Divulgación Consulta sobre partícula en pozo de potencial y ecuaciones de De Broglie y Schrodinger.

[inakigarber]

Buenas noches;
Planteo una cuestión que me llama la atención y no se muy bien como enfocarlo.

Bien, supongamos que tengo una partícula de masa $m$, un electrón por ejemplo, metida dentro de un pozo de potencial infinito (de longitud $\Delta{x}$), dentro del cual el potencial permanece constante. Suponemos se trata de un electrón no relativista.
La dualidad onda partícula de De Broglie impone una cuantización de la energia, de manera que las energías posibles del electrón dentro de la caja vendrán dadas por la expresión.
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .
Bien, trato de deducirlo a través de la ecuación de Schrodinger, pero creo que me faltan cosas para entender el proceso.
Parto de la ecuación de Schrodinger, que si no estoy equivocado es;

$$\left[\frac{-\hbar \partial^2 }{2m \partial{x}^2 }+\hat{V_{x}}\right]\Psi_{(x,t)}=-\dfrac{\hbar }{i}\frac{\partial\Psi_{(x,t)}}{\partial_{t} }$$

.
Bien, como el potencial dentro del pozo permanece constante, el operador $\hat{V_{x}}=0$, por lo que la expresión me quedaría;

$$\left[\frac{-\hbar \partial^2 }{2m_e \partial{x}^2 }\right]\Psi_{(x,t)}=-\dfrac{\hbar }{i}\frac{\partial\Psi_{(x,t)}}{\partial_{t} }$$

.
A partir de aquí, creo que empiezo a perderme, las ondas de De Broglie para un pozo de potencial infinito son ondas estacionarias, por lo tanto son independientes del tiempo, y empiezo a perderme;
Creo que el paso a seguir es este, puedo establecer; $\Psi_{(x,t)}=e^{(i\omega t)}\Psi_{(x)}$
Sustituyendo y despejando obtengo;

$$\dfrac{\hbar}{2m_e}\frac{\partial^2_{(\Psi_(x)} }{\partial_{(\Psi_(x)}^2 }=\hbar \omega \Psi_(x)$$

Bien, aquí aparece el factor $\hbar \omega$, que expresa una energia, y el resultado si mo me equivoco representa el operador energia cinética (al menos la formula se le perece), pero no alcanzo a ver la relación de esta ecuación diferencial (y por tanto no cuantificada, al menos aparentemente) con los niveles de energia cuantificados que expresa la expresión obtenida de la relación de De Broglie puesta al principio.

Supongo que me habré equivocado nuevamente en algo, pero ¿en que?

Saludos y gracias.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre partícula en pozo de potencial y ecuaciones de De Broglie y Schrodinger.

Creo que es conveniente relacionar este hilo con este otro que he abierto.

[The Higgs Particle]

Re: Consulta sobre partícula en pozo de potencial y ecuaciones de De Broglie y Schrodinger.

Creo que tu fallo es suponer la dependencia temporal de esa forma. Lo he consultado con un libro (este, que te lo recomiendo; es el que llevan años recomendando en la asignatura de Cuántica I en mi facultad y es bastante asequible conceptualmente), y lo que hacen es suponer, por separación de variables, una solución a la ecuación de Schrödinger de la forma:

$\psi(x,t) = \psi(x) f(t)$

Es decir, no especifican la forma de la dependencia temporal. Ahora, introducen esa solución prueba en la ecuación de Schrödinger, suponiendo que el potencial no depende del tiempo, como has hecho tu, de forma que obtiene:

$\dst i \hbar \frac{1}{f(t)} \frac{\dd f(t)}{\dd t} = \frac{1}{\psi(x)} \left[- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 }{\partial x^2} \psi(x) + V(x) \right]$

Para resolver esto se usa un truco que es muy frecuente en física, sobre todo en métodos de separación de variables. Si te fijas, el miembro de la izquierda depende del tiempo, mientras que el de la derecha depende de la posición, x. Para que dos cosas que dependen de cosas diferentes sean iguales, es porque tienen que ser una constante. Es similar, salvando las distancia, a si yo tengo dos funciones, una que depende de $z$, $y_1 = z$ y otra que depende de $x$, $y_2 = x$. Para que sean iguales, $y_1 = y_2 \to z=x$; es decir, deben ser iguales los valores, tienen que ser un número constante, 8, por ejemplo.

