale a coger todo, me refiero que no sé por qué se coge. En segundo lugar, no sé como se demuestra las ecuaciones de ondas senoidales, cogiendo la parte imaginaria tal vez¿?

Perdón por preguntar estas cosas tan básicas pero no las entiendo.

Lo de escoger parte real o imaginaria no tiene más objetivo que ese, ilustrar la parte real o la parte imaginaria. Que si quieres coger todo, pues lo coges. Lo siento pero aquí no me sé explicar mejor. Respecto a las ondas sinusoidales supongo que te refieres a las del tipo $x(t)=A \sin (\omega t + \phi)$. Realmente es muy simple. Las funciones seno y coseno están desfasadas, con lo que solo tienes que sumar una constante dentro del seno/coseno para pasar de una ecuación a otra. ¿Cuándo se usa uno y cuándo el otro? Hazlo como quieras, escoge la que más te convenga. Como en un MAS. Da igual con cual de las dos funciones escribas $x(t)$, mientras seas coherente con la elección.

[visitante20160513]

Re: ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

Creo que con argumentos matemáticos no podrás demostrar que las soluciones de la ecuación de Schrödinger tengan alguna relación con la probabilidad. Los argumentos son más bien físicos. Para un físico la condición de que la suma a lo largo de todo el espacio del cuadrado de la función de onda sea finita y positiva es básica, porque si no lo fuera el fenómeno implicaría condiciones inaceptables para un físico (energías infinitas, o distribuciones espaciales de masa o de carga infinitas, etc.) así pues si tenemos:

$\displaystyle\iiint\Phi^2d\tau=k^2$

entonces al dividir la función $\Phi$ por la constante $k$ siempre obtenemos otra solución que satisface también la ecuación de onda y además cumple la:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

y que entonces puede ser interpretada como una onda de probabilidad, de manera que la única condición relevante que debe satisfacer la función de onda es que sea de cuadrado sumable algo que para un físico es perfectamente natural. La sorpresa no viene por ahí, la sorpresa viene cuando al realizar los experimentos los físicos encuentran que efectivamente la naturaleza se comporta realmente así, de una forma probabilistica y no determinista. Y se han hecho muchos experimentos para verificarlo porque esa interpretación tiene realmente muchas consecuencias y de mucho calado. El hecho de que una partícula pueda estar a la vez en dos sitios distintos (con una cierta probabilidad) es algo que ha tirado por tierra muchos pilares que se suponían sólidos. Y según parece es la única explicación a los experimentos realizados, el de la doble rendija es uno de los más espectaculares, pero no es el único.

Salu2, Jabato.

[Weip]

Re: ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

Creo que con argumentos matemáticos no podrás demostrar que las soluciones de la ecuación de Schrödinger tengan alguna relación con la probabilidad.

Sí se puede demostrar y lo he hecho: el valor absoluto es siempre positivo o nulo y luego he usado una consecuencia directa de los postulados. Sea como sea, solo he querido aportar mi argumento porque es trivial de comprobar y no se necesitan grandes conocimientos para entenderlo. Tampoco quiero ahora desviar el tema porque la explicación que has dado es perfecta y es con la que se ha de quedar alexpglez.

[visitante20160513]

Re: ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

Disculpa Weip pero no has demostrado nada, te has limitado a afirmarlo, que no es lo mismo, y además es falso. Las soluciones de la ecuación de Schrödinger no deben satisfacer esos postulados (¿de dónde sale eso?), y te pongo tan solo un ejemplo. Supongamos que una función, $\Phi$, es solución de la ecuación. Pues entonces la función doble de esa, $2\Phi$, también lo debe ser puesto que la ecuación es lineal, pero es imposible que las dos soluciones sean funciones de probabilidad porque:

$\displaystyle\iiint\Phi^2d\tau=1\qquad\to\qquad \displaystyle\iiint (2\Phi)^2d\tau=4$

así que con argumentos matemáticos es imposible demostrar eso. Otra cosa es que utilicemos solo esas soluciones por conveniencia de los físicos, pero ... eso es distinto.

