¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

[carroza]

Re: ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

Hola. Un comentario, para centrar el problema.

La función de onda, a pesar de su importancia histórica y pedagógica, no es el elemento principal de la mecánica cuántica. En cuanto una partícula tiene espín, o tenemos un sistema medianamente complicado de muchas partículas (un átomo o un núcleo), o podemos crear o aniquilar partículas, la función de onda resulta insuficiente. Por ello, intentar derivar propiedades de la mecánica cuántica, como la probabilidad, a partir de propiedades matemáticas de las funciones de onda, no parece una buena idea.

En mi opinión, lo relevante de la mecánica cuantica es que cualquier sistema puede describirse como un estado de un espacio vectorial, el espacio de Hilbert, que en general tiene un número infinito de dimensiones. O sea, que si
|A> y |B> son estados posibles, cualquier combinación lineal de |A> y |B> son estados posibles de un sistema. Esto no ocurre en mecánica clásica.

En un espacio vectorial, tengo muchas formas posibles de elegir una base para describir mis estados. Puedo elegir una base de oscilador armónico. Una base de autoestados del átomo de hidrógeno. Una base de autoestados del momento (ondas planas). O, finalmente, una base de autoestados del operador posición (deltas de dirac).

Sea cual sea la base que yo elija, si mi estado está normalizado, la suma de los coeficientes al cuadrado, en cualquier base, será igual a uno. Sea cual sea la base que yo elija, un coeficiente al cuadrado de mi estado con un estado dado de la base lo interpretaré como la probabilidad de que mi estado "esté" en dicho estado de la base.

La función de onda, que tanto amamos, no es más que el conjunto de los coeficientes del desarrollo de un estado cuántico en una base particulas, de autoestado del operador posición. Así, podemos escribir

$|\Psi> = \int_{-\infty}^\infty dx \psi(x) |x>$

Donde $|\Psi>$ es nuestro estado cuántico, $|x>$ son los estados cuánticos de una base caracterizada por una posición definida, y $\psi(x)$ son simplemente números complejos que son los coeficientes de este desarrollo. La integral es simplemente el caso límite de una suma.

De la misma forma, podríamos haber elegido el desarrollo del estado en una base de oscilador armónico de forma que

$|\Psi> = \sum_{n=0}^{\infty} c_n |n>$.

Donde $|\Psi>$ es nuestro estado cuántico, $|n>$ son los estados de una base de oscilador armínico, y $c_n$ son simplemente números complejos que son los coeficientes de este desarrollo.

El hecho de que $|\psi(x)|^2$ sea una probabilidad, es equivalente a que $|c_n|^2$ sea una probabilidad. Ni más ni menos.

Saludos

[javier m]

Re: ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

Solo para aportar algo que me parece interesante:

(...)once you accept that there should be some specific probability rule, it’s practically guaranteed to be the Born Rule. There is a result called Gleason’s Theorem, which says roughly that the Born Rule is the only consistent probability rule you can conceivably have that depends on the wave function alone. So the real question is not “Why squared?”, it’s “Whence probability?”

Re: ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

Vamos a ver, lo que dije es que utilizando solo argumentos matemáticos no puede demostrarse que las soluciones de la ecuación de Schrödinger son funciones de probabilidad porque está claro que es muy fácil obtener una solución que no lo sea. Ya expliqué como. Y tu me cuestionaste esa afirmación diciendo que ya lo habías demostrado. No es cierto, y mucho menos usando solo argumentos matemáticos. Ni demostraste nada y además lo que afirmaste es falso desde un punto de vista estrictamente matemático. Si te apoyas en los postulados de la mecánica cuántica entonces no estás basándote en argumentos matemáticos, estás utilizando la física, y eso es otra cosa bien distinta. Yo hice ese comentario porque alex había pedido una demostración matemática de tal cosa y eso no puede ser porque hay soluciones matemáticamente aceptables que no son funciones de probabilidad. Solo pretendía aclararle ese punto a alex, pero te metiste por en medio Weip. Una cosa es que un matemático pueda demostrar partiendo solo de la ecuación que sus soluciones son funciones de probabilidad (eso es imposible y no creo que nadie pueda discutirlo) y otra es que usando los postulados de la mecánica cuántica pueda concluirse que las únicas soluciones aceptables son las que cumplen esa condición, afirmación esta última que me parece acertada. No todas las soluciones de la ecuación Schrödinger son aceptables para un físico porque no todas son funciones de probabilidad.

