Divulgación Consulta sobre el uso de operadores en mecánica cuántica.

[inakigarber]

Buenos dias;

Retomando el tema de los fundamentos de la mecánica cuántica tras un tiempo apartado del tema, me encuentro con que no de debido entender el asunto con el debido fundamento, y veo que me surgen dudas que no puedo resolver;

Supongamos una partícula cuya posición viniera dada por $x=e^{(ikx)}$, el espacio es su propio operador $x=\hat{x}$. Por otra parte, $\hat{p}=-i \hbar \dfrac{d}{dx}$, que para este caso me sale $\hat{p}=\hbar k x$, entonces, $\hat{x}\cdot \hat{p}$ me sale $\hbar k x^2$, por otra parte, cuando hago el producto inverso me sale $\hat{p}\cdot \hat{x}=\hbar k x^2-x$, pero no se si lo estoy haciendo bien.

Aprovechando la pregunta, me gustaría entender el porque del uso del concepto de operador en mecánica cuántica.

Saludos y gracias.

[arivasm]

Re: Consulta sobre el uso de operadores en mecánica cuántica.

A la espera de que intervengan otros compañeros con conocimientos más sólidos que los míos, lo primero que quiero señalar es que no tiene sentido afirmar que la posición venga dada por $x=\ee^{ikx}$. Entiendo que quieres decir que la función de onda es $\psi(x)=\ee^{ikx}$. De hecho, los operadores actúan sobre las funciones de onda. En rigor, lo que tienes es que $\hat x\psi=x\ee^{ikx}$, y que $\hat p\psi=k\hbar\ee^{ikx}$.

Eso no debe confundirse con el resultado de aplicar composiciones de operadores, que es independiente de sobre qué función de onda actúen. Así $\hat p\hat x=-i\hbar-xi\hbar\frac{\dd}{\dd x}$(*) y $\hat x\hat p=-x i\hbar \frac{\dd }{\dd x}$. Por supuesto, el resultado de componer dos operadores es otro operador, que puede actuar sobre una función de onda. De este modo, en el ejemplo que has escrito, $\hat p\hat x\psi=-i\hbar\ee^{ikx}+xk\hbar \ee^{ikx}$ y $\hat x\hat p\psi=k\hbar x\ee^{ikx}$.

(*)Ten en cuenta que el operador $\hat x$ es "$x$ por", y el $\hat p$ es $-i\hbar$ por la derivada respecto de $x$, de manera que $\hat p\hat x$ lleva consigo "derivar respecto de $x$ el producto de $x$ por algo", con lo que hay que aplicar la derivada del producto: derivada del primero ($x$) por el segundo, más el primero por la derivada del segundo.

Análogamente, el conmutador de ambos operadores es otro operador $[\hat x, \hat p]=\hat x\hat p-\hat p \hat x=i\hbar$ (es decir, $i\hbar$ "por"). Si queremos lo aplicamos a una función de onda, en tu ejemplo $[\hat x,\hat p]\psi=i\hbar\ee^{ikx}$ (algo que, obviamente, también obtenemos restando los resultados anteriores para $\hat x\hat p\psi$ y $\hat p\hat x\psi$).

La razón del uso de los operadores en mecánica cuántica obedece al propio formalismo de la misma. Es decir, en el fondo preguntarse por qué se usan en mecánica cuántica es semejante a preguntarse por qué en mecánica clásica se usan los vectores o el operador derivada respecto del tiempo.

De todos modos, seguro que hay gente aquí que te contará todo esto de manera mucho más rigurosa.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre el uso de operadores en mecánica cuántica.

Gracias por tu respuesta;

...(*)Ten en cuenta que el operador $\hat x$ es "$x$ por", y el $\hat p$ es $-i\hbar$ por la derivada respecto de $x$, de manera que $\hat p\hat x$ lleva consigo "derivar respecto de $x$ el producto de $x$ por algo", con lo que hay que aplicar la derivada del producto: derivada del primero ($x$) por el segundo, más el primero por la derivada del segundo.
…..