Salu2, Jabato.

[Weip]

Re: ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

Disculpa Weip pero no has demostrado nada, te has limitado a afirmarlo, que no es lo mismo, y además es falso. Las soluciones de la ecuación de Schrödinger no deben satisfacer esos postulados (¿de dónde sale eso?), y te pongo tan solo un ejemplo. Supongamos que una función, $\Phi$, es solución de la ecuación. Pues entonces la función doble de esa, $2\Phi$, también lo debe ser puesto que la ecuación es lineal, pero es imposible que las dos soluciones sean funciones de probabilidad porque:

$\displaystyle\iiint\Phi^2d\tau=1\qquad\to\qquad \displaystyle\iiint (2\Phi)^2d\tau=4$

así que con argumentos matemáticos es imposible demostrar eso. Otra cosa es que utilicemos solo esas soluciones por conveniencia de los físicos, pero ... eso es distinto.

Salu2, Jabato.

Vamos a ver creo que se me ha malinterpretado. He tenido la mala suerte de usar una notación confusa. Solo me he limitado a poner las condiciones que debe cumplir la función de onda para que sea función de densidad de probabilidad. La única diferencia es que he sido poco formal y no he hablado de variables aleatorias, pero bueno creo que cualquiera puede buscar la definición en internet. Me has preguntado de donde sale esto, así que voy a justificarme:

-Estarás de acuerdo conmigo que el módulo es siempre positivo o nulo. Es una propiedad elemental que se enseña en la ESO, no creo que explayarme aquí sea necesario. Así pues, primera condición cumplida.

-La segunda es consecuencia directa del primer postulado de la mecánica cuántica (el que introduce el concepto de función de onda). Como postulado que es, es totalmente cierto. Así pues, segunda condición cumplida.

Teniendo en cuenta las dos condiciones necesarias y suficientes, el cuadrado de la función de onda es una función de densidad de probabilidad. No hay más misterio.

Con argumentos físicos puedes llegar a lo mismo, si no digo yo que no. Es más, puesto que estamos haciendo física, ese argumento es mejor. Solo quería mostrar de una forma simple la relación entre la función de onda y la probabilidad. Es un método muy sencillo porque solo hemos de demostrar dos cosas: una es bien conocida por todos y la otra es casi un postulado. Sé perfectamente que no debería llamar a esto "demostración" puesto que tiene más agujeros que un colador desde el punto de vista matemático. Tampoco es la intención, pero se puede demostrar rigurosamente que así es (si la física llega a una cosa y las matemáticas a otra, mal iríamos). No creo que le hagamos un favor a alexpglez haciendo un desarrollo de estas características. Por eso prefiero limitarme a exponer la relación de forma más o menos operativa y evidente.

Finalmente, que la función de onda esté relacionada con la probabilidad es un hecho físico pero también ha de ir acompañado de las matemáticas. Es decir, si tu llamas a algo densidad de probabilidad, al menos hay que comprobar que lo es. Porque si no sí que estaríamos diciendo algo falso en nombre de las matemáticas. Así que lo mínimo que puedo pedir a una densidad de probabilidad es que cumpla la definición. Si no pues no lo sería.

En fin, que solo era esto, al final me he explayado xD.

[visitante20160513]

