Secundaria Funciones de onda vs Funciones de momento

[Alofre]

Hola, estoy haciendo un curso de Mecánica Cuántica por internet y hay un concepto que se me escapa y que no acabo de entender que es el de función de momento $\phi(k)$.

En el curso explican $\psi(x,0)$= C * $\int$$\phi(k)* {e}^{ikx}$ dk (de menos infinito a más infinito) C=1(2pi)^-1/2
En primer lugar me gustaría saber que es exactamente $\phi(k)$, o sea k= 2pi / lambda ... pero que forma tiene $\phi(k)$? En el curso la dibujan como una curva con un pico más o menos pronunciado. Que significado tiene esa función en el mundo físico?

Y en segundo lugar me gustaría saber que significa físicamente una transformada de Fourier, sin muchas matemáticas a ser posible;-).
Gracias!!

[arivasm]

Re: Funciones de onda vs Funciones de momento

...que es exactamente $\phi(k)$
.....
Que significado tiene esa función en el mundo físico?

Del mismo modo que la función de onda $\psi(\vec r)$ nos proporciona, a través del cuadrado de su amplitud, la densidad de probabilidad de detección de la partícula en la posición $\vec r$, la función de onda $\varphi(\vec k)$ nos proporciona la densidad de probabilidad de que el vector de propagación de la partícula tenga una medida $\vec k$. De acuerdo con la ley de De Broglie, $\lambda=h/p$, como $k=2\pi/\lambda=2\pi p/h=p/\hbar$, es decir, $\vec k=\vec p/\hbar$. Por tanto, también proporciona la densidad de probabilidad de que la medida del momento lineal de la partícula sea $\vec p$.

Y en segundo lugar me gustaría saber que significa físicamente una transformada de Fourier, sin muchas matemáticas a ser posible;-).

Una analogía podría ser la siguiente. Pensemos en una onda sonora. Podemos representar cómo varía con el tiempo la elongación de las partículas del medio (o de la sobrepresión, o de la densidad -no son proporcionales a la anterior, pero la idea es exactamente la misma-). Pero también podemos representar cómo es en cada instante la composición en frecuencias de esa onda. La figura siguiente recoge un ejemplo de esas representaciones

La figura de la derecha es la transformada de Fourier de la de la izquierda.

De hecho, cuando escuchas música tus oídos y cerebro están haciendo rápidas transformadas de Fourier: no notas cómo es la elongación con el tiempo, sino cómo es la composición en frecuencias (que irá cambiando, salvo que escuches una sola nota sostenida en el tiempo).

La figura siguiente ilustra el concepto:

La onda se construye como suma de ondas armónicas: tanto podemos visualizarla mediante su dependencia temporal (recuadro y flecha moradas) como mediante su dependencia en frecuencias (recuadro y flechas azules).

Reemplaza tiempo por posición y frecuencia por vector de onda y tienes exactamente la misma idea, pero para las funciones de onda de la mecánica cuántica.

[HanT]

Re: Funciones de onda vs Funciones de momento

Una cosa que debes tener en mente es que la función de onda en representación de posiciones y en representación de momentos contienen exactamente la misma información. ¿En qué sentido contienen la misma información? Pues en que siempre puedo pasar de una representación a otra en función de lo que me interese. ¿Cómo paso de una representación a otra? Ahí es donde entra la transformada de Fourier, es una operación matemática que nos permite hacer esto.

En primer lugar me gustaría saber que es exactamente , o sea k= 2pi / lambda ... pero que forma tiene ? En el curso la dibujan como una curva con un pico más o menos pronunciado. Que significado tiene esa función en el mundo físico?

$\phi (k)$ tendrá la forma que sea. En el curso supongo que te habrán dibujado una forma arbitraria. En principio puede tener cualquier forma, bajo ciertas condiciones, como que sea normalizable. Es decir que la probabilidad de encontrar la partícula en todo el espacio (si estamos en representación de posiciones) o con cualquier momento (si estamos en representación de momentos) debe ser igual a 1. Esto es lógico porque la probabilidad de que la partícula esté en cualquier sitio o tenga cualquier momento tiene que ser del 100%. Cuanto más "pico" tenga la función más localizada tenemos la partícula puesto que la zona del "pico" tendrá un área muy grande respecto a los lados que tenderán a cero. Aunque que en los "lados" del "pico" la función se aproxime a cero no significa que la partícula no pueda encontrarse en esos estados. Para entender esto un poco mejor estaría bien que buscases un poco sobre gaussianas y su uso en estadística.

