1r ciclo Función de onda cilíndrica

[Macbereth]

Hola, tengo una duda con un problema:
Una partícula de masa m está contenida en un cilindro circular recto de radio R y altura H. La función de onda de la partícula está descrita por la ecuación de Schrödinger

$-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(\rho,\phi,z)= E \psi(\rho,\phi,z)$

la condicion de frontera consiste en que se anule $\Phi$ en los bordes del cilindro , debido a que la particula no puede salir de el. Demuestra que la energias aceptables estan cuantizadas y estan dadas por la siguiente expresion

$E=\frac{\hbar^2}{2m}[(\frac{\alpha_{pq}}{R})^2+(\frac{n\pi}{H})^2]$

Siendo $\alpha_{pq}$ el q-ésimo cero de $J_p(x)$, y el índice p está fijo al ángulo azimutal

Lo que llevo del problema es lo siguiente, resolviendo la ec. de Schrödinger mediante separación de variables obtengo lo siguiente:
$Siendo \psi(\rho,\phi,z)=P(\rho)\Phi(\phi)Z(z)$, aqui opte por poner a $\Phi$ en la separación ya que en el enunciado del problema la menciona y no veo de q otro lado pueda salir
Sustituyendo y multiplicando por $\psi$
$\frac{P''}{P}+\frac{P'}{\rho P}+\frac{\Phi ''}{\rho^2 \phi}+\frac{Z''}{Z}=k^2, siendo K^2=E\frac{2m}{\hbar^2}$
Considerando las siguientes constantes de separación
$\frac{P''}{P}+\frac{P'}{\rho P}+\frac{\Phi ''}{\rho^2 \phi}-k^2=-\frac{Z''}{Z}$
$Z''-Zs^2=0 , \frac{P''}{P}+\frac{P'}{\rho P}+\frac{\Phi ''}{\rho^2 \phi}-k^2=-s^2$ Dando senos y cosenos como solución de Z(z)
Ahora separando $\Phi$ y mutiplicando por $\rho^2$
$\rho^2\frac{P''}{P}+\rho\frac{P'}{P}+\rho^2(s^2-k^2)=-\frac{\Phi ''}{\phi}$
Igualando nuevamente a otra constante $-m^2$ y bueno aqui es donde estoy atorado, ya que si escogo negativa mi constante pues la solución de $\Phi$ es senos y cosenos pero la solución de P se pone bastante fea y el problema da inclusive un tip de que debe salir en términos de los polinomios de Bessel quedando al final algo asi:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , entonces aqui es donde observé que no fue tan conveniente poner la constante $m^2$ como negativa ya que si hubiera quedado positiva el termino de la ecuación de Bessel quedaria y si fuera positiva entonces como queda $\Phi$? en senos hiperbolicos, osea divergeria la función?
y bueno por ultimo no entendi muy bien la ultima parte, sobre el q-ésimo termino y el angulo azimutal

[pod]

Re: Función de onda cilíndrica

Ten en cuenta que la función angular debe estar sujeta a la condición de contorno $\Phi(\phi+2\pi) = \Phi(\phi)$. Sino fuera así, sería multivaluada, lo cual es feo. Las funciones hiperbólicas no cumplen esa condición, así que sólo pueden ser senos y cosenos. La parte en Z también debe ser así, ya que las funciones hiperbólicas sólo pueden tener un cero, y necesitamos dos (uno para cada "tapa" del cilindro).

Estamos buscando los valores propios del operador laplaciano en cilíndricas (las constantes, como la masa o la de Planck te las dejo para ti; lo único importante es el signo relativo),

$$<br /> \nabla^2 f = \frac1\rho \dfrac{\partial}{\partial\rho} \left( \rho \dfrac{\partial f}{\partial\rho} \right) + \frac1{\rho^2} \frac{\partial^2 f}{\partial\phi^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} = - E f \ .$$

Si definimos $f = Z(z) \Phi(\phi) P(\rho)$, con

$$<br /> \Phi'' + m^2 \Phi = 0 \ , \qquad Z'' + s^2 Z = 0 \ ,<br />$$

lo que da funciones trigonométricas en ambos casos. Substituyendo en la ecuación anterior,

$$<br /> \frac1\rho \dfrac{\partial}{\partial\rho} \left( \rho P' \right) + \frac1{\rho^2} (- m^2) P - s^2 P = -\rho^2 E P \ .<br />$$

Desarrollando y multiplicando por $\rho^2$

$$<br /> \rho^2 P'' + \rho P' + \Big( \rho^2 ( E - m^2 ) - s^2 \Big) P = 0 \ .$$

Esto se parece mucho a la ecuación de Bessel,

$$<br /> \rho^2 P'' + \rho P' + ( \beta^2 \rho^2 - \alpha^2 ) P = 0 ,<br />$$

cuya solución (normalizable) es

$$<br /> P = J_n ( \beta \rho) .<br />$$

La condición $P(R) = 0$ fuerza que $\beta R$ sea uno de los ceros de la función de Bessel.

Por otro lado, la energía será (ten en cuenta que faltan muchas constantes)

$$E = \beta^2 + m^2 \ .$$

[Macbereth]

Re: Función de onda cilíndrica

Oye muchas gracias, aunque me queda una duda, cuando pones
$\Phi'' + m^2 \Phi = 0 \ , \qquad Z'' + s^2 Z = 0$
no deberian ser negativas los cuadrados, bueno no en términos de complejos, si no mas bien:
$\Phi'' - m^2 \Phi = 0 \ , \qquad Z'' - s^2 Z = 0 \ ,$, para que de en termino de senos y cosenos y es aqui donde me ya no se, por q si meto esas constantes al final no puedo llegar a la expresion de Bessel, por un signo

[pod]

Re: Función de onda cilíndrica

No, está bien como está. Si cambias el signo, entonces ya no te saldrán funciones trigonométricas. Fíjate bien.