Consulta sobre la extraña ecuación de Born

[inakigarber]

Re: Consulta sobre la extraña ecuación de Born

....Con la condición de cuantización antigua no te puedo ayudar ahora mismo, me disculpo de nuevo. Pero si quieres echarle un vistazo a la otra demostración (a partir de los postulados actuales) y necesitas alguna aclaración, intentaré proporcionártela....

No es necesarío que te disculpes, creo que me estas siendo de ayuda y agradezco el esfuerzo de contestarme, soy yo quizá el que no está a la altura de las circunstancias..

Buenas noches Iñaki
A lo que me refiero es a que la posición no es una magnitud compleja, puedes emplear los números complejos para representar una circunferencia en efecto, pero no me convence el hecho de que hables de partes imaginarias en algo que es real exclusivamente (la posición del planeta). La representación con números complejos (representación fasorial) es muy útil para temas de electricidad. Lo que tú pretendes hacer, sí que te muestra como actúa cada componente por separado (eliminando la $i$), pero no en conjunto. Puede que me equivoque, pero en un caso de este estilo nunca he visto que se empleen ecuaciones de este estilo, además de que no considero que te proporcione una utilidad remarcable....

Al leer varios textos sobre el formalismo matemático de la física cuántica, en lo referente a la ecuación de Born, he encontrado estas fórmulas;

$$p=\sum_k p_{n,k} e^{2 \pi i v_{n,k}t}$$

$$q=\sum_k q_{n,k} e^{2 \pi i v_{n,k}t}$$

Donde trata al momento y la posición como magnitudes con un exponente complejo, y como números complejos como tales. Desde este punto de vista me pareció correcto (y creo que lo es) tratar las magnitudes de espacio y velocidad (ambas involucradas las dos magnitudes arriba indicadas) de dicha manera.

Quizá me resultaría bueno encontrar ejemplos matemáticos de no conmutatividad.

Saludos y gracias.

[Lorentz]

Re: Consulta sobre la extraña ecuación de Born

Buenas noches Iñaki

A lo que me refiero es a que la posición no es una magnitud compleja, puedes emplear los números complejos para representar una circunferencia en efecto, pero no me convence el hecho de que hables de partes imaginarias en algo que es real exclusivamente (la posición del planeta). La representación con números complejos (representación fasorial) es muy útil para temas de electricidad. Lo que tú pretendes hacer, sí que te muestra como actúa cada componente por separado (eliminando la $i$), pero no en conjunto. Puede que me equivoque, pero en un caso de este estilo nunca he visto que se empleen ecuaciones de este estilo, además de que no considero que te proporcione una utilidad remarcable.

Ya que no consigo aclarar otros aspectos de la Ecuación de Born (tal vez nunca llegue al aclararlos)

Con la condición de cuantización antigua no te puedo ayudar ahora mismo, me disculpo de nuevo. Pero si quieres echarle un vistazo a la otra demostración (a partir de los postulados actuales) y necesitas alguna aclaración, intentaré proporcionártela.

Un saludo

[inakigarber]

Re: Consulta sobre la extraña ecuación de Born

Buenas noches, gracias por tu respuesta.

Vamos a ver si voy aclarando algo y consigo entender algo de este asunto;

....Pero creo que no me expliqué bien, disculpa. A ver si te lo aclaro. Para poder determinar la posición de algo en un plano necesitas dos coordenadas, la x y la y, lo que tú pones no es del todo correcto porque estás asumiendo la posición del planeta como algo complejo. Tal y como te lo puse arriba, la parte de x vendría dada por la parte real de la exponencial, es decir el coseno, mientras que la de la y con la imaginaria, es decir, con el seno. Para sacar las componentes de las velocidades y aceleración sólo te quedaría derivar...

No entiendo muy bien cuando dices que "estás asumiendo la posición del planeta como algo complejo". Entiendo que las magnitudes vectoriales (en un plano) pueden descomponerse en dos vectores perpendiculares de los cuales uno representaría al eje x y el otro al y. Al igual que los números complejos.

