Órbita de Bohr

[Weip]

Re: Órbita de Bohr

Borh no desarrolló el concepto de onda de materia sino fue de Broglie.

Tienes toda la razón, pero nosotros queríamos deducirlo así. The Higgs Particle quería alguna demostración alternativa a la que propones que usara ondas. Y como hay pocas pues hemos echado mano de la dualidad onda partícula.

Afirmativo. En la primera ecuación que puso The Higgs particle, era con la velocidad de onda:

$$v_{onda}=\frac{\omega}{k}=\frac{E}{p}=\frac{\frac{1}{2}mv_{particula}^2}{mv_{particula}}=\frac{1}{2} v_{particula}$$

Que en un fotón coincide, como $E=pc$
Entonces yo también me expresé mal:

$$\nu \neq v_{particula}{\lambda}$$

Ya que se define \nu:

$$\nu = v_{onda}{\lambda}$$

Pero en fin, llegamos a la conclusión que ya puse:

$$E=\frac{1}{2}mv_{particula}^2=\frac{1}{2}pv_{particula}=\frac{1}{2}\frac{hv_{particula}}{\lambda}=\frac{hv_{onda}}{\lambda}=h\nu$$

Por lo que se equivocó en mezclar la velocidad de onda que escribió al principio con:

$$n\hbar=mv_{particula}r$$

Pero como también se equivocó en:

$$n\lambda\neq 4\pi r$$

$$n\lambda=2\pi r$$

Uf, ha costado pero parece que ahora todo cuadra. Esta es al segunda vez que me encuentro con esto así que no es fácil de ver el error. Gracias por la ayuda prestada, al final he acabado con la cabeza hecha un lío.

[alexpglez]

Re: Órbita de Bohr

Ahora que lo pienso, en realidad el trabajo de bohr, desde un punto de vista más amplio que el de aquella época. Se puede plantear como un problema de una partícula moviéndose por una circunferencia, se desarrolla y resuelve la ecuación de schrödinger, se combina además con la fuerza que produce esa "trayectoria" circular, la fuerza coulombiana del núcleo, y se podría obtener las ecuaciones del radio y la energía. Voy a probarlo a ver qué pasa, y os cuento.

- - - Actualizado - - -

Ya lo tengo, pero tengo algunos errores en algunos signos haciéndolo por otro modo:
Como el radio es constante, el operador momento es:

$$\hat p=-\hbar\frac{1}{r^2}\frac{\partial \psi}{\partial \varphi}$$

Entonces la ecuación de schrodinger nos queda:

$$-\frac{\hbar ^2}{2mr^2}\frac{\partial \psi}{\partial \varphi}=E\psi$$

$$\frac{\partial \psi}{\partial \varphi}=-\frac{2mr^2}{\hbar ^2}E\psi$$

Para The Higgs Particle: Para resolver esta ecuación, se busca una solución exponencial $e^{k\varphi}$, se encuentra k, y se hace una combinación lineal de todas las combinaciones posibles (puedes comprobar, derivando en una ecuación de este tipo, que cualquier combinación lineal de soluciones a la ecuación, también es solución de la ecuación):

$$k^2e^{k\varphi}=-\frac{2mr^2}{\hbar ^2}Ee^{k\varphi}$$

$$k^2=-\frac{2mr^2}{\hbar ^2}E$$

$$k=\pm i \frac{\sqrt{2Em}r}{\hbar}$$

Llamemos para simplificar:

$$n=\frac{\sqrt{2Em}r}{\hbar}$$

La solución entonces nos queda:

$$\psi(\varphi)=Ae^{i n\varphi}+Be^{-in\varphi}$$

Si razonamos, para que exista tal onda estable, al dar una vuelta a la circunferencia debe tener el mismo valor, cómo una circunferencia tiene 2 pi radianes:

$$\psi(\varphi+2\pi)=\psi(\varphi)$$

$$Ae^{in(\varphi+2\pi)}+Be^{-in(\varphi+2\pi)}=Ae^{in\varphi}e^{in2\pi}+Be^{-in\varphi}e^{-in2\pi}=Ae^{in\varphi}+Be^{-in\varphi}$$