Ahora el truco viene en decir que llamamos $E$ a dicha constante (no sé de dónde viene esta idea feliz, quizá hicieron lo mismo que tú y vieron que tenía unidades de energía, así volvieron marcha atrás y lo propusieron así. A ver si alguien más puede aclarar el por qué de este paso), de forma que obtenemos dos ecuaciones:

$\dst i \hbar \frac{\dd f(t)}{\dd t} = E f(t) \to f(t) = e^{-iEt/\hbar}$


$\dst \left[-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x) \right] \psi (x) = E \psi(x)$

Siendo esta última la conocida ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Representa una clásica ecuación de autovalores (E son los autovalores), que puede tener soluciones bien del tipo $\psi(x) \propto e^{\pm ikx}$ (senos o cosenos que ondulan, donde $\dst k = \frac{\sqrt{(2m(E-V(x)))}}{\hbar}$) o funciones que mueren en el infitito, por ejemplo: $\psi(x) \propto e^{- \rho x}$.

Entonces, si tenemos un potencial como el que tú buscas, sabes que, como has dicho V=0, y que oscilan las ondas tranquilamente (es decir, son ondas planas, senos y cosenos) pero restringidas en dicho espacio, de forma que si aplicas las condiciones de contorno y las ecuaciones de continuidad de la función de onda y su primera derivada, obtienes las energías permitidas. Por ejemplo, aquí viene hecho.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre partícula en pozo de potencial y ecuaciones de De Broglie y Schrodinger.

Gracias por tu respuesta, aunque creo que lo he entendido mejor en las respuestas que he recibido en otro hilo que abrí al respecto y que vuelvo a enlazar. Mi pregunta era la siguiente, ¿Cómo una ecuación diferencia (en teoría continua) puede dar lugar a resultados cuantificados (es decir discontinuos)?

Creo que se me ha respondido bastante bien en el hilo en cuestión, pero veamos, a ver si te lo puedo resumir.

1) Podríamos expresar $\Psi_{(x)}=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}$
donde A y B son constantes y $k=\sqrt{\dfrac{2mE}{h^2}}$. En tu respuesta anterior incluyes la energía potencial, $V$, pero yo la considero constante en toda la caja por lo que puedo considerarla nula para el potencial dentro de la caja.

2) Considerando el origen x=0 en uno de los extremos de la caja, tendremos $\Psi_{(0)}=0=Ae^{0}+Be^{0}$, por tanto, se impone B=-A.
Aplicando la fórmula exponencial del seno (que yo desconocía);
$Sen (kx)=\dfrac{e^{ikx}-e^{-ikx}}{2i}$
Sustituyendo me queda;
$\Psi_{(x)}=2Ai\ \ Sen(Kx)$

3) Para x=L tendremos $\Psi_{L}=\Psi_{0}=0=2ai\ \ Sen(kL)$.
Como $2Ai\neq0$, solo nos queda que$Sen(kL)=0$
¿Cuantas son las soluciones posibles a [FONT=Tahoma]$Sen(kL)=0$[/FONT][FONT=Tahoma]?
[/FONT]

Son infinitas, pero todas son del orden de $kL=n\pi \ \ n=1,2,3,,,etc$
Con el valor definido de $k$, y despejando $E$, me queda;
$E_n=\dfrac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL}=\dfrac{n^2 h^2}{8mL^2}$

Ya solo quedaría definir la función integral;

[FONT=Verdana]$|C|^2\dst\int_0^L \sin^2(\lambda x)\dd x=1$
Que da un valor de $|C|=\sqrt{\dfrac{2}{L}}$
[/FONT]

[Lorentz]

Re: Consulta sobre partícula en pozo de potencial y ecuaciones de De Broglie y Schrodinger.

Aplicando la fórmula exponencial del seno (que yo desconocía);

Iñaki si desconocías ese resultado, te resultará interesante este enlace:

https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_Euler