Suponiendo el caso de un objeto en una trayectoria circular de radio R, y con una velocidad angular uniforme. Suponiendo que este se encuentra en el instante t=0, en el eje x, en el instante t=t, los parámetros de posición, velocidad y aceleración en función del tiempo serán (si no me equivoco);

$$x_{t}=R(cos(\omega t), i sen(\omega t))=R e^{i \omega t}$$

$$v_{t}=R\omega (-sen(\omega t), i cos(\omega t))=i R\omega e^{i \omega t}$$

$$a_{t}=-R\omega^2 (cos(\omega t), i sen(\omega t))=-R\omega^2 e^{i \omega t}$$

Estas fórmulas difieren de las que puse en mi anterior post, aquellas estaban mal.

Ya que no consigo aclarar otros aspectos de la Ecuación de Born (tal vez nunca llegue al aclararlos), al menos quiero aclarar esta cuestión. De momento seguiré repasando el resto de información que me has pasado.

[Lorentz]

Re: Consulta sobre la extraña ecuación de Born

En mi anterior post trataba de aproximarme al tema mediante la utilización de las leyes de Kepler, pero omití un detalle que era importante. Me refería a una órbita circular. En una órbita circular se daría la condición de que la velocidad ángular y la areolar ambas serían constantes. (En una órbita elíptica solo la velocidad areolar sería constante).
Lo que quise decir es en una órbita circular de rádio R, supongamos que para un tiempo t=0 en el que el ángulo origen sea , para un instante de tiempo t el ángulo girado será siendo la velocidad angular. La posición del objeto para esa posición sera;
(posición)
(velocidad)
(aceleración)

Esto traté de decírtelo aquí:

Con la coordenada no sería suficiente para determinar la posición del planeta en el plano. Luego tendrías que ir derivando.

Pero creo que no me expliqué bien, disculpa. A ver si te lo aclaro. Para poder determinar la posición de algo en un plano necesitas dos coordenadas, la x y la y, lo que tú pones no es del todo correcto porque estás asumiendo la posición del planeta como algo complejo. Tal y como te lo puse arriba, la parte de x vendría dada por la parte real de la exponencial, es decir el coseno, mientras que la de la y con la imaginaria, es decir, con el seno. Para sacar las componentes de las velocidades y aceleración sólo te quedaría derivar.

En este caso no es el mejor modo de denotar la posición, si quieres practicar esto, prueba con ejercicios de corriente alterna. Ahí es donde he visto emplear más la representación compleja.

https://es.wikipedia.org/wiki/Fasor

Apareciendo inmediatamente la siguiente ecuación;


No entiendo el signo negativo ni tampoco el porque del factor .
No lo entiendo, porque un poco más arriba aparecen las siguientes ecuaciones;


Si de lo que se trata es de obtener la derivada
A mi me sale esto;
, pero supongo que seguirá siendo algo incorrecto;

saludos y gracias;

Respecto a esto no te puedo ayudar mucho, lo siento. Pero sí que te digo que creo que a esas exponenciales les falta un término, por el modo en que he empleado habitualmente la expansión de Fourier, tal y como intenté explicarte aquí:

Mientras que las expresiones que yo he usado habitualmente tienen que ser del siguiente modo:



Es decir, añadiendo la k en el interior.

Aunque en tu caso sería $\tau$ y no $k$. Y habría que añadirse del mismo modo en la coordenada $q$. Y como idea, puede que el signo menos puede que venga de hacer un cambio $n \rightarrow -n$ de modo que se pudiera obtener el conjugado de $q$.
Siento no poder ayudarte mucho

Un saludo.

