Divulgación ¿Porque el producto de las magnitudes conjugadas se mide en magnitudes de energía por tiempo?

[inakigarber]

Buenas noches;
Tras un tiempo alejado del foro (y de la física) por motivos personales primero y por un fallo de mi ordenador segundo, quiero volver a introducirme en este tema y voy recuperando el tiempo perdido.

Me pregunto porque el producto de dichas magnitudes siempre (si no me equivoco) se expresa en magnitudes de Energía por tiempo. Espacio por momento, o energía por tiempo.

Me gustaría poder recabar información sobre el tema, particularmente en lo referente a la importancia de dichas magnitudes en física.

Saludos y gracias.

[Lorentz]

Re: ¿Porque el producto de las magnitudes conjugadas se mide en magnitudes de energía por tiempo?

Buenas Iñaki,

Que yo sepa las magnitudes conjugadas son aquellas que cumplen la siguiente relación:

$\left[A,B\right]=i k \mathbb{I}$

Donde $A$ y $B$ son observables y $k$ es una constante distinta de 0. No tengo claro que deba tener siempre unidades de $\left[E\right]\left[t\right]$, de hecho no creo que sea necesariamente así, pero no te sabría asegurar.

Un saludo.

[Alriga]

Re: ¿Porque el producto de las magnitudes conjugadas se mide en magnitudes de energía por tiempo?

... ¿Por qué el producto de las magnitudes conjugadas se mide en magnitudes de energía por tiempo? ... Me pregunto porque el producto de dichas magnitudes siempre (si no me equivoco) se expresa en magnitudes de Energía por tiempo. Espacio por momento, o energía por tiempo ...

Según las leyes de la Mecánica cuántica, el producto de las incertidumbres de dos magnitudes "A" y "B" que no conmutan es:

$\Delta A \cdot \Delta B \gtrsim \dfrac h{4 \pi}$

Por lo tanto, como $4 \pi$ es un número real sin dimensiones, el producto de las incertidumbres tendrá obligatoriamente las mismas dimensiones que la Constante de Planck. Max Planck definió la constante como aquella por la que hay que multiplicar la frecuencia del fotón para obtener su energía:

$E=h \nu \ \Rightarrow \ h=\dfrac E{\nu}$

Las dimensiones de "h" son por lo tanto Energía x Tiempo = Acción

Por eso, a la Constante de Planck también se le llama "Cuanto de Acción de Planck"

ACTUALIZADO:

... ¿Por qué el producto de las magnitudes conjugadas se mide en magnitudes de energía por tiempo? ... Me pregunto porque el producto de dichas magnitudes siempre (si no me equivoco) se expresa en magnitudes de Energía por tiempo. Espacio por momento, o energía por tiempo ...

Después de leer los comentarios de más abajo de Lorentz y el ejemplo de arivasm, está claro que "el producto de dichas magnitudes NO siempre se expresa en magnitudes de Energía por Tiempo.
Perdón por mi fallo,

Saludos.

[Jorge pedraz]

Sigo pensando que es Joule - S

[Lorentz]

Re: ¿Porque el producto de las magnitudes conjugadas se mide en magnitudes de energía por tiempo?

Pero ese es un caso particular. La formula general para dos magnitudes que no conmutan es:

$\dst \Delta A \Delta B\geqslant \frac{1}{2}\mid\left< \left[A,B\right]\right> \mid$

Un saludo

PD: En el caso concreto del momento y la posición se recupera el resultado:

$\dst \Delta Q \Delta P\geqslant \frac{\hbar}{2}$

[Alriga]

Re: ¿Porque el producto de las magnitudes conjugadas se mide en magnitudes de energía por tiempo?

Pero ese es un caso particular ...

¿Existe algún par de magnitudes "A" y "B" que no conmuten y que no cumplan la relación $\Delta A \cdot \Delta B \gtrsim \dfrac h{4 \pi}$ ?

Gracias y saludos.

[arivasm]

Re: ¿Porque el producto de las magnitudes conjugadas se mide en magnitudes de energía por tiempo?

