Divulgación Órbita de Bohr

[The Higgs Particle]

Hola; estoy viendo las ondas estacionarias, y una cosa ha llevado a la otra y me he puesto a desarrollar esto, tratando de buscar el radio de la órbita de Bohr. Lo he hecho en modo "a ver qué sale" y, para mi sorpresa, ha salido la misma fórmula que aparece el libro. Sin embargo, sé que es un poco para salir de paso y me gustaría mejorarlo:

Si consideramos a los electrones de un átomo como ondas estacionarias, entonces debe cumplirse que su longitud de onda es $\lambda = \frac{2L}{n}$, donde $L$ es la longitud de la órbita que, considerándola circular, nos da $L = 2 \pi r$. Aplicando todo esto para $n = 1$; es decir, aplicándolo al átomo de hidrógeno:

$\lambda = 4 \pi r$. Además, $E = h \nu = h \frac{v}{\lambda} \to \lambda = \frac{hv}{E}$, de donde obtenemos que $r = \frac{hv}{4 \pi E}$.

Sabiendo que $|{E}_{1}| = \frac{2{K}^{2}m{e}^{4}{\pi}{2}}{{h}^{2}}$, tenemos: $r = \frac{{h}^{3}v}{8{\pi}^{3}{K}^{2}m{e}^{4}}$ (I).

Al mismo tiempo, del segundo postulado de Bohr, sacamos que $mvr = n \frac{h}{2 \pi} \to v = \frac{h}{2 \pi mr} (II)$. Sustituyéndolo en (I):

${r}^{2}= \frac{{h}^{4}}{16 {\pi}^{4}{K}^{2}{m}^{2}{e}^{4}}$. Por lo que podemos concluir:

$\boxed{r = \frac{{h}^{2}}{4{\pi}^{2}Km{e}^{2} }}$

[Weip]

Re: Órbita de Bohr

Está bien. Realmente lo puedes razonar de muchas maneras (igual la hipótesis que has usado es demasiado suponer), pero ya sabes, a esto se le puede dar las vueltas que quieras y es algo con mucha profundidad.

[The Higgs Particle]

Re: Órbita de Bohr

¿Cómo hago para que sea "un poco más natural"? Porque a mí me da la sensación de que, como tú dices, está un poco forzado.

[Weip]

Re: Órbita de Bohr

Hay muchas maneras de hacerlo, yo solo te indico una. Lo más lógico creo yo es suponer lo siguiente:

$m_e \dst \frac{v^2}{r}=K \dst \frac{e^2}{r^2}$

Y juntarlo con el momento angular cuantizado (y con su expresión clásica):

$L=n \hbar$

Jugando un poco con esto puedes llegar a la expresión del radio.

[The Higgs Particle]

Re: Órbita de Bohr

Conozco esa, es la que viene en mi libro. Quiero juguetear con las ondas

[alexpglez]

Re: Órbita de Bohr

Pero la fórmula de planck¿?:

$$E=h\nu=\frac{hc}{\lambda}$$

Y además, la fórmula que obtuviste:

$$n\lambda=4\pi r$$

Se contradice con el segundo postulado:

$$nh=2 \pi mvr$$

Si aplicamos el momento de De Broglie $p=mv=\frac{h}{\lambda}$

$$nh=2 \pi mvr=2 \pi \frac{h}{\lambda}r \Rightarrow n\lambda=2\pi r$$

[Weip]

Re: Órbita de Bohr

Conozco esa, es la que viene en mi libro. Quiero juguetear con las ondas

Pues... no conozco otras con ondas que no sea la tuya. Puedes juntarlo con la hipótesis de de Broglie pero acaba siendo muy parecido a lo que has hecho. A ver si alguien te puede echar una mano.

alexpglez, la $c$ no aparece en la energía. La velocidad del electrón es la que es. Lo demás un momento que me lo miro y ahora contesto, que no sé si has acabado de editar.

[alexpglez]

Re: Órbita de Bohr

Pues es la primera vez que veo esta fórmula:

$$E=h\frac{v}{\lambda}$$

no sé si has acabado de editar

Las lambdas, que puse lamda...
Las fórmulas, que has de usar según los postulados de bohr: el movimiento de los electrones son en órbitas circulares, moviéndose atraídos con una fuerza coulombiana. Después está el postulado (uso [TEX] \hbar=h/2\pi):

$$n\hbar=mvr$$

Se puede deducir también pensando, el electrón es una onda, la onda es estacionaria, es decir, dónde empieza tiene la misma amplitud de dónde acaba la onda además la siguiente vez la forma tiene que ser como antes. (Perdón pero no me sé explicar bien con palabras.