Re: ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

Vamos a ver, lo que dije es que utilizando solo argumentos matemáticos no puede demostrarse que las soluciones de la ecuación de Schrödinger son funciones de probabilidad porque está claro que es muy fácil obtener una solución que no lo sea. Ya expliqué como. Y tu me cuestionaste esa afirmación diciendo que ya lo habías demostrado. No es cierto, y mucho menos usando solo argumentos matemáticos. Ni demostraste nada y además lo que afirmaste es falso desde un punto de vista estrictamente matemático. Si te apoyas en los postulados de la mecánica cuántica entonces no estás basándote en argumentos matemáticos, estás utilizando la física, y eso es otra cosa bien distinta. Yo hice ese comentario porque alex había pedido una demostración matemática de tal cosa y eso no puede ser porque hay soluciones matemáticamente aceptables que no son funciones de probabilidad. Solo pretendía aclararle ese punto a alex, pero te metiste por en medio Weip. Una cosa es que un matemático pueda demostrar partiendo solo de la ecuación que sus soluciones son funciones de probabilidad (eso es imposible y no creo que nadie pueda discutirlo) y otra es que usando los postulados de la mecánica cuántica pueda concluirse que las únicas soluciones aceptables son las que cumplen esa condición, afirmación esta última que me parece acertada. No todas las soluciones de la ecuación Schrödinger son aceptables para un físico porque no todas son funciones de probabilidad.

Salu2, Jabato.

[javier m]

Re: ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

Solo para aportar algo que me parece interesante:

(...)once you accept that there should be some specific probability rule, it’s practically guaranteed to be the Born Rule. There is a result called Gleason’s Theorem, which says roughly that the Born Rule is the only consistent probability rule you can conceivably have that depends on the wave function alone. So the real question is not “Why squared?”, it’s “Whence probability?”

[carroza]

Re: ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

Hola. Un comentario, para centrar el problema.

La función de onda, a pesar de su importancia histórica y pedagógica, no es el elemento principal de la mecánica cuántica. En cuanto una partícula tiene espín, o tenemos un sistema medianamente complicado de muchas partículas (un átomo o un núcleo), o podemos crear o aniquilar partículas, la función de onda resulta insuficiente. Por ello, intentar derivar propiedades de la mecánica cuántica, como la probabilidad, a partir de propiedades matemáticas de las funciones de onda, no parece una buena idea.

En mi opinión, lo relevante de la mecánica cuantica es que cualquier sistema puede describirse como un estado de un espacio vectorial, el espacio de Hilbert, que en general tiene un número infinito de dimensiones. O sea, que si
|A> y |B> son estados posibles, cualquier combinación lineal de |A> y |B> son estados posibles de un sistema. Esto no ocurre en mecánica clásica.

En un espacio vectorial, tengo muchas formas posibles de elegir una base para describir mis estados. Puedo elegir una base de oscilador armónico. Una base de autoestados del átomo de hidrógeno. Una base de autoestados del momento (ondas planas). O, finalmente, una base de autoestados del operador posición (deltas de dirac).

Sea cual sea la base que yo elija, si mi estado está normalizado, la suma de los coeficientes al cuadrado, en cualquier base, será igual a uno. Sea cual sea la base que yo elija, un coeficiente al cuadrado de mi estado con un estado dado de la base lo interpretaré como la probabilidad de que mi estado "esté" en dicho estado de la base.

La función de onda, que tanto amamos, no es más que el conjunto de los coeficientes del desarrollo de un estado cuántico en una base particulas, de autoestado del operador posición. Así, podemos escribir

$|\Psi> = \int_{-\infty}^\infty dx \psi(x) |x>$

Donde $|\Psi>$ es nuestro estado cuántico, $|x>$ son los estados cuánticos de una base caracterizada por una posición definida, y $\psi(x)$ son simplemente números complejos que son los coeficientes de este desarrollo. La integral es simplemente el caso límite de una suma.

De la misma forma, podríamos haber elegido el desarrollo del estado en una base de oscilador armónico de forma que

$|\Psi> = \sum_{n=0}^{\infty} c_n |n>$.

Donde $|\Psi>$ es nuestro estado cuántico, $|n>$ son los estados de una base de oscilador armínico, y $c_n$ son simplemente números complejos que son los coeficientes de este desarrollo.

El hecho de que $|\psi(x)|^2$ sea una probabilidad, es equivalente a que $|c_n|^2$ sea una probabilidad. Ni más ni menos.