Por ejemplo, las componentes del momento angular, $\Delta J_x\cdot\Delta J_y\geq \dfrac{h}{4\pi}|<J_z>|$

[pod]

Re: ¿Porque el producto de las magnitudes conjugadas se mide en magnitudes de energía por tiempo?

En primer lugar, un matiz respecto el título del hilo: cuando hablamos de unidades, "por" (al contrario que en la mayoría de contextos) representa un cociente de unidades, no multiplicación. Como "kilómetros por hora" es km/h y no km h. En este caso, lo correcto sería decir "magnitudes de energía-tiempo". En cambio, si se dice "energía por tiempo" uno debiera entender potencia.

Por ejemplo, las componentes del momento angular, $\Delta J_x\cdot\Delta J_y\geq \dfrac{h}{4\pi}|<J_z>|$

Pero, ¿$J_x$ y $J_y$ son variables conjugadas? Ciertamente, el principio de incertidumbre enunciado como lo ha hecho Lorentz (el forero, no Hendrik) vale para cualquier par de observables que no conmuten. Pero la pregunta original no hablaba de pares cualquiera de observables, sino de variables conjugadas.

En mecánica clásica, tenemos las variables generalizadas $q_i$ y sus momentos conjugados $p_i$. A partir de ellas se define el corchete de Poisson,

$$\big\{ q_i,\ q_j \big\} = 0, \qquad \big\{ p_i,\ p_j \big\} = 0, \qquad \big\{ q_i,\ p_j \big\} = \delta_{ij}.$$

En el proceso de cuantización canónica, los corchetes de Poisson pasan a conmutadores, divididos por un factor $i\hbar$. Por lo tanto si clásicamente el corchete de $q_i$ y $p_j$ tiene que ser adimensional (que no es lo mismo que decir que el producto de ambos sea adimensional, porque el corchete de Poisson cambia las unidades), entonces el conmutador de los observadores correspondientes, $\hat Q_i$ y $\hat P_i$, debe tener las unidades de $\hbar$ (que son energía-tiempo). El conmutador, al contrario que el corchete, se define a partir de productos simples, así que tiene las mismas unidades que tenga el producto de $\hat Q_i$ y $\hat P_i$.

De hecho, el motivo es mucho más simple, no hace falta recurrir a los corchetes de Poisson. Simplemente, a la definición de momento conjugado a una variable generalizada en mecánica clásica:

$$p_i = \frac{\delta S}{\delta q_i} .$$

A la luz de esta definición, es obvio que el producto de una variable y su conjugada siempre tendrá unidades de acción, que son energía-tiempo. Ello se traslada sin cambios a la cuantización canónica.

Volviendo al ejemplo del momento angular, es obvio que no conmutan, y de hecho definen un álgebra de suma importancia en cuántica. Pero no son variables conjugadas entre si. La variable conjugada al momento $J_i$ seria el ángulo $\theta_i$, y es fácil ver que un momento angular por un ángulo tienen unidades de acción (el ángulo es adimensional).

En resumen, el producto de dos variables conjugadas (o, mejor dicho, de una variable y su momento conjugado) siempre tiene dimensiones de energía-tiempo por la definición de momento conjugado. Pero el teorema de incertidumbre se aplica a cualquier par de observables, sean conjugados o no, y por ello puede tener cualquier dimensionalidad.

[inakigarber]

Re: ¿Porque el producto de las magnitudes conjugadas se mide en magnitudes de energía por tiempo?

Después de leer los comentarios de más abajo de Lorentz y el ejemplo de arivasm, está claro que "el producto de dichas magnitudes NO siempre se expresa en magnitudes de Energía por Tiempo.
Perdón por mi fallo,

Saludos.

Luego, mi post inicial estaba equivocado. Creo que he estado confundiendo términos, y que sigo confundiéndolos.
Lo que realmente he estado buscando lo hubiera reflejado mejor de la siguiente manera.

