Divulgación Pregunta sobre particula cuantica y campo gravitacional.

[inakigarber]

En este foro me he encontrado con un problema que me tiene un tanto liado.
Donde explica
"PROBLEMA: Una partícula reposa sobre una mesa horizontal plana en presencia de un campo gravitacional. La energía de la partícula a una altura z de la mesa es:
E = mgz + p²/2m"
Me pierdo en el apartado en el que calcula la energía promedio;

$$<E_{min}>=\frac{3}{4}=\left (\frac{mg^2 \hbar^2}{2}\right)^{(1/3)}=\frac{3}{2}mg<Z_{min}>$$

Pero por otra parte, asumiendo como cierto el resultado que da (no dudo que lo sea). Continuo con las argumentaciones que da y llego a la frase donde dice;
"Entonces el valor mínimo posible E_min de la energía promedio E será:"
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y en las ecuaciones siguientes.
Entiendo que lo que calcula es el valor de <Z> para el que se da la menor energía (de ahí la derivada) y cuantifica dicho valor. Pero, me pierdo en los dos pasos que he mencionado antes.
¿Cómo podría entender esto?
Saludos y gracias.
P.D.--------------------------------
En uno de los pasos el autor se equivoca y suprime un valor $m^2$ por $m$, pero luego vuelve a subsanar el error.

[Weip]

Re: Pregunta sobre particula cuantica y campo gravitacional.

El problema es que $\bar{z}_{min}=\left( \dst\frac{\hbar^2}{16m^2 g } \right)^{(1/3)}$, con el $m^2$. Operando con fracciones en $\bar{E}_{min}=mg\bar{z}_{min}+ \dst\frac{\hbar^2}{32m \bar{z}_{min}^3}$ queda:

$\bar{E}_{min}=\dst\frac{32m^2 g \bar{z}_{min}^3+\hbar^2}{32m\bar{z}_{min}^2}=\dst\frac{32m^2 g \dst\frac{\hbar^2}{16m^2g}+\hbar^2}{32m\bar{z}_{min}^2}=\dst\frac{3\hbar^2}{32m\bar{z}_{min}^2}$$=\dst\frac{3}{2}\dst\frac{g}{g}\dst\frac{m}{m}\dst\frac{\hbar^2}{16m\bar{z}_{min}^2}=\dst\frac{3}{2}mg \dst\frac{\hbar^2}{16m^2 g } \dst\frac{1}{\bar{z}_{min}^2}=\dst\frac{3}{2}mg\dst\frac{\bar{z}_{min}^3}{\bar{z}_{min}^2}=\dst\frac{3}{2}mg\bar{z}_{min}$.

Por otra parte:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Te has olvidado de los corchetes de la energía mínima. También es una energía promedio.

Espero haberte ayudado.

[inakigarber]

Re: Pregunta sobre particula cuantica y campo gravitacional.

Buenos días;
Me sirvió de gran ayuda tu comentario. Sin el no lo habría visto tan claro.
Saludos y gracias.

- - - Actualizado - - -

Buenas tardes;
Hay un último punto que aún no lo tengo muy claro.
A la hora de calcular el valor medio de la altura hace $\Delta_z=2<z>$, es lógico que sea así. Sin embargo en el caso del momento $\Delta_p=<p>$. Bien, esto es lógico en el caso de una colisión elástica, parecido a como chocan bolas de billar. Pero y si la colisión fuera inelástica y la partícula llegara a detenerse para luego salir rebotada en dirección contraria. Supongo que en este caso habría que considerar la energía potencial debida a la elasticidad de la partícula, de manera que al Hamiltoniano (¿se dice así no?) habría que añadir la energía potencial debida a la elasticidad de la partícula. En ese caso el momento cambia, deberíamos considerar también el momento como $\Delta_p=<p>$?
Saludos y gracias.