PD: Insisto en que estas condiciones de cuantización tienen relevancias históricas, pero con los postulados actuales es más fácil llegar a dicha relación

De todos modos esta es la forma de sacar la ecuación de Born "antigua", es decir, teniendo en cuenta la condición de cuantización antigua. Si lo que quieres saber es un enfoque menos histórico y basándote en los postulados actuales, te puedo hacer una pequeña explicación:

Asumiendo que las magnitudes físicas se describen mediante operadores autoadjuntos y que los únicos valores posibles al realizar la medición son los autovalores (que siempre son reales) entonces disponemos de la siguiente información:



Donde es el operador posición y el autovalor que nos devuelve, al ser aplicado a la función de onda en la representación de posición.

Del mismo modo:



Donde es el operador momento y el autovalor que nos devuelve, al ser aplicado a la función de onda en la representación de momentos.

Para pasar la función de onda de la representación de momentos a la de posición y vicerversa, se emplean las transformadas de Fourier.

Ahora si queremos saber cómo actúa el operador momento sobre una función de onda en representación de posición haremos lo siguiente:



Operando adecuadamente sobre esta integral puede verse que la actuación de sobre es:



* Como nota aparte de una forma similar se puede observar que la actuación de sobre es:



En cualquier caso puedes comprobar que independientemente de en que representación emplees la función de onda el conmutador siempre da lo mismo:



Para este sólo tienes que calcular y

Un saludo.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre la extraña ecuación de Born

Buenas noches;
Sigo dándole vueltas a esta cuestión leyendo y tratando de entender lo que se explica en el arriba mencionado blog. Vuelvo a perderme donde dice;
"[FONT=Georgia]De este modo, llevando a cabo la integración como lo pide la condición de cuantización Wilson-Sommerfeld, y utilizando el “requerimiento de realidad”, Born obtuvo lo siguiente:"[/FONT]

Apareciendo inmediatamente la siguiente ecuación;

$-2 \pi i \sum_{-\infty}^\infty \tau p(n,t)q*(n,t)=nh$
No entiendo el signo negativo ni tampoco el porque del factor $\tau$.
No lo entiendo, porque un poco más arriba aparecen las siguientes ecuaciones;
$p=\sum_{-\infty}^\infty p(n,t)e^{2 \pi i v_{n,\tau} t}$
$q=\sum_{-\infty}^\infty q(n,t)e^{2 \pi i v_{n,\tau} t}$
Si de lo que se trata es de obtener la derivada $\dot{q}$
A mi me sale esto;
$\dot{q}=2 \pi i v_{n,\tau} \sum_{-\infty}^\infty q(n,t)e^{2 \pi i v_{n,\tau} t}$, pero supongo que seguirá siendo algo incorrecto;

saludos y gracias;
[FONT=Georgia]



[/FONT]

[inakigarber]

Re: Consulta sobre la extraña ecuación de Born

Buenas noches;
Pido disculpas por mi retraso, una avería con el ordenador me ha mantenido "callado" durante unos cuantos días de manera que no he podido leer este hilo hasta ahora. El teléfono móvil no me permite leer las fórmulas.

La segunda ley de Kepler dice que la velocidad areolar es constante, es decir $\dst \frac{dA}{dt}=cte$, que no es lo mismo que la angular....

En mi anterior post trataba de aproximarme al tema mediante la utilización de las leyes de Kepler, pero omití un detalle que era importante. Me refería a una órbita circular. En una órbita circular se daría la condición de que la velocidad ángular y la areolar ambas serían constantes. (En una órbita elíptica solo la velocidad areolar sería constante).
Lo que quise decir es en una órbita circular de rádio R, supongamos que para un tiempo t=0 en el que el ángulo origen sea $\phi=0$, para un instante de tiempo t el ángulo girado será $\omega t$ siendo $\omega$ la velocidad angular. La posición del objeto para esa posición sera;

$$x=R(cos(\omega t), i sen(\omega t))=R^{i \omega t}$$

$$v=R\omega(-sen(\omega t), i cos(\omega t))=Re^{i \omega t}$$

$$a=-R\omega^2(cos(\omega t), i sen(\omega t))=R\omega^2 e^{i \omega t}$$

Por otra parte; $\omega=\dfrac{2 \pi }{t}=2 \pi f$
Podríamos por tanto, sustituyendo $\omega$ por su valor,

$$x=Re^{i 2 \pi f t}$$

$$v=R2 \pi f e^{i 2 \pi f t}$$

$$a=R(2 \pi f)^2 e^{i 2 \pi f t}$$

¿Es esto correcto?

