Divulgación Sobre la ecuación de Born y aplicaciones cuanticas

[inakigarber]

Buenas noches;
Repasando nuevamente la física cuántica antigua, me he encontrado de nuevo con la ecuación de Born que expongo ahora;

$$\boxed{pq - qp=\frac {h}{2\pi i}}$$

No es la primera vez que me encontraba con ella, pero nunca había reparado con detalle. Aparentemente parece absurda, a mi me cuesta creer que no lo es, pero creo que esto tiene mas que ver con mi ignorancia que con otra cosa. Se que lo que opera en esas ecuaciones son matrices y que el producto de las matrices no tiene porque ser conmutativo (aunque en mi mente esta muy arraigado el prejuicio de que el orden de factores no altera el producto). Por mucho que los textos digan que la ecuación es totalmente válida me cuesta creerlo y no consigo encontrar un ejemplo que me permita salir de este bache. Hace unos meses plantee este hilo, que quiero utilizar como punto de partida para tratar de solventar mis dudas.
Partamos de una situación inicial en la que la energía del electrón es muy elevada. De esta manera el electrón podrá intercambiar un número muy elevado de fotones (que nosotros vamos a reducir a unos tres o cuatro) a cada cual menos energético hasta llegar al nivel inferior en el que ya no podrá ceder más energía porque habrá llegado al mínimo de energía permitida. De manera que habremos detectado una serie de fotones de distintos niveles de energía. Estos fotones se asocian cada uno con una determinada posición y un determinado momento lineal (o también con un determinado tiempo y una energía). ¿Cómo podríamos aplicar esa matriz de fotones a la ecuación arriba indicada?
Saludos y gracias.

[alexpglez]

Re: Sobre la ecuación de Born y aplicaciones cuanticas

Hola, sobre la ecuación de Bohr, es una ecuación bastante utilizada en mecánica matricial, no sé demasiado acerca de como usarla en el contesto de la mecánica matricial, me parece que se toma como base para poder determinar las distintas matrices posición, momento y energía en cada problema. Seguro que alguien puede aportar más ayuda en esto que yo. No sé como se demuestra o si se puede demostrar en mecánica matricial, pero sabes que dos matrices en general no son conmutativas $A B \neq B A$, en el lado derecho de la ecuación aparece una matriz identidad que se omite o se omitía porque se sobreentendía,.
En el contexto de la mecánica ondulatorio si te puedo responder. Cómo las cantidades en realidad son operadores, $\hat x=x$, $\hat p_x=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$. Ahora realizando el producto anterior:

$$[\hat x, \hat p_x]\phi=\hat x \hat p_x \phi - \hat p_x \hat x \phi= -i x \hbar\frac{\partial \phi}{\partial x} + i \hbar\frac{\partial x \phi}{\partial x}=-i x \hbar\frac{\partial \phi}{\partial x} + i \hbar\frac{\partial x}{\partial x}\phi+ i x \hbar\frac{\partial \phi}{\partial x}=i \hbar \phi$$

$$[\hat x, \hat p_x]=\hat x \hat p_x - \hat p_x \hat x=i \hbar$$

Donde los corchetes creo que se llama anticonmutador, simplemente simplifica la fórmula de escribir.
Sobre lo segundo no te sé responder.

Un saludo.

PD: está claro que si x y p fuesen simples funciones, variables que llevan asociados un número, xp-px=0 siempre, la multiplicación de dos o más números siempre es conmutativa.

[Weip]

Re: Sobre la ecuación de Born y aplicaciones cuanticas

¡Hola! Vengo a comentar algunas cosillas.

PD: está claro que si x y p fuesen simples funciones, variables que llevan asociados un número, xp-px=0 siempre, la multiplicación de dos o más números siempre es conmutativa.

