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Función de onda cilíndrica

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  • 1r ciclo Función de onda cilíndrica

    Hola, tengo una duda con un problema:
    Una partícula de masa m está contenida en un cilindro circular recto de radio R y altura H. La función de onda de la partícula está descrita por la ecuación de Schrödinger
    la condicion de frontera consiste en que se anule en los bordes del cilindro , debido a que la particula no puede salir de el. Demuestra que la energias aceptables estan cuantizadas y estan dadas por la siguiente expresion
    Siendo el q-ésimo cero de , y el índice p está fijo al ángulo azimutal

    Lo que llevo del problema es lo siguiente, resolviendo la ec. de Schrödinger mediante separación de variables obtengo lo siguiente:
    , aqui opte por poner a en la separación ya que en el enunciado del problema la menciona y no veo de q otro lado pueda salir
    Sustituyendo y multiplicando por

    Considerando las siguientes constantes de separación

    Dando senos y cosenos como solución de Z(z)
    Ahora separando y mutiplicando por

    Igualando nuevamente a otra constante y bueno aqui es donde estoy atorado, ya que si escogo negativa mi constante pues la solución de es senos y cosenos pero la solución de P se pone bastante fea y el problema da inclusive un tip de que debe salir en términos de los polinomios de Bessel quedando al final algo asi:
    [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , entonces aqui es donde observé que no fue tan conveniente poner la constante como negativa ya que si hubiera quedado positiva el termino de la ecuación de Bessel quedaria y si fuera positiva entonces como queda ? en senos hiperbolicos, osea divergeria la función?
    y bueno por ultimo no entendi muy bien la ultima parte, sobre el q-ésimo termino y el angulo azimutal

  • #2
    Re: Función de onda cilíndrica

    Ten en cuenta que la función angular debe estar sujeta a la condición de contorno . Sino fuera así, sería multivaluada, lo cual es feo. Las funciones hiperbólicas no cumplen esa condición, así que sólo pueden ser senos y cosenos. La parte en Z también debe ser así, ya que las funciones hiperbólicas sólo pueden tener un cero, y necesitamos dos (uno para cada "tapa" del cilindro).

    Estamos buscando los valores propios del operador laplaciano en cilíndricas (las constantes, como la masa o la de Planck te las dejo para ti; lo único importante es el signo relativo),

    Si definimos , con
    lo que da funciones trigonométricas en ambos casos. Substituyendo en la ecuación anterior,
    Desarrollando y multiplicando por

    Esto se parece mucho a la ecuación de Bessel,
    cuya solución (normalizable) es
    La condición fuerza que sea uno de los ceros de la función de Bessel.

    Por otro lado, la energía será (ten en cuenta que faltan muchas constantes)
    La única alternativo a ser Físico era ser etéreo.
    @lwdFisica

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    • #3
      Re: Función de onda cilíndrica

      Oye muchas gracias, aunque me queda una duda, cuando pones

      no deberian ser negativas los cuadrados, bueno no en términos de complejos, si no mas bien:
      , para que de en termino de senos y cosenos y es aqui donde me ya no se, por q si meto esas constantes al final no puedo llegar a la expresion de Bessel, por un signo

      Comentario


      • #4
        Re: Función de onda cilíndrica

        No, está bien como está. Si cambias el signo, entonces ya no te saldrán funciones trigonométricas. Fíjate bien.
        La única alternativo a ser Físico era ser etéreo.
        @lwdFisica

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