[Lorentz]

Re: Consulta sobre la extraña ecuación de Born

Para familiarizarme con esta notación he supuesto un planeta que girara en una órbita circular de radio R.
De acuerdo con las leyes de Kepler su velocidad angular sería constante.

La segunda ley de Kepler dice que la velocidad areolar es constante, es decir $\dst \frac{dA}{dt}=cte$, que no es lo mismo que la angular.

Podríamos definir las magnitudes espacio, velocidad y aceleración de la siguiente manera ;
(espacio)
(velocidad)
(aceleracion)
Es así si no me equivoco ¿no?

Y personalmente me resultan confusas las expresiones que has puesto.

Supongo que lo que querías poner es más parecido a esto. Considerando una velocidad angular constante y radio $R_0$ tendrías que decir:

$\dst x=R_0 \hspace{0,1 cm} Re\left(e^{i\omega t}\right)$

$\dst y=R_0 \hspace{0,1 cm} Im\left(e^{i\omega t}\right)$

Con la coordenada $x$ no sería suficiente para determinar la posición del planeta en el plano. Luego tendrías que ir derivando.

Pero me parece poco efectivo. Te recomendaría que estudiaras las exponenciales complejas de manera independiente, y que no siguieras por ese camino.

Respecto a lo otro. Siendo sincero, como cuando leí el PDF no podía detenerme en todas las realizaciones matemáticas, esta parte la asumí. Así que no la tengo estudiada. Sin embargo, mirándomelo un poco, por lo que veo las expresiones que dan de la serie de Fourier no es del todo correcta:

Bien a continuación dice;
,
Se obtiene por simple integración (formal)

Mientras que las expresiones que yo he usado habitualmente tienen que ser del siguiente modo:

$\dst p=\sum_{k} p(n,k)e^{2\pi k i \nu (n,k)t}$

Es decir, añadiendo la k en el interior.

Esto lo puedes ver en este enlace https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Fourier

De ese modo ya obtendrías la k que se indica al derivar. Aparte el conjugado vendría de considerar esto $q(n,-k)=q^{*}(n,k)$ tal y como se menciona en el texto.

No he podido mirarlo con detenimiento pues estoy bastante ocupado, así que no puedo explicártelo paso a paso.

Pero espero que al menos esto te sirva para continuar avanzando.

Un saludo

- - - Actualizado - - -

De todos modos esta es la forma de sacar la ecuación de Born "antigua", es decir, teniendo en cuenta la condición de cuantización antigua. Si lo que quieres saber es un enfoque menos histórico y basándote en los postulados actuales, te puedo hacer una pequeña explicación:

Asumiendo que las magnitudes físicas se describen mediante operadores autoadjuntos y que los únicos valores posibles al realizar la medición son los autovalores (que siempre son reales) entonces disponemos de la siguiente información:

$\hat{X}\hspace{0,1cm} \Psi(x)=x \hspace{0,1 cm}\Psi(x)$

Donde $\hat{X}$ es el operador posición y $x$ el autovalor que nos devuelve, al ser aplicado a la función de onda en la representación de posición.

Del mismo modo:

$\hat{P} \hspace{0,1 cm}\tilde{\Psi}(p)=p \hspace{0,1 cm}\tilde{\Psi}(p)$

Donde $\hat{P}$ es el operador momento y $p$ el autovalor que nos devuelve, al ser aplicado a la función de onda en la representación de momentos.