Supongamos que la posibilidad de encontrar una partícula en el espacio viniera dada por la función $f_{(x)}$, podríamos calcular la transformada de Fourier de dicha función aplicando $h_{(k)}=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}}^{\infty} f_{(x)} e^-(ik)dx$ con la cual obtenemos una función ($h_{(k)}$) tal que cuando la primera es estrecha (gran certidumbre de que de localizar a la partícula en una región concreta del espacio), la segunda es ancha (gran incertidumbre en el valor de k). k se relaciona con el momento lineal gracias a la relación de De Broglie.
Ahora bien ¿porque se elige k y no otro valor?
Sospecho que tiene que ver con el hecho de que k se expresa en $m^{-1}$ y por tanto el producto de multiplicar x por k nos da un resultado adimensional.
Ahora bien, ¿y si lo que yo quiero es, no la distribución de una partícula en el espacio ($f_{(x)}$), sino en el tiempo ($f_{(t)}$)?

Supongo que en este caso debería utilizar $\omega$, ya que se expresa en $seg^{(-1)}$ y su producto sería también un resultado adimensional.

¿Es esto correcto?

- - - Actualizado - - -

En primer lugar, un matiz respecto el título del hilo: cuando hablamos de unidades, "por" (al contrario que en la mayoría de contextos) representa un cociente de unidades, no multiplicación. Como "kilómetros por hora" es km/h y no km h. En este caso, lo correcto sería decir "magnitudes de energía-tiempo". En cambio, si se dice "energía por tiempo" uno debiera entender potencia.

En esto también estaba equivocado.

[Lorentz]

Re: ¿Porque el producto de las magnitudes conjugadas se mide en magnitudes de energía por tiempo?

Sospecho que tiene que ver con el hecho de que k se expresa en y por tanto el producto de multiplicar x por k nos da un resultado adimensional.
Ahora bien, ¿y si lo que yo quiero es, no la distribución de una partícula en el espacio (), sino en el tiempo ()?

Supongo que en este caso debería utilizar , ya que se expresa en y su producto sería también un resultado adimensional.

¿Es esto correcto?

En efecto, lo de dentro de la exponencial debe ser adimensional (bueno, realmente estar en radianes), y sería así:

$\dst \hat{f}\left(\omega\right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{\infty} dt f\left(t\right) e^{-i\omega t}$

$\dst f\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{\infty} d\omega \hat{f}\left(\omega\right) e^{i\omega t}$

Un saludo

- - - Actualizado - - -

En el proceso de cuantización canónica, los corchetes de Poisson pasan a conmutadores, divididos por un factor . Por lo tanto si clásicamente el corchete de y tiene que ser adimensional (que no es lo mismo que decir que el producto de ambos sea adimensional, porque el corchete de Poisson cambia las unidades), entonces el conmutador de los observadores correspondientes, y , debe tener las unidades de (que son energía-tiempo). El conmutador, al contrario que el corchete, se define a partir de productos simples, así que tiene las mismas unidades que tenga el producto de y .

De hecho, el motivo es mucho más simple, no hace falta recurrir a los corchetes de Poisson. Simplemente, a la definición de momento conjugado a una variable generalizada en mecánica clásica:



A la luz de esta definición, es obvio que el producto de una variable y su conjugada siempre tendrá unidades de acción, que son energía-tiempo. Ello se traslada sin cambios a la cuantización canónica.

Volviendo al ejemplo del momento angular, es obvio que no conmutan, y de hecho definen un álgebra de suma importancia en cuántica. Pero no son variables conjugadas entre si. La variable conjugada al momento seria el ángulo , y es fácil ver que un momento angular por un ángulo tienen unidades de acción (el ángulo es adimensional).

Hola Pod, me permites hacer una pregunta sobre esto?

Mira, yo para dar la definición de este post:

Buenas Iñaki,

Que yo sepa las magnitudes conjugadas son aquellas que cumplen la siguiente relación:



Donde y son observables y es una constante distinta de 0. No tengo claro que deba tener siempre unidades de , de hecho no creo que sea necesariamente así, pero no te sabría asegurar.

Un saludo.

Me guié por este artículo https://arxiv.org/abs/hep-th/9305054 en el que yo entiendo que los operadores deben cumplir $\left[Q,P\right]=i$ para considerarse variables canónicas conjugadas. Y aquí no se está teniendo en cuenta en ningún momento (creo) la dimensionalidad de la acción.