Respecto a las representaciones hay un ejercicio muy interesante. Si tenemos como función de onda en representación de posiciones $\phi(x)=\delta (x)$ una delta de dirac. Por sus propiedades sabemos que es igual a 1 en $x=0$ y 0 en el resto de puntos. Es decir tenemos totalmente localizada a la partícula y una probabilidad del 100% de encontrar a la partícula en $x=0$. Esto es un caso extremo realmente la delta de dirac no es una función admisible para describir una partícula real pero se usa como ejemplo por lo siguiente. Ahora podríamos preguntarnos qué pasa si le hacemos a esa función de onda la transformada de Fourier. Obtendríamos la función de onda en representación de momentos pero, ¿cómo será esa función de onda en r.d.m si la función de onda en posiciones nos dice exactamente donde está la partícula? Pues, se puede comprobar, que si haces la transformada de Fourier de la delta de Dirac obtienes una función constante. Es decir, tu función sería una línea horizontal. Todos los puntos de tu función tendrían el mismo valor, y al cacular la densidad de probabilidad de momentos, tendrías la misma probabilidad para todos los momentos de encontrar a esa partícula. Es decir, que si tenemos totalmente localizada a nuestra partícula en $x=0$, tenemos total desconocimiento en cuanto a su momento $p$. Esto debe recordarte mucho al principio de incertidumbre, y es una manera chula de verlo. Lo mismo nos pasaría si proponemos como función $\phi(p)=\delta (p)$. Sabríamos con total exactitud el momento de la partícula pero tendríamos total desconocimiento de donde está. Podrás notar que una función constante que nunca cae a cero no es normalizable porque su área es infinita por tanto esta función no describe un estado admisible para nuestra partícula, es un ejemplo ilustrativo a nivel teórico.

Por cierto, no te desesperes si no ves estas cosas de un tirón, dale tiempo. Insisto, sería muy interesante que buscaras sobre funciones de distribución de probabilidad porque ayuda saber estadística. Muchas dudas al principio me surgían de ahí. Tampoco hace falta saber mucho pero al menos pinceladas básicas.

[inakigarber]

Re: Funciones de onda vs Funciones de momento

Tengo curiosidad por saber donde estas haciendo ese curso. Me fascina (aunque me cuesta entenderla) la mecánica cuántica.

[Alofre]

Re: Funciones de onda vs Funciones de momento

https://courses.edx.org/courses/cour...3T2017/course/

Aquí está el enlace... para mi nivel el curso es bastante avanzado pero he intentado entender todo lo que he podido...

[inakigarber]

Re: Funciones de onda vs Funciones de momento

Gracias por la información;

https://courses.edx.org/courses/cour...3T2017/course/

Aquí está el enlace... para mi nivel el curso es bastante avanzado pero he intentado entender todo lo que he podido...

Supongo que el curso es en ingles, eso supone un problema para mí. De todos modos, dispongo de abundante información al respecto, la cuestión para mi no es por tanto el disponer de información, sino el poder entenderla.

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Creo que este hilo se complementa bastante bien con otro que abrí hace poco también en esta sección del foro.
Entiendo que lo que HanT y Arisvam están explicando en sus respectivos comentarios podría resumirse en esta imagen;

Si la figura azul representa la probabilidad de encontrarnos una partícula en determinado espacio $\Delta_x$, en la gráfica superior la posición de esta partícula estará mal definida $\Delta_x$ grande. El electrón puede aparecer en cualquier parte. En la gráfica inferior ocurre lo contrario. Bien la transformada de Fourier en el primer caso representa una distribución de frecuencias estrecha $\Delta_p$ estrecha el momento está bien definido (es poco probable que salga de ese margen estrecho). En el segundo caso la distribución de frecuencias será amplia, el momento está mal definido.
Ahora bien, ¿porque $\Delta_x \Delta_p\geqslant \hbar$? probablemente la respuesta este en alguno de los comentarios que amablemente han puesto algunos de los compañeros que han respondido en este y en el hilo que he mencionado. Tendré que releerlos nuevamente.

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...Por cierto, no te desesperes si no ves estas cosas de un tirón, dale tiempo. Insisto, sería muy interesante que buscaras sobre funciones de distribución de probabilidad porque ayuda saber estadística. Muchas dudas al principio me surgían de ahí. Tampoco hace falta saber mucho pero al menos pinceladas básicas.

Totalmente de acuerdo, creo que un poco de estadística es bueno.

Saludos y gracias.

[HanT]

Re: Funciones de onda vs Funciones de momento

Ahora bien, ¿porque ? probablemente la respuesta este en alguno de los comentarios que amablemente han puesto algunos de los compañeros que han respondido en este y en el hilo que he mencionado. Tendré que releerlos nuevamente.

Es así porque se tiene que cumplir el principio de incertidumbre de Heisenberg. El cual se puede deducir a partir de los postulados de la MC (a pesar de llamarse tradicionalmente "principio").