Para pasar la función de onda de la representación de momentos a la de posición y vicerversa, se emplean las transformadas de Fourier.

Ahora si queremos saber cómo actúa el operador momento sobre una función de onda en representación de posición haremos lo siguiente:

$\dst \hat{P}\hspace{0,1cm} \Psi(x)=\hat{P} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{dp}{\sqrt{2\pi \hbar}}$$\dst e^{i \frac{px}{\hbar}}\tilde{\Psi}(p)$

Operando adecuadamente sobre esta integral puede verse que la actuación de $\hat{P}$ sobre $\Psi(x)$ es:

$\dst \hat{P}\hspace{0,1cm} \Psi(x)=- i \hbar \hspace{0,1 cm}\frac{d\Psi(x)}{dx}$

* Como nota aparte de una forma similar se puede observar que la actuación de $\hat{X}$ sobre $\tilde{\Psi}(p)$ es:

$\dst \hat{X}\hspace{0,1cm} \tilde{\Psi}(p)= i \hbar \hspace{0,1 cm}\frac{d\tilde{\Psi}(p)}{dp}$

En cualquier caso puedes comprobar que independientemente de en que representación emplees la función de onda el conmutador $\dst \left[\hat{X},\hat{P}\right]$ siempre da lo mismo:

$\dst \left[\hat{X},\hat{P}\right]=i \hbar$

Para este sólo tienes que calcular $\dst \left(\hat{X}\hat{P}\right)\Psi(x)$ y $\dst \left(\hat{P}\hat{X}\right)\Psi(x)$

Un saludo.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre la extraña ecuación de Born

Aún no he tenido tiempo de leer completo el documento que me has aconsejado.

Para familiarizarme con esta notación he supuesto un planeta que girara en una órbita circular de radio R.
De acuerdo con las leyes de Kepler su velocidad angular $\omega=\phi t$ sería constante.
Podríamos definir las magnitudes espacio, velocidad y aceleración de la siguiente manera ;

$$x=Re^{i \omega t}$$

$$v=i \omega Re^{i \omega t}$$

$$a=i^2 \omega^2 Re^{i \omega t}=-\omega^2 Re^{i \omega t}$$

Es así si no me equivoco ¿no?

Esto me aclara mucho las dudas, pero creo que me ayuda a familiarizarme con este tipo de formulación. Por otra parte, $\omega= 2 \pi f$(ó v) como aparece en el texto, luego cuando en el texto se habla de $2 \pi v$, se está hablando de una frecuencia angular.
A ver si con un poco de tiempo consigo leer en su totalidad el archivo que me aconsejas.

- - - Actualizado - - -

Buenas noches;
Estoy leyendo el documento que se me anexó en el anterior post. Todo ha ido muy bien... hasta que ha dejado de ir bien.
Cuando dice;
"El trabajo de Born y Jordan está dividido en 4 capítulos. El primero contiene los teoremas necesarios de la teoría de matrices, mientras que el segundo contiene los fundamentosde la dinámica cuántica para sistemas con un grado de libertad. En él aparece por primera vez lo que posteriormente se conocerá por la relación de conmutación en mecánica....."
Aparece la condición cuántica;
$\boxed{\oint{p \cdot \dfrac{dq}{dt}dt}=\int_{t=0}^{t=1/v} \! p \dot{q}dt=nh}$
Bien a continuación dice;
$p=\sum_{k}p_{n,k}e^{2 \pi i v_{n,k}t}$, $q=\sum_{k}q_{n,k}e^{2 \pi i v_{n,k}t}$
Se obtiene por simple integración (formal)
$nh=-2 \pi i \sum_{k}kp_{n,k}q*_{n,k}$
(No entiendo porque se incluye en este paso el conjugado $q*_{n,k}$)
Bien, yo he intentado resolverlo de la siguiente manera (supongo que equivocada);
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Entonces tememos;
$\dot{q}=2 \pi i v_{n,k}q_{n,k}e^{2 \pi i v_{n,t}t}$
Entonces obtengo;
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Aquí me pierdo.