Podrías comentarme qué es lo que estoy pasando por alto por favor?

Un saludo

[pod]

Re: ¿Porque el producto de las magnitudes conjugadas se mide en magnitudes de energía por tiempo?

Me guié por este artículo https://arxiv.org/abs/hep-th/9305054 en el que yo entiendo que los operadores deben cumplir $\left[Q,P\right]=i$ para considerarse variables canónicas conjugadas. Y aquí no se está teniendo en cuenta en ningún momento (creo) la dimensionalidad de la acción.

Podrías comentarme qué es lo que estoy pasando por alto por favor?

Un saludo

El concepto de momento conjugado procede directamente de la mecánica clásica. Esa definición, y la definición de corchete de Poisson, implican que $\{q_i,\ p_j\} = \delta_{ij}$. Tras la cuantización, eso implica que $[Q_i,\ P_j] = i \hbar \delta_{ij}$. En principio, esto es una propiedad de las variables conjugadas. Automáticamente por ser conjugadas se cumple; es decir, si vemos que el conmutador no da eso, entonces seguro que no son conjugadas. Así que desde luego es una condición necesaria.

Lo que no creo es que sea una condición necesaria suficiente. De hecho, es fácil ver que si tomamos un operador A que conmute con Q_i, entonces $[Q_i,\ P_i + A] = i \hbar$, ¿significa eso que $P_i+A$ también es conjugado a A? Si fuera así, habría infinitos momentos conjugados para cada variable conjugada. De hecho, ésto no es tan raro: recordad que hay cierta libertad para elegir el lagrangiano de un sistema (añadir una derivada total y cosas así), y eso lleva a momentos conjugados diferentes sin cambiar la Física del sistema; pero una vez fija el lagrangiano también se fija un momento conjugado.

En conclusión, sin haberme leído el artículo que enlazas, por supuesto que las variables conjugadas deben cumplir esa propiedad. La cumplen por definición. Otra cosa es que esa propiedad sea suficiente para definirlas.

[Lorentz]

Re: ¿Porque el producto de las magnitudes conjugadas se mide en magnitudes de energía por tiempo?

Lo que no creo es que sea una condición necesaria.

Aquí quieres decir "suficiente" no?

De acuerdo, gracias, creía que la condición que puse era necesaria y suficiente, pero ya veo que solamente era necesaria, y que para que sean conjugadas la constante debe de tener dimensiones de acción.

Un saludo

[inakigarber]

Re: ¿Porque el producto de las magnitudes conjugadas se mide en magnitudes de energía por tiempo?

En efecto, lo de dentro de la exponencial debe ser adimensional (bueno, realmente estar en radianes), y sería así:

$\dst \hat{f}\left(\omega\right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{\infty} dt f\left(t\right) e^{-i\omega t}$

$\dst f\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{\infty} d\omega \hat{f}\left(\omega\right) e^{i\omega t}$

Un saludo

Bien, creo que ahora lo entiendo, a ver;

La condición fundamental sería $h_{(b)}=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f_{a}e^{(-iba)}da$
Donde $f_{a}$ representará una magnitud física (por ejemplo una fuerza expresada en $\dfrac{kg\cdot\ \ m}{seg^2}$) y b la magnitud reciproca de esta (expresada en $\dfrac{seg^2}{kg\cdot \ \ m}$) esto es así, porque el exponente complejo de "e" representa un ángulo, en función de la ecuación de Gauss que habia olvidado.

¿Es así?

[Lorentz]

Re: ¿Porque el producto de las magnitudes conjugadas se mide en magnitudes de energía por tiempo?

Sí, así es. Lo único, no sé cómo de general es esto. Porque yo por ejemplo lo he usado muchas veces para cambiar de la función de onda en representación de posición a la función de onda en representación de momentos, otras veces para cambiar de tiempo a frecuencia etc. Te recomiendo que le eches un vistazo al apartado Introducción de Wikipedia:

https://en.wikipedia.org/wiki/Fourie...m#Introduction

Un saludo