$xp-px$ no es cero pero ese no es el motivo porque si fueran simples funciones también se cumpliría (que no es el caso, pero casi). Son aplicaciones lineales. Recuerda los postulados de la mecánica cuántica: todos los operadores son lineales. No las estás multiplicando, las estás componiendo. Recuerda que la composición de aplicaciones no es conmutativa así que en general $xp-px$ no es cero. Me parece que la notación de la composición te ha traicionado porque parece un producto, aunque es habitual ponerlo así. El tema de las matrices se resuelve recordando que toda aplicación lineal $f$operando sobre un vector $x$ se puede escribir como $f(x)=Mx$, donde $M$ es la matriz asociada a $f$. Así pues la ecuación de Born se puede obtener aplicando un vector $\phi$ y sustituyendo en $[\hat x, \hat p_x]=\hat x \hat p_x - \hat p_x \hat x= i \hbar$ que es la expresión que acabas de obtener.

simples funciones, variables que llevan asociados un número

No siempre. Tampoco es cierto para aplicaciones más generales. Lo que llevan asociado es una matriz.

Partamos de una situación inicial en la que la energía del electrón es muy elevada. De esta manera el electrón podrá intercambiar un número muy elevado de fotones (que nosotros vamos a reducir a unos tres o cuatro) a cada cual menos energético hasta llegar al nivel inferior en el que ya no podrá ceder más energía porque habrá llegado al mínimo de energía permitida. De manera que habremos detectado una serie de fotones de distintos niveles de energía. Estos fotones se asocian cada uno con una determinada posición y un determinado momento lineal (o también con un determinado tiempo y una energía). ¿Cómo podríamos aplicar esa matriz de fotones a la ecuación arriba indicada?
Saludos y gracias.

No sé si te ayudará pero en este link se resuelve el átomo de hidrógeno usando mecánica matricial. Creo que es esto lo que pides.

Aparentemente parece absurda, a mi me cuesta creer que no lo es, pero creo que esto tiene mas que ver con mi ignorancia que con otra cosa. Se que lo que opera en esas ecuaciones son matrices y que el producto de las matrices no tiene porque ser conmutativo (aunque en mi mente esta muy arraigado el prejuicio de que el orden de factores no altera el producto). Por mucho que los textos digan que la ecuación es totalmente válida me cuesta creerlo y no consigo encontrar un ejemplo que me permita salir de este bache. Hace unos meses plantee este hilo, que quiero utilizar como punto de partida para tratar de solventar mis dudas.

Te recomiendo entenderlo como matrices asociadas a operadores. Puede que con esto y con lo que he dicho antes de la composición te suene menos raro. De hecho todo esto también lo puedes hacer en la mecánica de Newton. Lo que pasa es que no se hace porque no tiene ninguna utilidad.

Nota final: Tened en cuenta que estáis usando dos criterios diferentes para la composición. Lo digo porque cada uno ha puesto la identidad al revés.

[alexpglez]

Re: Sobre la ecuación de Born y aplicaciones cuanticas

¡Hola! Vengo a comentar algunas cosillas.
Escrito por alexpglez
PD: está claro que si x y p fuesen simples funciones, variables que llevan asociados un número, xp-px=0 siempre, la multiplicación de dos o más números siempre es conmutativa.



no es cero pero ese no es el motivo porque si fueran simples funciones también se cumpliría (que no es el caso, pero casi). Son aplicaciones lineales. Recuerda los postulados de la mecánica cuántica: todos los operadores son lineales. No las estás multiplicando, las estás componiendo. Recuerda que la composición de aplicaciones no es conmutativa así que en general no es cero. Me parece que la notación de la composición te ha traicionado porque parece un producto, aunque es habitual ponerlo así. El tema de las matrices se resuelve recordando que toda aplicación lineal operando sobre un vector se puede escribir como , donde es la matriz asociada a . Así pues la ecuación de Born se puede obtener aplicando un vector y sustituyendo en que es la expresión que acabas de obtener.

Escrito por alexpglez
simples funciones, variables que llevan asociados un número



No siempre. Tampoco es cierto para aplicaciones más generales. Lo que llevan asociado es una matriz.

Yo me refería sólo a funciones en el ámbito de los reales (y complejos) no en el ámbito de matrices y operadores. Tal y cómo lo explica también en el apartado ecuación de bohr, de ese blog que enlazas. Igual hay alguna función que no cumpla esa característica, pero de momento no he visto ninguna, ninguna función que tome argumento real o complejo, que devuelva otro real o complejo, y que el producto de esta por otra no sea conmutativo. Asi que.. perdón si me he equivocado.. Era para que entendiera que en esa ecuación q y p no pueden ser simples números ya que por ejemplo, 5*2-2*5=0.
Saludos

[inakigarber]

Re: Sobre la ecuación de Born y aplicaciones cuanticas

.....
No sé si te ayudará pero en este link se resuelve el átomo de hidrógeno usando mecánica matricial. Creo que es esto lo que pides.