Saludos

[Weip]

Re: ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

Vamos a ver, lo que dije es que utilizando solo argumentos matemáticos no puede demostrarse que las soluciones de la ecuación de Schrödinger son funciones de probabilidad porque está claro que es muy fácil obtener una solución que no lo sea. Ya expliqué como. Y tu me cuestionaste esa afirmación diciendo que ya lo habías demostrado. No es cierto, y mucho menos usando solo argumentos matemáticos. Ni demostraste nada y además lo que afirmaste es falso desde un punto de vista estrictamente matemático. Si te apoyas en los postulados de la mecánica cuántica entonces no estás basándote en argumentos matemáticos, estás utilizando la física, y eso es otra cosa bien distinta. Yo hice ese comentario porque alex había pedido una demostración matemática de tal cosa y eso no puede ser porque hay soluciones matemáticamente aceptables que no son funciones de probabilidad. Solo pretendía aclararle ese punto a alex, pero te metiste por en medio Weip. Una cosa es que un matemático pueda demostrar partiendo solo de la ecuación que sus soluciones son funciones de probabilidad (eso es imposible y no creo que nadie pueda discutirlo) y otra es que usando los postulados de la mecánica cuántica pueda concluirse que las únicas soluciones aceptables son las que cumplen esa condición, afirmación esta última que me parece acertada. No todas las soluciones de la ecuación Schrödinger son aceptables para un físico porque no todas son funciones de probabilidad.

Salu2, Jabato.

En fin Jabato, veo que así no se puede debatir. Quiero decir que si no quieres que use un postulado de la mecánica cuántica, entonces de acuerdo, no se puede demostrar. Pero es que con argumentos físicos rigurosos tampoco podrás hacerlo porque no puedes usar ni la mecánica clásica ni la mecánica cuántica para argumentar en esa dirección. Es más, si prescindes del primer postulado, no puedes hablar siquiera de función de onda, con lo que el problema pierde todo su sentido. Tampoco puedes hablar de ecuación de Schrödinger entonces. Sencillamente te acabas de atar de manos y pies con tu propio argumento.

Ya he presentado mis razonamientos que son evidentemente ciertos. Es que si no lo fueran, la física estaría mintiendo. Simple y llanamente. Pongo un ejemplo tonto. Si tu tienes una función que tiene como imagen 42 en un cierto punto, ¿la llamarías probabilidad? Obviamente no. Jabato, ni siquiera se necesita papel y lápiz para comprobar mis razonamientos. Antes de tachar mis argumentos como falsos, compruébalos.

Para ir acabando, creo que confundes términos. No estamos hablando de probabilidades, si no de funciones de densidad de probabilidad. No son lo mismo. Además yo no digo que la función de onda sea una probabilidad, lo que digo es que su módulo al cuadrado es una función de densidad de probabilidad. Es obvio que las soluciones de la ecuación de Schrödinger no tienen porqué ser funciones de densidad, nunca lo he afirmado. En general no lo son, como bien remarcas. Lo único que he afirmado es que existe una relación entre las soluciones de la ecuación de Schrödinger y la probabilidad (lo dije cuando te cité ayer), pero nunca que dichas soluciones sean probabilidades.

Finalmente, te invito a releer mis anteriores mensajes con atención. Haces afirmaciones que dejan en evidencia que me has malinterpretado totalmente. Ayer incluso me discutiste de donde salía el primer postulado y que el cuadrado del módulo de la función de onda es positivo o nulo. Es mecánica cuántica elemental. Dejo de responder el resto del mensaje porque estamos ensuciando el hilo. Si te digo que puedes encontrar ecuaciones cuya solución sea una función de probabilidad (o de densidad), me dirás que ponga ejemplos y desviaremos aún más el tema.

¡Saludos!

[visitante20160513]

Re: ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

Disculpa Weip pero sigues sin entenderme. Procura leer mis mensajes con algo más de detenimiento. Solo le aclaré a alex que es imposible establecer la relación:

Solución de la ecuación de Schrödinger ---> Función de probabilidad

esgrimiendo solo argumentos matemáticos.