En mi ignorancia, habia confundido $\hat{x}=x$, pero veo que es $\hat{x}=x \psi_{(x)}$, que entiendo que se podría leer como "x operando sobre la función de onda", luego, el operador $\hat{x}$ y x no son lo mismo, como tampoco son lo mismo $\hat p =p$, esto si lo tenia claro anteriormente.
En el ejemplo que yo he puesto arriba nos quedaría $\hat x =\psi_{(x)}$, y $\hat p=i \hbar \psi_{(x)}$ y el producto $\hat x \hat p=ix \hbar \psi_{(x)}$. El segundo producto es el que más me cuesta poder interiorizarlo, porque no comprendo porque debo derivar $\dfrac{d}{dx}[e^{(ik)} \cdot x]$


Aunque comprendo que haciéndolo asi, y aplicando la derivada del producto si que me sale $\hat x \hat p -\hat p \hat x =i \hbar \psi_{(x)}$

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...La razón del uso de los operadores en mecánica cuántica obedece al propio formalismo de la misma. Es decir, en el fondo preguntarse por qué se usan en mecánica cuántica es semejante a preguntarse por qué en mecánica clásica se usan los vectores o el operador derivada respecto del tiempo.

De todos modos, seguro que hay gente aquí que te contará todo esto de manera mucho más rigurosa.

Es decir, que los operadores son necesarios (o al menos muy convenientes) en la comprensión de la mecánica cuántica, como lo son en mecánica clásica también la integral la derivada o el laplaciano (que también son operadores).

[Weip]

Re: Consulta sobre el uso de operadores en mecánica cuántica.

En mi ignorancia, habia confundido $\hat{x}=x$, pero veo que es $\hat{x}=x \psi_{(x)}$, que entiendo que se podría leer como "x operando sobre la función de onda"

No bien bien. Lo que es correcto es escribir $\hat{x}\psi(x)=x \psi(x)$. La parte de la izquierda, $\hat{x}\psi(x)$, es totalmente análoga a cuando tienes una función real y escribes $f(x)$. Aquí, el papel de $f$ lo hace $\hat{x}$ y el papel de $x$ lo hace la función $\psi(x)$. Si escribes $\hat{x}=x$ también es correcto, siempre que seas consciente que es un atajo para decir $\hat{x}\psi(x)=x \psi(x)$.

Aprovechando la pregunta, me gustaría entender el porque del uso del concepto de operador en mecánica cuántica.

En mecánica cuántica el objeto básico es la función de onda. Este objeto es una función así que si queremos describir su evolución temporal necesitamos otros objetos que cojan funciones (de onda) y nos devuelvan otras funciones (de onda). Como consecuencia de la interpretación probabilística de la función de onda estos otros objetos han de ser justamente operadores. En el caso de los operadores de posición y de momento su uso también viene justificado porque $\hat{x}$ y $\hat{p}$ no conmutan, pues $[\hat{x}, \hat{p}]=i\hbar$. ¿Qué objetos conoces que no conmuten? Matrices y operadores. Por eso en todos los sistemas físicos vas a ver que están representados de estas dos maneras dependiendo del problema.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre el uso de operadores en mecánica cuántica.

... ¿Qué objetos conoces que no conmuten? Matrices y operadores. Por eso en todos los sistemas físicos vas a ver que están representados de estas dos maneras dependiendo del problema.

Yo añadiría también la no conmutatividad del producto vectorial de dos vectores $A\times B=-B \times A$. Alguna vez he pensado que podría ser una clave para explicar la ecuación de Born, ya que Q y P dependen de magnitudes vectoriales (espacio y momento lineal), pero el producto vectorial de dos vectores nos devuelve un vector y no estoy seguro de que la ecuación de Born nos devuelva un vectorial, lo digo porque [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] se mide en unidades de energia x tiempo, y por tanto escalares.

[Weip]

Re: Consulta sobre el uso de operadores en mecánica cuántica.

Yo añadiría también la no conmutatividad del producto vectorial de dos vectores $A\times B=-B \times A$. Alguna vez he pensado que podría ser una clave para explicar la ecuación de Born, ya que Q y P dependen de magnitudes vectoriales (espacio y momento lineal), pero el producto vectorial de dos vectores nos devuelve un vector y no estoy seguro de que la ecuación de Born nos devuelva un vectorial, lo digo porque [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] se mide en unidades de energia x tiempo, y por tanto escalares.

El producto vectorial está totalmente excluido porque solo se puede realizar en un espacio real de tres dimensiones mientras que la función de onda pertenece a un espacio complejo que en muchos casos es de dimensión infinita... En esta situación es imposible que se cumpla la relación de conmutación canónica.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre el uso de operadores en mecánica cuántica.

El producto vectorial está totalmente excluido porque solo se puede realizar en un espacio real de tres dimensiones mientras que la función de onda pertenece a un espacio complejo que en muchos casos es de dimensión infinita... En esta situación es imposible que se cumpla la relación de conmutación canónica.