Es decir:

$$e^{in2\pi}=e^{-in2\pi}=1$$

Desarrollamos el sistema mediante la ecuación mediante la fórmula de euler: $e^{ix}=\cos x + i \sin x$
PD: Ahora que sabes lo que es una serie de taylor, podrás entender la demostración de la fórmula de euler: http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_Euler

$$\cos n2\pi + i\sin n2\pi=1$$

$$\cos n2\pi - i\sin n2\pi=1$$

$$\sin n2\pi = 0$$

$$\cos n2\pi = 1$$

$$n \in \mathrm{Z}$$

n puede valer cualquier valor entero, lo que tembién nos dice que el término $Be^{-in\varphi}$ no nos aporta información nueva a la solución.
Además si se quiere se puede encontrar cuanto vale A normalizamos la función de onda, quiere decir que calculamos la proabilidad de encontrar al electrón en todo el espacio e igualamos a 1 (puesto que sólo hay un electrón, si hay más, después se puede multiplicar a la función por un número entero).

$$\iiint_{-\infty}^{\infty} \varphi \varphi^\ast \dd x \dd y \dd z=1$$

$$\int_{0}^{2\pi}\vert A \vert ^2 \dd \varphi= \vert A \vert ^2 2\pi=1$$

$$\vert A \vert=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$$

La densidad de probabilidad sería entonces de $\frac{1}{2\pi}$.
Recordemos, para la segunda ecuación que por la fórmula de euler, la exponencial imaginaria es un número complejo de módulo 1, y las barras en la última, significa que se puede coger cualquier número complejo de módulo $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$, así podemos definir la fase inicial de la onda por ejemplo.
La solución sería:

$$\psi_n(\varphi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{i(n\varphi + \varphi _0)}$$

Como la ecuación de Schrodinger tiene además parte temporal:

$$i\hbar\frac{\partial \psi(t)}{\partial t}=E\psi(t)$$

$$\psi_n(t)=Be^{-i\omega_n t}$$

La solución para un n, entonces es (B estaba incluida en A, la constante que calculamos antes, B=1, si ponemos algún otro valor incumpliría la fórmula de normalización):

$$\psi_n(\varphi,t)=\psi(\varphi)\psi(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{i(n\varphi + \varphi _0)}e^{-i\omega_n t}$$

Pero, una suma de estados también es solución de la ecuación, de ahí el principio de superposición.

Bueno, me salgo del tema, voy a lo de Bohr, voy a mezclar esto con cosas más clásicas.

$$n=\frac{\sqrt{2Em}r}{\hbar}$$

$$E=\frac {\hbar^2}{2mr^2}n^2$$

$$E=\frac{p^2}{2m}=\frac{h^2}{2m\lambda^2}$$

$$\lambda^2=\frac{h^2}{2mE}=\frac{h^2 2mr^2}{2m\hbar^2n^2}=\frac{4\pi^2 r^2}{n^2}$$

$$n\lambda=2\pi r$$

$$pn\lambda=p2\pi r$$

Con lo que por otros medios hemos demostrado el segundo postulado:

$$n\hbar=mvr=L$$

Y las condiciones del primer postulado, movimiento circular provocado por una fuerza coulombiana:

$$m\frac{v^2}{r}=\frac{KZe^2}{r^2}$$

Y una ecuación que también se puede usar para demostrarlo:

$$E=\frac{1}{2}mv^2-\frac{KZe^2}{r}$$

Yo tengo errores de signos al juntar esta expresión de la energía con la energía anterior aparte de esos signos que no me cuadran me salen los términos contantes bien, me parece raro, no veo ningún fallo... Pero bueno, mejor no sigo para dejar disfrutar un poco a The Higgs Particle.
Y si no tengo errores de escritura debería ser correcto todo lo escrito.
Saludos,
PD: mis intervenciones parecen más clases, que intervenciones...

[carroza]

Re: Órbita de Bohr

Hola.

Un comentario: El estado fundamental del átomo de hidrógeno tiene momento angular $L = 0 \hbar$, segun se deriva en cuántica.

El estado fundamental del modelo de Bohr tiene $L = 1 \hbar$.

El hecho de que los niveles de energía en el átomo de Bohr coincidan con los niveles de energía de la mecánica cuántica es una casualidad, que solamente es válida para potenciales de tipo 1/r. Dicho de otra forma, Bohr tuvo una suerte tremenda, ya que su modelo, absolutamente erróneo, ya que da mal el momento angular, da bien los niveles de energía.

Si quisiéramos un simil clásico del estado fundamental del átomo de hidrógeno, tendríamos trayectorias rectilineas que atravesarían el núcleo atómico. Nada de trayectorias circulares.

Saludos