Salu2, Jabato.

[Weip]

Re: ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

Disculpa Weip pero no has demostrado nada, te has limitado a afirmarlo, que no es lo mismo, y además es falso. Las soluciones de la ecuación de Schrödinger no deben satisfacer esos postulados (¿de dónde sale eso?), y te pongo tan solo un ejemplo. Supongamos que una función, $\Phi$, es solución de la ecuación. Pues entonces la función doble de esa, $2\Phi$, también lo debe ser puesto que la ecuación es lineal, pero es imposible que las dos soluciones sean funciones de probabilidad porque:

$\displaystyle\iiint\Phi^2d\tau=1\qquad\to\qquad \displaystyle\iiint (2\Phi)^2d\tau=4$

así que con argumentos matemáticos es imposible demostrar eso. Otra cosa es que utilicemos solo esas soluciones por conveniencia de los físicos, pero ... eso es distinto.

Salu2, Jabato.

Vamos a ver creo que se me ha malinterpretado. He tenido la mala suerte de usar una notación confusa. Solo me he limitado a poner las condiciones que debe cumplir la función de onda para que sea función de densidad de probabilidad. La única diferencia es que he sido poco formal y no he hablado de variables aleatorias, pero bueno creo que cualquiera puede buscar la definición en internet. Me has preguntado de donde sale esto, así que voy a justificarme:

-Estarás de acuerdo conmigo que el módulo es siempre positivo o nulo. Es una propiedad elemental que se enseña en la ESO, no creo que explayarme aquí sea necesario. Así pues, primera condición cumplida.

-La segunda es consecuencia directa del primer postulado de la mecánica cuántica (el que introduce el concepto de función de onda). Como postulado que es, es totalmente cierto. Así pues, segunda condición cumplida.

Teniendo en cuenta las dos condiciones necesarias y suficientes, el cuadrado de la función de onda es una función de densidad de probabilidad. No hay más misterio.

Con argumentos físicos puedes llegar a lo mismo, si no digo yo que no. Es más, puesto que estamos haciendo física, ese argumento es mejor. Solo quería mostrar de una forma simple la relación entre la función de onda y la probabilidad. Es un método muy sencillo porque solo hemos de demostrar dos cosas: una es bien conocida por todos y la otra es casi un postulado. Sé perfectamente que no debería llamar a esto "demostración" puesto que tiene más agujeros que un colador desde el punto de vista matemático. Tampoco es la intención, pero se puede demostrar rigurosamente que así es (si la física llega a una cosa y las matemáticas a otra, mal iríamos). No creo que le hagamos un favor a alexpglez haciendo un desarrollo de estas características. Por eso prefiero limitarme a exponer la relación de forma más o menos operativa y evidente.

Finalmente, que la función de onda esté relacionada con la probabilidad es un hecho físico pero también ha de ir acompañado de las matemáticas. Es decir, si tu llamas a algo densidad de probabilidad, al menos hay que comprobar que lo es. Porque si no sí que estaríamos diciendo algo falso en nombre de las matemáticas. Así que lo mínimo que puedo pedir a una densidad de probabilidad es que cumpla la definición. Si no pues no lo sería.

En fin, que solo era esto, al final me he explayado xD.

Re: ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

Disculpa Weip pero no has demostrado nada, te has limitado a afirmarlo, que no es lo mismo, y además es falso. Las soluciones de la ecuación de Schrödinger no deben satisfacer esos postulados (¿de dónde sale eso?), y te pongo tan solo un ejemplo. Supongamos que una función, $\Phi$, es solución de la ecuación. Pues entonces la función doble de esa, $2\Phi$, también lo debe ser puesto que la ecuación es lineal, pero es imposible que las dos soluciones sean funciones de probabilidad porque:

$\displaystyle\iiint\Phi^2d\tau=1\qquad\to\qquad \displaystyle\iiint (2\Phi)^2d\tau=4$

así que con argumentos matemáticos es imposible demostrar eso. Otra cosa es que utilicemos solo esas soluciones por conveniencia de los físicos, pero ... eso es distinto.

Salu2, Jabato.

[Weip]

Re: ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

Creo que con argumentos matemáticos no podrás demostrar que las soluciones de la ecuación de Schrödinger tengan alguna relación con la probabilidad.

