Divulgación Consulta sobre la mecánica matricial y el principio de incertidumbre

[inakigarber]

Buenas noches;
A vueltas con el fascinante, pero a veces farragoso asunto de la mecánica cuántica, en este blog, me he encontrado con un desarrollo que me trae de cabeza.

PROBLEMA: Dadas dos matrices K y L cuyas esperanzas matemáticas de sus valores medios cuadráticos son respectivamente <K²> y <L²>, demuéstrese que:

Donde <K²> y <L²> representan las medias cuadráticas y <KL> y <LK>representan las medias aritméticas del producto matricial (si no estoy equivocado)
Este desarrollo continua de forma que creo que consigo seguirlo, pero me atasco cundo dice lo siguiente

"Fórmense ahora los eigenvalores A y B de las matrices A y B de la manera siguiente:

A = (1/2)(KR + RK) + (1/2) i (LR - RL)


B = (1/2)(LR + RL) + (1/2) i (KR - RK) "

No consigo entender el como salen estos autovalores. Este paso lo veo un tanto enrevesado.
¿Como puedo interpretarlo?
Saludos y gracias.

[Weip]

Re: Consulta sobre la mecánica matricial y el principio de incertidumbre

Es una definición. En los párrafos anteriores solo se dedica a describir las condiciones que deben cumplir $A$ y $B$. A partir de aquí, propone unas matrices $A$ y $B$ explícitas y comprueba que cumplen las condiciones anteriormente enunciadas. Finalmente se ve que toda esta construcción permite concluir que los valores propios de $(K+iL)G(K-iL)$ son positivos.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre la mecánica matricial y el principio de incertidumbre

Es una definición. En los párrafos anteriores solo se dedica a describir las condiciones que deben cumplir $A$ y $B$. A partir de aquí, propone unas matrices $A$ y $B$ explícitas y comprueba que cumplen las condiciones anteriormente enunciadas. Finalmente se ve que toda esta construcción permite concluir que los valores propios de $(K+iL)G(K-iL)$ son positivos.

Luego, las matrices A y B que menciona al principio y las matrices A y B explicitas que menciona despues no son las mismas matrices, son distintas. ¿Es así?

[Weip]

Re: Consulta sobre la mecánica matricial y el principio de incertidumbre

Luego, las matrices A y B que menciona al principio y las matrices A y B explicitas que menciona despues no son las mismas matrices, son distintas. ¿Es así?

Digamos que son las mismas en el sentido de que cumplen las mismas relaciones. En la primera demostración no necesitas entrar en quiénes son $A$ y $B$ pero en la segunda has de usar un caso particular.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre la mecánica matricial y el principio de incertidumbre

Buenas tardes.
No he podido dedicarle al tema mucho tiempo estos últimos días, pero echándole hoy un vistazo creo que empiezo a entender el tema. No obstante, lo miraré con más detenimiento.

- - - Actualizado - - -

Me pierdo cunado dice;
=(1/2) {(KR + RK) + i (LR - RL) + (KR - RK) + i (LR + RL)}
×(1/2) {(RK + KR) - i (RL - LR) + (RK - KR) - i (RL + LR)}
La primera parte serían la suma matricial A+Bi (si no estoy equivocado), pero lo que esta detrás del signo de la multiplicación no me sale.
Saludos.

[Weip]

Re: Consulta sobre la mecánica matricial y el principio de incertidumbre

A mí tampoco me da. Creo que hay algunas unidades imaginarias que no van ahí. He probado a hacer toda la multiplicación a papel y lápiz y tampoco parece que se pueda reordenar de otra forma. Aunque bueno tampoco soy bueno con los cálculos.