Te recomiendo entenderlo como matrices asociadas a operadores. Puede que con esto y con lo que he dicho antes de la composición te suene menos raro. De hecho todo esto también lo puedes hacer en la mecánica de Newton. Lo que pasa es que no se hace porque no tiene ninguna utilidad.

Nota final: Tened en cuenta que estáis usando dos criterios diferentes para la composición. Lo digo porque cada uno ha puesto la identidad al revés.

Gracias por la respuesta, el link lo conozco, aun no he llegado a ese enlace en cuestión (justamente estoy en el relativo a la extraña ecuación de Born). Me gustaría poder encontrar un símil clásico en el que no conmutaran los operadores y en el que multiplicar dos magnitudes diera un valor diferente según multiplicamos AB ó BA. ¿Existe algún símil clásico en el que el producto de una magnitud A por otra B de un valor distinto según multiplicamos AB que BA?
Supongo que de ser así, debería tratarse de dos magnitudes A y B que no pudiéramos medir simultáneamente y en la que el valor de la medición de una de ellas afectara necesariamente al valor de la segunda.
En todo caso no lo tengo muy claro.
Saludos y gracias.

[Weip]

Re: Sobre la ecuación de Born y aplicaciones cuanticas

¿Existe algún símil clásico en el que el producto de una magnitud A por otra B de un valor distinto según multiplicamos AB que BA?

Sí existe, vamos allá. Si recuerdas, el momento angular se define como $\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}$. Usando que el producto vectorial no es conmutativo pero sí antisimétrico:

$\vec{r}\times\vec{p}-\vec{p}\times\vec{r}=2\vec{r}\times\vec{p}=2\vec{L}$

Y eso es no nulo si el momento angular es no nulo. O lo que es lo mismo: Si $\vec{r}\times\vec{p}$ no es cero entonces no es igual que $\vec{p}\times\vec{r}$.

[inakigarber]

Re: Sobre la ecuación de Born y aplicaciones cuanticas

Sí existe, vamos allá. Si recuerdas, el momento angular se define como $\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}$. Usando que el producto vectorial no es conmutativo pero sí antisimétrico:

$\vec{r}\times\vec{p}-\vec{p}\times\vec{r}=2\vec{r}\times\vec{p}=2\vec{L}$

Y eso es no nulo si el momento angular es no nulo. O lo que es lo mismo: Si $\vec{r}\times\vec{p}$ no es cero entonces no es igual que $\vec{p}\times\vec{r}$.

Bien, cierto, el producto vectorial tiene la propiedad de que $i \times j=k$ y $j \times i=-k$ entonces $(i \times j) - (j \times i) = 2k$ ¿Tal vez es por ahí por donde debo replantearme el tema?
Supongo que tengo aun demasiado metido el prejuicio de que siempre "el orden de factores no altera el producto".
Saludos.

[Weip]

Re: Sobre la ecuación de Born y aplicaciones cuanticas

Bien, cierto, el producto vectorial tiene la propiedad de que $i x j=k y j x i=-k$ entonces $(i \times j) - (j \times i) = 2k$ ¿Tal vez es por ahí por donde debo replantearme el tema?
Supongo que tengo aun demasiado metido el prejuicio de que siempre "el orden de factores no altera el producto".
Saludos.

El tema es que aunque llamemos "producto" a cierta operación, no tiene porqué ser cómo el producto de los reales al que estamos habituados. Es por eso que hay que mirarse bien las definiciones de las operaciones con las que trabajas: las hay que no cumplen la propiedad conmutativa pero las hay aún más raras con propiedades más difíciles de entender. Sólo es cuestión de familiarizarte con las matrices y obtener soltura con ellas. Así lo interiorizarás de forma más consistente y no se te hará raro. Quién dice producto también dice suma, resta y división.