Sí se puede demostrar y lo he hecho: el valor absoluto es siempre positivo o nulo y luego he usado una consecuencia directa de los postulados. Sea como sea, solo he querido aportar mi argumento porque es trivial de comprobar y no se necesitan grandes conocimientos para entenderlo. Tampoco quiero ahora desviar el tema porque la explicación que has dado es perfecta y es con la que se ha de quedar alexpglez.

Re: ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

Creo que con argumentos matemáticos no podrás demostrar que las soluciones de la ecuación de Schrödinger tengan alguna relación con la probabilidad. Los argumentos son más bien físicos. Para un físico la condición de que la suma a lo largo de todo el espacio del cuadrado de la función de onda sea finita y positiva es básica, porque si no lo fuera el fenómeno implicaría condiciones inaceptables para un físico (energías infinitas, o distribuciones espaciales de masa o de carga infinitas, etc.) así pues si tenemos:

$\displaystyle\iiint\Phi^2d\tau=k^2$

entonces al dividir la función $\Phi$ por la constante $k$ siempre obtenemos otra solución que satisface también la ecuación de onda y además cumple la:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

y que entonces puede ser interpretada como una onda de probabilidad, de manera que la única condición relevante que debe satisfacer la función de onda es que sea de cuadrado sumable algo que para un físico es perfectamente natural. La sorpresa no viene por ahí, la sorpresa viene cuando al realizar los experimentos los físicos encuentran que efectivamente la naturaleza se comporta realmente así, de una forma probabilistica y no determinista. Y se han hecho muchos experimentos para verificarlo porque esa interpretación tiene realmente muchas consecuencias y de mucho calado. El hecho de que una partícula pueda estar a la vez en dos sitios distintos (con una cierta probabilidad) es algo que ha tirado por tierra muchos pilares que se suponían sólidos. Y según parece es la única explicación a los experimentos realizados, el de la doble rendija es uno de los más espectaculares, pero no es el único.

Salu2, Jabato.

[Weip]

Re: ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

Si, quería más una demostración matemática. Aunque realmente esa condición es para probabilidad por partícula, que era a donde quería llegar relacionando la probabilidad con función de onda, así que hemos vuelto a la pregunta..

No entiendo tu frase. Lo que he puesto es la definición de función de densidad de probabilidad (es cierto que me han faltado un par de tecnicismos pero no he creído relevante hablar de ellos puesto que juegan un papel más bien secundario en la discusión). No estoy hablando ni de partículas ni de física. Solo he puesto lo que ha de cumplir una función (en este caso $|\psi|^2$) para que sea función de densidad. Por eso creo que es un argumento más directo. Que la función de onda sea un vector de un espacio de Hilbert o cualquier otra cosa es irrelevante.

Lo de Re{} lo entiendo, lo que no entiendo es otra duda (bastante tonta creo yo), ya que estoy aprovecho para preguntarla por aquí.
La ecuación de ondas:

$$\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2}$$

La solución es:

$$u(x,t)=(Ae^{ikx} + Be^{-ikx})(Ce^{ikvt}+De^{-ikvt})$$

Que para una onda viajera B y C se anulan.

$$u(x,t)=Ae^{ik(x-vt)}$$

En la ecuación de Schrödinger para una partícula libre le da esa complejidad que su módulo sea 1 y por tanto la probabilidad se reparta a partes iguales por el espacio, creo (corregidme si me equivoco). Pero no entiendo lo de coger la parte real o imaginaria, porque evidentemente coger una parte no equivale a coger todo, me refiero que no sé por qué se coge. En segundo lugar, no sé como se demuestra las ecuaciones de ondas senoidales, cogiendo la parte imaginaria tal vez¿?

Perdón por preguntar estas cosas tan básicas pero no las entiendo.

Lo de escoger parte real o imaginaria no tiene más objetivo que ese, ilustrar la parte real o la parte imaginaria. Que si quieres coger todo, pues lo coges. Lo siento pero aquí no me sé explicar mejor. Respecto a las ondas sinusoidales supongo que te refieres a las del tipo $x(t)=A \sin (\omega t + \phi)$. Realmente es muy simple. Las funciones seno y coseno están desfasadas, con lo que solo tienes que sumar una constante dentro del seno/coseno para pasar de una ecuación a otra. ¿Cuándo se usa uno y cuándo el otro? Hazlo como quieras, escoge la que más te convenga. Como en un MAS. Da igual con cual de las dos funciones escribas $x(t)$, mientras seas coherente con la elección.