[Weip]

Re: Órbita de Bohr

Es verdad, lo de la longitud de onda se me ha pasado. Eso me pasa por leer en diagonal. Lo de la energía, $E=hf$ sirve para lo que quieras, no solo para la luz. Un electrón también la cumple y no va a la velocidad de la luz. Tu ahí insertas la velocidad que tenga la onda.

[alexpglez]

Re: Órbita de Bohr

Pero me estoy liando, la fórmula está bien, así, pero según el fallo que ha tenido, no nos saldría esa fórmula por ese método. Nos faltaría algún otro 2 por algún lado.¿?

- - - Actualizado - - -

A ver, repetimos los cálculos.

$$\lambda = 2 \pi r$$

$$E = h \nu = h \frac{v}{\lambda} \to \lambda = \frac{hv}{E}$$

$$r = \frac{hv}{2 \pi E}$$

$$|{E}_{1}| = \frac{2{K}^{2}m{e}^{4}{\pi}{2}}{{h}^{2}}$$

$$r = \frac{{h}^{3}v}{4{\pi}^{3}{K}^{2}m{e}^{4}}$$

$$mvr = n \frac{h}{2 \pi} \to v = \frac{h}{2 \pi mr}$$

$${r}^{2}= \frac{{h}^{4}}{8 {\pi}^{4}{K}^{2}{m}^{2}{e}^{4}}$$

Para nada...
Seguro que $E=h\nu=h\frac{v}{\lambda}$, hasta cuando no es un fotón¿? Yo nunca lo había visto así. Vamos a ver si consideramos lo de De Broglie $p=\frac{h}{\lambda}$
Y la fórmula de la energía es:

$$E=\sqrt{m^2c^4 + p^2c^2}-m^2c^4$$

Que para fotones que tienen masa 0 tiende a $E=pc=\frac{h\nu}{c}$
Y desarrollándolo mediante una serie de taylor:

$$E=\frac{1}{2}mv^2+\frac{3}{8}m\frac{v^4}{c^2}+\frac{5}{16}m\frac{v^6}{c^4}...$$

Es decir que para velocidades pequeñas nos podemos quedar con el primer término, que transformándolo:

$$E=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}pv=\frac{1}{2}\frac{hv}{\lambda}=\frac{1}{2}h\nu$$

Es decir me sale el término 1/2 que faltaba al principio. Con lo cuál me queda:

$$\lambda = 2 \pi r$$

$$E =\frac{1}{2} h \nu = \frac{1}{2}h \frac{v}{\lambda} \to \lambda = \frac{hv}{2E}$$

$$r = \frac{hv}{4 \pi E}$$

No sé cual sería la forma, pero vamos, me parece más lógica esta, con el factor 1/2 para velocidades pequeñas, y con 1 para la velocidad de la luz.

PD: The Higgs Particle, no sé se ve en 2º las series de taylor, creo que no así que te lo explico en un instante. Éstos son desarrollos de funciones en forma de polinomios. La fórmula es:

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-a)^n}{n!}f^n(a)$$

Un caso particular, en el cual es fácil operar a=0, excepto en ciertos casos como en desarrollos de logaritmos:

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}f^n(0)$$

Por ejemplo, podemos desarrollar una exponencial, $e^x$, éste es fácil y se ve claramente. Todas sus derivadas son la misma función $e^x$, y $e^0=1$, por tanto queda:

$$e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}...$$

Pues anteriormente hice lo mismo con la energía, escribiéndolo en función de v, y $p=\gamma mv$, y siendo m y c constantes.

[Weip]

Re: Órbita de Bohr

Un comentario. Cuando tenemos ondas estacionarias (las de toda la vida) la distancia entre dos nodos consecutivos es $\lambda/2$. Pero si la onda tiene forma de circunferencia, esto no se cumple. Lo que estamos haciendo implícitamente es igualar la distancia euclídea (teorema de pitágoras) a la distancia en la superficie de una circunferencia, cosa que no es cierta. En el átomo de Bohr, lo que se cumple es $n\lambda=2 \pi r$. ¿Y porqué la otra funciona? Yo creo porque siempre puedes ajustar la frecuencia y la velocidad de forma que todo cuadre con $\lambda=4\pi r$ (que entra en contradicción con otras cosas y por eso no es válido). Es un poco lioso, si queréis lo desarrollo más. No creo que sea esto porque he visto sitios donde afirman las dos cosas a la vez. Lo que es seguro es lo de la distancia.

Seguro que $E=h\nu=h\frac{v}{\lambda}$, hasta cuando no es un fotón¿? Yo nunca lo había visto así.

Yo sí. Aunque es verdad que muchos profesores me han dicho cosas mal a veces. Una vez me dijeron que la integral de una $d$ es 1 (no tiene sentido). En todo caso, tal como has desarrollado, siempre puedes hacer $E=hf/2$ y eso es una energía (el factor $1/2$ no influye en nada, solo en su valor numérico, que es lo de menos porque depende de las unidades; siempre puedes quitarlo usando el cambio adecuado).