No pido que eso se haga así ni nada que se le parezca, de hecho no estoy pidiendo a nadie que demuestre nada ni que haga nada, ni me ato de manos de ninguna forma, tan solo fue una aclaración dirigida a Alex, puesto que en un mensaje anterior fue él quién pidió una demostración matemática de tal cosa, y resulta evidente que eso no puede hacerse.

¿Ya lo has entendido?
Te puedo poner las letras más gordas y en rojo pero más claro ya no puedo decirtelo.

Jabato

[Weip]

Re: ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

¿Y yo que te dije? Que me parece perfecto, que tu argumento es mejor que el mío y que alex se ha de quedar con tu comentario. El mío solo servía para ilustrar lo evidente que es actualmente esa relación entre la función de onda y la probabilidad usando argumentos simplísimos.

¿Que el argumento no es 100% matemático? Pues me he precipitado con mi observación, sí. El primer postulado de la mecánica cuántica es física. Tendría que haber dicho "un argumento más matemático de los que se han presentado hasta ahora". A pesar de esto, alex ha expresado que era algo así lo que quería ver como respuesta. Así que creo que he hecho bien.

Luego, no creo que tu mensaje sirva para resumir a lo que te estabas refiriendo. Insisto en que has puesto en mi boca cosas que yo no he dicho y ha habido un momento en el que has tachado como falsos mis argumentos cuando no lo son. También creo que ha habido momentos en los que la discusión no era clara: nunca me he referido a soluciones de la ecuación de Schrödinger como probabilidades. Creo que hay que dejar claro que el objeto de debate es el cuadrado del módulo de la función de onda y su relación con la función de densidad. Porque en los textos divulgativos no se concreta nada, y luego se fijan ideas incorrectas. Esto es muy importante a la hora de enfrentar algo nuevo como lo está haciendo alex.

A pesar de todas mis observaciones, lo repito: mi argumento no es el mejor para ilustrar este hecho. En eso estamos de acuerdo. Finalmente, perdón por haber ocasionado ruido en el hilo.

[visitante20160513]

Re: ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

Bueno, olvidemos la cosa, y sigamos con lo que interesa. Quizás convendría revisar un poco la semilla de la idea original, me refiero a los trabajos de De Broglie, ya que fue precisamente él quien primero hablo de la dualidad aplicada a todas las partículas, no solo a los fotones. Estuve mirando por internet y no he visto gran cosa salvo alguna referencia a las ondas de materia que fue el primer tratamiento que dio De Broglie a lo que hoy llamamos dualidad, y quizás si investigamos un poco más saquemos algo en claro. Según parece De Broglie pensó que quizás se podía extender el comportamiento dual de los fotones (muy conocido en aquella época por los trabajos de Planck con la radiación y Einstein con el efecto fotoeléctrico) al resto de las partículas elementales, y en base a eso desarrolló el concepto de las ondas de materia, aunque hoy creo que ya está superado pues esa parece ser la idea original, la idea que dio origen a todo lo demás.

En todos lados se habla de la longitud de onda y frecuencia de dichas ondas, los dos famoso postulados, pero no he encontrado ninguno en que se hable de la naturaleza de dichas ondas. Yo imagino que cuando De Broglie hablaba de ondas debía tener una idea de cual debía ser la naturaleza de esas ondas, me refiero a cual era la magnitud que variaba de forma ondulatoria, pero no he encontrado referencia a ese punto en ninguna parte, y es ahí donde creo que está el meollo de la cuestión. Hoy en día se interpretan como ondas de probabilidad, pero no creo que esa fuera la idea original de De Broglie. Así pues la pregunta del millón parece ser ésta:

¿Cual era la naturaleza de las ondas de materia que postuló De Broglie? ¿Alguien puede aportar algo de luz a esta pregunta?

Salu2, Jabato.