[alexpglez]

Re: ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

Quiero comentar un poco el tema central del hilo desde el punto de vista matemático. El punto de vista físico es importante, pero en mi opinión es más rebuscado para un joven que se está introduciendo en el tema. Así que solo quiero aportar otro argumento más simple, directo, y accesible para alexpglez.

El cuadrado de la función de onda es una función de densidad de probabilidad porque cumple la definición. Esta función ha de cumplir:

1) $|\psi|^2 \geqslant 0$

2) $\dst \int_{-\infty}^{\infty} |\psi|^2 dV=1$

Como se puede ver, es evidente que se cumplen las dos condiciones y por lo tanto podemos hacer la interpretación usual.

Básicamente era comentar esto, que es más fácil de entender, creo.

Si, quería más una demostración matemática. Aunque realmente esa condición es para probabilidad por partícula, que era a donde quería llegar relacionando la probabilidad con función de onda, así que hemos vuelto a la pregunta..

Lo de Re{} lo entiendo, lo que no entiendo es otra duda (bastante tonta creo yo), ya que estoy aprovecho para preguntarla por aquí.
La ecuación de ondas:

$$\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2}$$

La solución es:

$$u(x,t)=(Ae^{ikx} + Be^{-ikx})(Ce^{ikvt}+De^{-ikvt})$$

Que para una onda viajera B y C se anulan.

$$u(x,t)=Ae^{ik(x-vt)}$$

En la ecuación de Schrödinger para una partícula libre le da esa complejidad que su módulo sea 1 y por tanto la probabilidad se reparta a partes iguales por el espacio, creo (corregidme si me equivoco). Pero no entiendo lo de coger la parte real o imaginaria, porque evidentemente coger una parte no equivale a coger todo, me refiero que no sé por qué se coge. En segundo lugar, no sé como se demuestra las ecuaciones de ondas senoidales, cogiendo la parte imaginaria tal vez¿?

Perdón por preguntar estas cosas tan básicas pero no las entiendo.

[Weip]

Re: ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

Quiero comentar un poco el tema central del hilo desde el punto de vista matemático. El punto de vista físico es importante, pero en mi opinión es más rebuscado para un joven que se está introduciendo en el tema. Así que solo quiero aportar otro argumento más simple, directo, y accesible para alexpglez.

El cuadrado de la función de onda es una función de densidad de probabilidad porque cumple la definición. Esta función ha de cumplir:

1) $|\psi|^2 \geqslant 0$

2) $\dst \int_{-\infty}^{\infty} |\psi|^2 dV=1$

Como se puede ver, es evidente que se cumplen las dos condiciones y por lo tanto podemos hacer la interpretación usual.

Básicamente era comentar esto, que es más fácil de entender, creo.

Re: ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

Sí se cumple, sí. Sale de la relación $v=\lambda\nu$ propia de todas las ondas, que afirma que la velocidad de propagación de una onda es igual al producto de su longitud de onda por su frecuencia y que seguro debes conocer.

Salu2, Jabato.

[Julián]

Re: ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

Cuando descompones las funciones. ¿de donde sale $\lambda$? Me parece que la relación ahí no se cumple.

Re: ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

Trataré de hacer una propuesta (muy tímida) que pudiera ser el hilo conductor del razonamiento, si es que hay alguno. Tenemos por una parte la ecuación general de propagación de las ondas:

$\nabla^2 \Psi=\displaystyle\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}$

y ahora tratemos de buscar en ellas soluciones estacionarias, haciendo:

$\Psi(x,y,z,t)=\varPhi(x,y,z)\cdot T(t)$

substituyendo en la ecuación de las ondas tenemos que:

$T\nabla^2 \varPhi=\displaystyle\frac{\varPhi T''}{v^2}=\displaystyle\frac{\varPhi T''}{\lambda^2\nu^2}$

que puede descomponerse en las dos siguientes:

$\nabla^2 \varPhi=\displaystyle\frac{4\pi^2}{\lambda^2}\varPhi\qquad\qquad T=\displaystyle\frac{1}{4\pi^2\nu^2}T''$

y si aplicamos ahora la hipótesis de De Broglie resulta que:

$\nabla^2 \varPhi=\displaystyle\frac{4\pi^2p^2}{h^2}\varPhi=\displaystyle\frac{8\pi^2m}{h^2}(W-U)\varPhi\qquad\qquad T=\displaystyle\frac{h^2}{4\pi^2W^2}T''$

que aplicada a una partícula que se moviera en un campo potencial clásico nos conduciría a la ecuación de Schrödinger. Esta me cuadra algo más y en ella no intervienen ni los fotones ni la luz, es tan solo la resultante de asociar la hipótesis de De Broglie a la ecuación general de propagación de las ondas buscando soluciones estacionarias.