[Lorentz]

Re: Consulta sobre la extraña ecuación de Born

Buenas Iñaki,

Me parece que te podría interesar este documento. Explica el desarrollo de la Mecánica Cuántica y en concreto hay un momento en el que explica el origen de la ecuación de Born. Te recomiendo leerlo completo, me resultó muy interesante cuando lo encontré.

Los modelos matemáticos de la mecánica cuántica.pdf

Un saludo.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre la extraña ecuación de Born

Buenas noches;
Sigo dándole vueltas al blog anteriormente mencionado. Me pierdo cuando dice;

"[FONT=Georgia]Born escogió tomar el conjugado complejo de la serie Fourier para la posición, con lo cual su “requerimiento de realidad” para una posición medida a lo largo de una coordenada-x vendría siendo:"

[/FONT]$x(n, -t)=x*(n,t)$

Por otra parte, hay una cuestión que no se como tratar en lo referente a la extraña ecuación de Born (probablemente fruto de mi ignorancia al respecto).
Supongamos que he hecho varias mediciones a los largo del tiempo de la posición de un objeto y también de su momento lineal. De manera que tengo una una sucesión de valores de Q (posición) que he obtenido con un aparato de medida, $Q=q_1,q_2,q_3,q_4.....etc$ y del momento linéal P $P=p_1,p_2,p_3,p_4.....etc$,
¿como debería actuar con ellos para obtener el resultado $QP-PQ=\dfrac{ih}{2\pi}$?
Saludos y gracias.
-----------------------------------------------------------
P.D. Se que si obtengo una medida de los valores (por ejemplo de Q) en el que el grado de disparidad (la desviación standard) tiende a 0, deberé obtener unos valores de P en el que dicha desviación deberá tender a $\infty$, en función del principio de incertidumbre.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre la extraña ecuación de Born

Saludos, no había visto tu respuesta, se ha solapado con el comentario que he añadido a continuación.

- - - Actualizado - - -

Adjunto este vídeo que considero interesante para el tema que he abierto en este hilo.

[Alriga]

Re: Consulta sobre la extraña ecuación de Born

¿Sería un buen ejemplo de lo que dices la energía potencial gravitatoria?

$E_p= \dst \int_R^\infty \dfrac{G M m}{r^2}dr=\dfrac{G M m}{R}$

Sí, lo es. Y cualquier integral definida lo es también. El valor final de una integral definida nunca depende de la variable de integración.

Saludos.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre la extraña ecuación de Born

Si F(x) es una primitiva de f(x), es decir $\dfrac{dF(x)}{dx}=f(x)$ entonces para cualquier $a, \ b \in \mathrm R$ se cumple que la integral definida

$\dst \int_a^b f(x) dx=\Big [F(x) \Big ]_a^b=F(b)-F(a)$ que no depende de la variable de integración

El resultado de una integral definida respecto de una variable “x” no depende nunca de esa variable, puesto que ha de ser sustituida por los límites de integración, por lo tanto en F(a)-F(b) no aparece x. Ejemplos:

$\dst \int_a^b 2 \ x \ dx=\Big [x^2 \Big ]_a^b=b^2-a^2$ (El resultado no depende de x)

$\dst \int_0^{\alpha} \cos x \ dx=\Big [\sin x \Big ]_0^{\alpha}=\sin \alpha - \sin 0=\sin \alpha$ (El resultado no depende de x)

...

¿Sería un buen ejemplo de lo que dices la energía potencial gravitatoria?

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Integro respecto a una distancia (r) y al definir la integral entre unos valores, en este caso $\infty$, $R_t$ obtengo un valor que es una expresión en la que no aparece r. (En este caso energía).