No entiendo bien este párrafo, pero tras mi comentario anterior me queda claro que el producto vectorial no es aplicable al caso. Luego esa era una pista tentadora porque era un claro ejemplo de no conmutatividad (en un momento en que me resultaba difícil encontrar ejemplos de no conmutatividad porque era incapaz de verlos). El hecho de que la ecuación de Born se expresa en términos de energia x tiempo (escalares) imposibilita aplicar el producto vectorial de dos vectores en este caso.

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Cuando dije;

...Supongamos una partícula cuya posición viniera dada por $x=e^{(ikx)}$...

Partia de un error claro, la mecánica cuántica no dice en que posición se encuentra la partícula o que valor tiene el momento lineal (por ejemplo), nos habla de la probabilidad de que se encuentre en una posición determinada y de obtener un determinado valor de momento lineal, y debe ser en este contexto probabilístico donde tienen aplicación los operadores, aunque aún no se muy bien como.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre el uso de operadores en mecánica cuántica.

Gracias por vuestra ayuda.

Creo que tengo ahora las cosas un poco más claras que hace una semana.

Ya no me asusta el concepto de operador. No es tan extraño, de hecho estamos rodeados de objetos que pueden expresarse mediante operadores. Son las cosas más nomales del mundo.

Por otra parte, el hecho de que la ecuación de Born se expresara en términos de [FONT=Verdana]$QP-PQ=i \bar I$[/FONT][FONT=Verdana] y de que en el producto vectorial de dos vectores se diera que $AB-BA\neq 0$ cuando A y B no son nulos, me hizo ver una similitud en dichos casos que resulto ser un "false friend" que me llevó por pistas equivocadas.

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[FONT=Verdana]Aunque todavía me quedan muchas cosas que entender, creo que puedo ir recapitulando ideas;
$\psi_x=e^{(ikx)}$ representa una función de onda.
$\hat X \psi_x=x \psi=x e^{(ikx)}$, que se leería como "el operador X actuando sobre la función de onda" y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , "el operador P actuando sobre la función de onda"
Estos operadores nos devuelven un valor que mas adelante se relacionara con la posibilidad de obtener un valor determinado de posición y de momento lineal.
el producto de operadores [FONT=Verdana]será[/FONT] $\hat X \hat P=x \hbar k \psi_x$ y el producto inverso (este es uno de los aspectos que me resultan más oscuros porque el operador P "absorbe" al operador posición, no se me ocurre otra expresión mejor), quedando; [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , quedando por tanto la solución $[X,P]\psi_x=i \hbar \psi_x$.

A la espera de mejores explicaciones, creo que voy atando algunos cabos en este extraño mundo de la mecánica cuántica.

Saludos y gracias.

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[arivasm]

Re: Consulta sobre el uso de operadores en mecánica cuántica.

[FONT=Verdana]este es uno de los aspectos que me resultan más oscuros porque el operador P "absorbe" al operador posición[/FONT]

Aunque es posible que no entienda tu duda, trataré de responderla. Permíteme que plantee dos operadores puramente matemáticos. Por una parte el operador "multiplicar por 2": lo definiríamos así, $\hat 2=2\cdot$, de manera que $\hat 2 f=2\cdot f$. Como bien dices, lo que he escrito es "cuando el operador $\hat 2$ actúa sobre una función cualquiera, $f$, lo que hace es multiplicarla por 2".

En realidad es exactamente eso lo que hace el operador $\hat x$. De manera que cuando escribimos $\hat x=x$ nos estamos comiendo algo muy importante: el "multiplicar por". Es decir, en realidad la definición es $\hat x=x\cdot$, de manera que $\hat x f=x\cdot f$.

El segundo operador del que hablaré es el operador derivada respecto de x, $\hat D=\frac{\dd }{\dd x}$, de manera que $\hat D f=\frac{\dd f}{\dd x}$.

Ahora construyamos el operador composición $\hat D\hat x$, es decir, $\frac{\dd}{\dd x}\left(x\cdot\right)$. Cuando actúa sobre una función cualquiera, como primero se multiplica por $x$ y después actúa la derivada, hay que aplicar la regla de la derivada de un producto: $\hat D\hat x f=\hat D(\hat x f)=\frac{\dd}{\dd x}(x\cdot f)=f+x\frac{\dd f}{\dd x}$. Si ahora abstraemos la $f$ genérica, tenemos que $\hat D\hat x=\hat 1+\hat x\hat D$.