Salu2, Jabato.

[Julián]

Re: ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

Creo que se está mesclando las cosas. Que las ondas EM tengan un comportamiento corpuscular se pone de manifiesto cuando esta interaciona con la materia. Por ejemplo cuando un técnico electrónico realiza un enlace radioeléctrico, habrá fenómenos de interferencia, (entre varias ondas debido a que es bastante dificil que sea coherente la onda), difracción (que hasta puede utilizarlo en su beneficio) reflección y refracción. Por ejemplo cuando la onda pasa por 2 rendijas (si es coherente y si la separación y la ancuhra de las rendijas son mayores a su longitud de onda) interfiere.
Por ejemplo si al rotor de un generador lo hago rotar a $\omega$ habrá una onda (tanto de tensión y de corriente) con una velocidad angular $\omega$ y si como carga conecto una antena dipolar, en un punto lejano del espacio tanto el campo eléctrico como el magnético tendrán una aceleración angular $\omega$

Si vamos tirando fotones "aleatorios" y al final tenemos un patrón de interferencia ondulatoria, signifiaca precisamente que la función de onda que forma el patrón está relacionada directamente con la distribución de probabilidad de cada fotón individual.

Fijate que un foco de bajo consumo o un fluorecente tira fotones aleatorios pero si pones una rendija no se verá el patrón de interferencia, esto es debido a que no es coherente la radiación. Por ende en cuanto a los fenómenos ondulatorios no cabe la interpretación corpuscular.

Ahora el fotón se pone de manifiesto cuando la radiación interaciona con la materia, la cual está en un estado ligado y cuántico. Pongo como argumento una experiencia demostrada.El experimento de desición retrasada.

http://grupocaos2007.brinkster.net/0...leccretard.htm.

Es decir, si la radiación no interactúa con otra radiación o con ella misma no notaremos el efecto ondulatorio y si no interactúa tampoco con la materia tampoco notaremos el comportamiento como partícula. Antes no se sabe lo que es.

Pasa lo mismo con un electrón. Por ejemplo un electron libre que se encuentra en su trayectoria una pared (una partícula beta). Interactúa como partícula. Hay una función de onda para este, pero este no se comportó como una onda, quizás por esto la onda es compleja. Ahora si ponemos una rendija en su trayectoria se comportaría como una onda porque interferiría; pero si hay un detector del otro lado lo veremos como una partícula, es decir, nunca persivimos la onda (quizás por esto es compleja). Lo que sí veremos el patrón de interferencia si hay una corriente de electrones, uno tras otro y entonces notaremos que hay zonas en donde muy pocos colicionaron. Y justamente esas zonas coinciden con el cuadrado de esa expresión matemática. La longitud de onda corresponde a la relación que hay con la interferencia de la luz coherente en cuanto al patrón de interferencia y sige la forma $\lambda = m d sen (\theta)$

[pod]

Re: ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

Vamos a ver, según lo veo yo, la luz tratada como onda está perfectamente explicada en el electromagnetismo, y las funciones que cumplen su ecuación son los campos magnético y eléctrico. Eso es una cosa y otra muy distinta pensar que un fotón, tratado como una partícula con energía y momento, puede satisfacer dicha ecuación ¿y eso de donde sale? Además, aunque pueda hacerse esa deducción al final llegamos a la ecuación de Schrödinger que solo puede aplicarse a las partículas con masa (?) pero ... ¿es que el fotón tiene masa? Yo creo que deducir la ecuación de Schrödinger partiendo de aplicar la ecuación de propagación de las ondas al foton no parece que tenga ni pies ni cabeza si se miran las cosas con un poco de lógica. Y si aplicamos la ecuación de propagación de las ondas a una partícula con masa entonces ya ni te cuento, debería resultar directamente una aberración. Creo que el hilo conductor de la idea debería ir por otra parte.

Salu2, Jabato.

De hecho, cuando se habla de doble rendija en cuántica se suele hablar de electrones, no de luz...

Como bien dices, si fuera por la luz, la doble rendija no habría llevado a la cuántica. El fotón se menciona más bien en el efecto fotoeléctrico (aunque eso difícilmente se puede utilizar para justificar la interpretación de la función de onda como amplitud de probabilidad).