[carroza]

Re: Consulta sobre la extraña ecuación de Born

Buenas noches.
Dándole vueltas a la mecánica cuántica, estoy siguiendo este blog (de sugestivo título). Me pierdo cuando el autor dice

"[FONT=Georgia]Usando la notación de punto puesto encima para denotar una derivación con respecto al tiempo, la condición de cuantización puede ser escrita de la siguiente manera (la notación del punto puesto encima denota diferenciación con respecto al tiempo):"

[/FONT]Aparece acto seguido la siguiente expresión;

$$\boxed{\oint{p \cdot \dfrac{dq}{dt}dt}=\int_{t=T}^{t=0} \! p \dot{q}dt=nh}$$

No entiendo el sentido de esta integral con respecto al tiempo si al lado derecho tenemos dos valores que son independientes con respecto al tiempo.

Hola. Un ejemplo puede aclarar este tema. En un oscilador en una dimensión, la coordenada x varía con el tiempo según $x = A \cos(\omega t)$. A es la amplitud, que, clásicamente, puede tomar cualquier valor. Este movimiento es periodico, por lo que los límites de la integral anterior están entre 0 y $T = 2 \pi/\omega$. Para este caso,
$v = dx/dt = - A \omega \sin(\omega t)$; $p = mv = - m A \omega \sin(\omega t)$. Por tanto, tu integral resulta

$\oint{p \cdot \dfrac{dx}{dt}dt} = \int_0^T m A^2 \omega^2 \sin^2(\omega t) dt= m A^2 \pi \omega$ .

Si ahora impones la condición de que esta integral solo puede tomar valores que son multiplos de h, entonces llegas a la conclusión de que, en el marco de esta aproximación "semiclásica" a la mecánica cuántica, las amplitudes de un oscilador armónico están cuantizadas, por la condición

$m A^2 \pi \omega = n h$ .

Saludos

[Alriga]

Re: Consulta sobre la extraña ecuación de Born

Creo que lo entiendo, pero me gustaría me lo matizaras mejor.

Si F(x) es una primitiva de f(x), es decir $\dfrac{dF(x)}{dx}=f(x)$ entonces para cualquier $a, \ b \in \mathrm R$ se cumple que la integral definida

$\dst \int_a^b f(x) dx=\Big [F(x) \Big ]_a^b=F(b)-F(a)$ que no depende de la variable de integración

El resultado de una integral definida respecto de una variable “x” no depende nunca de esa variable, puesto que ha de ser sustituida por los límites de integración, por lo tanto en F(a)-F(b) no aparece x. Ejemplos:

$\dst \int_a^b 2 \ x \ dx=\Big [x^2 \Big ]_a^b=b^2-a^2$ (El resultado no depende de x)

$\dst \int_0^{\alpha} \cos x \ dx=\Big [\sin x \Big ]_0^{\alpha}=\sin \alpha - \sin 0=\sin \alpha$ (El resultado no depende de x)

$M \angle \alpha=M e^{i \alpha}=M \cos \alpha + i\ M \sin \alpha$
Creo que aún necesito más información para entender el tema

Un número complejo se puede expresar de varias formas

Pareja de números reales $\bold z=(a, \ b)$

Binómica: $\bold z=a+b \ i$

Módulo argumental: $\bold z=M\angle \theta$

Con la equivalencia:

$M=+\sqrt{a^2+b^2}$

$\theta=\arctan \dfrac b a$

$a=M \cos \theta$

$b=M \sin \theta$

Y también en la forma:

$\bold z=M \ e^{i \ \theta}$

Porque mediante la Fórmula de Euler

$\bold z=M \ e^{i \ \theta}=M (cos \theta + i \ \sin \theta)= M cos \theta + i \ M \sin \theta)=a+b \ i$

... Siguiendo adelante con la lectura del blog mencionado, creo que el autor comete un error ...
... ¿No debería ser $\boxed{P=\left[p_{mn}e^{2 \pi i v_{mn}t} \right]}$?

En efecto, entiendo que comete el error de copia-pega que tú señalas

Saludos.