Y la fórmula de la energía es:

$$E=\sqrt{m^2c^4 + p^2c^2}-m^2c^4$$

Que para fotones que tienen masa 0 tiende a $E=pc=\frac{h\nu}{c}$

En la primera ecuación, el $-m^2c^4$ sobra ¿no? En la segunda, la masa no tiende a nada. Se sustituye y ya está. Aunque no sé muy bien que has hecho ahí.

PD: The Higgs Particle, no sé se ve en 2º las series de taylor

Hace años sí. En fin, ya lo hemos comentado algunas veces. Es mi drama personal xD.

[alexpglez]

Re: Órbita de Bohr

No sobra, pero no se por qué lo elevé al cuadrado (yo y mis fallos, un verdadero misterio, el caso es que luego para hallar la serie de tayor lo cogí bien el factor mc^2), lo que quería escribir:

$$E_{cinetica}=\sqrt{m^2c^4+p^2c^2}-mc^2=E_{total}-E_{reposo}$$

Para sacar la energía del fotón $E=h\nu$ y la de una partícula moviéndose a velocidades bajas $E=\frac{1}{2}h \nu$
Y al fin que concordase con lo dicho.

[Weip]

Re: Órbita de Bohr

No sobra, pero no se por qué lo elevé al cuadrado (yo y mis fallos, un verdadero misterio, el caso es que luego para hallar la serie de tayor lo cogí bien el factor mc^2), lo que quería escribir:

$$E_{cinetica}=\sqrt{m^2c^4+p^2c^2}-mc^2=E_{total}-E_{reposo}$$

Para sacar la energía del fotón $E=h\nu$ y la de una partícula moviéndose a velocidades bajas $E=\frac{1}{2}h \nu$
Y al fin que concordase con lo dicho.

Vale, es que lo veía tan raro que no sabía que te referías a $E_{total}-E_{reposo}$.

Sobre la energía, he encontrado un hilo mío de hace tiempo. Dos cosas. La primera es que que $E=hf$ para el electrón y el neutrón (argumento definitivo para convencerte jajaja). La segunda es que ¿y si estamos confundiendo las velocidades de la partícula y la de fase como me pasó a mi en su día?

[alexpglez]

Re: Órbita de Bohr

¿y si estamos confundiendo las velocidades de la partícula y la de fase como me pasó a mi en su día?

Afirmativo. En la primera ecuación que puso The Higgs particle, era con la velocidad de onda:

$$v_{onda}=\frac{\omega}{k}=\frac{E}{p}=\frac{\frac{1}{2}mv_{particula}^2}{mv_{particula}}=\frac{1}{2} v_{particula}$$

Que en un fotón coincide, como $E=pc$
Entonces yo también me expresé mal:

$$\nu \neq v_{particula}{\lambda}$$

Ya que se define \nu:

$$\nu = v_{onda}{\lambda}$$

Pero en fin, llegamos a la conclusión que ya puse:

$$E=\frac{1}{2}mv_{particula}^2=\frac{1}{2}pv_{particula}=\frac{1}{2}\frac{hv_{particula}}{\lambda}=\frac{hv_{onda}}{\lambda}=h\nu$$

Por lo que se equivocó en mezclar la velocidad de onda que escribió al principio con:

$$n\hbar=mv_{particula}r$$

Pero como también se equivocó en:

$$n\lambda\neq 4\pi r$$

$$n\lambda=2\pi r$$

[Julián]

Re: Órbita de Bohr

Borh no desarrolló el concepto de onda de materia sino fue de Broglie. Lo que hiso borh fue cuantizar el momento del electrón (el momento es un multiplo de h/2 pi), que junto con la fuerza eléctrica, que sería la fuerza centrípeta, es posible encontrar el radio del electrón.

$\dst m v r = n \frac{h}{ 2 \pi}$

$\dst m \frac{{v}^{2}}{ r}= \frac{{q}^{2}}{4 \pi \varepsilon {r}^{2} }$

con esto:

$\dst r = \frac{{n}^{2} {h}^{2} \varepsilon}{\pi m {q}^{2} } = {n}^{2} \frac{4 \pi{\hbar}^{2} \varepsilon}{m {q}^{2} }$

Eso fue lo que tomó de Broglie y postuló que en la orbita caben un número entero de longitudes de onda. No creo que partiendo del concepto de de Broglie se pueda llegar al radio sino a partir de los postulados de Borh y luego la longitud de onda.

$n \lambda = 2 \pi r$ y $\lambda = \frac{h}{m v }$

Dando una explicación de porque hay un nivel mínimo de energía.