1r ciclo Problema de examen: Partícula en un potencial

[Libia]

Hola a todos.

Este problema me cayó en el examen final de junio, y me quedé totalmente bloqueada. Y así sigo... Seguro que es una tontería, pero cada vez que lo leo me quedo en blanco y no sé por dónde empezar.

El problema es el siguiente: Considere una partícula de masa m confinada en la dimensión x entre 0 y L, y sometida en la dirección y a un potencial de oscilador armónico 1/2 Ky^2.

a) De una expresión para los autovalores del hamiltoniano. ¿De qué números cuánticos depende? ¿Qué valores pueden tomar?

b) Escriba explícitamente la funcion de onda del estado fundamental. No es necesario que esté normalizada. Asegúrese de que es autofunción del hamiltoniano.


Ya sé que debería intentarlo yo sola, pero cada vez que lo leo es como si me hablaran del ciclo reproductivo de la oruga...

Sé calcular la función de onda para un pozo infinito, y sé calcular la función de onda de un oscilado armónico. ¿Y ahóra? ¿Cómo las junto?

[pod]

Re: Problema de examen: Partícula en un potencial

Multiplícalas.

En definitiva, el Hamiltoniano será

$$H = - \frac{\hbar^2}{2m} \Big( \partial_x^2 + \partial_y^2 \Big) + V_\text{pozo}(x) + \frac12 k y^2 = H_x + H_y \ .$$

Como ves, el hamiltoniano queda separado en todo lo que depende de $x$ y lo que depende de $y$. Eso te permite separar variables simplemente factorizando la función de onda,

$$\psi(x, y) = A(x) B(y) \ .$$

Donde A será propia de la parte de la "x", y B de "y".

$$H_x \left|A\right> = E_x \left|A\right>\ , \qquad H_y\left|B\right>= E_y \left|B\right>\ .$$

Claro, $E_x$ serán los valores propios del pozo (que dependerán de un entero n, $E_x \propto n^2$), y $E_y = \hbar \omega ( m + 1/2 )$ los valores propios del oscilador (llamamos m al nivel, para no confundirnos con la n). La energía total será simplemente la suma de las dos cosas (puedes comprobarlo fácilmente).

[Libia]

Re: Problema de examen: Partícula en un potencial

Gracias!!! Lo acabo de hacer y me ha salido