Otras carreras Flujo nulo al aplicar la ley de Gauss

[Bromio]

Hola.

Me plantean el siguiente ejercicio:
Sobre una placa dieléctrica, de espesor $2a$ e indefinida en las otras dos direcciones, se distribuye una densidad de carga:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Calcular el campo $\bar{E}(y)$

Como la distribución es simétrica respecto del plano $XZ$, el campo será de la forma: $\bar{E} = \hat{y}E_y(y)$. Por la forma que presenta, la componente $y$ sólo dependerá de la dirección $y$.

Para aplicar la ley de Gauss, dada la distribución de carga que presenta el material, tendremos que distinguir cuatro zonas (cada una de las ramas de la función $\rho$).

Empezamos por la primera: $0\leq y \leq a$.
Coloco una superficie gaussiana, $\Sigma$, en forma de paralelepípedo en el interior de la región. De las seis caras que presenta, sólo dos tiene sus vectores normales paralelos al eje $y$. En las otras cuatro restantes, el flujo será . En consecuencia, el flujo total será: $\displaystyle\oint_\Sigma \bar{E}(\bar{R})\cdot{d\bar{S}} = 2xzE_y(y)$.

Sin embargo, el libro del que he extraído este ejercicio, indica que, por la simetría de la distribución con respecto al plano $XZ$, el campo sobre el plano $XZ$ es nulo y, por tanto, $\displaystyle\oint_\Sigma \bar{E}(\bar{R})\cdot{d\bar{S}} = xzE_y(y)$.

Ruego me aclaréis esto, pues no veo por qué el flujo debe ser éste último y no el que yo calculé.

Muchísimas gracias.

Un saludo.
Bromio.

[bertolet]

Re: Flujo nulo al aplicar la ley de Gauss

Buenas. Depende de cómo construyas el paralelepípedo $\Sigma$. Si colocas la cara inferior en $y=0$, debes considerar que el campo en dicha cara es $\vec{E}(0)=0$, pues la distribución de carga es simétrica respecto de $y=0$. En este caso, evidentemente, el flujo sobre la superficie será $x z E(y)$ Si colocas la cara inferior a una altura $-a<y<0$, entonces el campo allí será $\vec{E}(y)=-E(y)\hat{y}$, por lo que el flujo a través de la superficie será $2xz E(y)$. En cualquier caso, a la hora de aplicar el teorema de Gauss, en el primer caso tendrás una carga encerrada por la superficie $Q$ y en el segundo una carga $2Q$, por lo que el resultado será el mismo.

Saludos.

[Bromio]

Re: Flujo nulo al aplicar la ley de Gauss

Gracias.

Por lo que leo, llego a la conclusión de que construyo mal la superficies gaussianas.

Yo, generalmente, las creo de manera que las caras de la superficie estén contenidas dentro de la región espacial donde quiero calcular el campo. En este caso particular, las dos caras perpendiculares al eje $y$ las he puesto en la región $0 \leq y \leq a$. ¿Deberían salirse de la región?

Muchas gracias.

Un saludo.

[Bromio]

Re: Flujo nulo al aplicar la ley de Gauss

Repetido

[bertolet]

Re: Flujo nulo al aplicar la ley de Gauss

Debes aprovechar la simetría del sistema. Si construyes el paralelepípedo con ambas caras dentro de la región a alturas $y_1$ e $y_2$ te encuentras con el problema de que el campo eléctrico tiene diferentes valores en esas diferentes alturas, por lo que tienes dos incógnitas en tu ecuación. Dos posibles soluciones para tener una sola incógnita pasan por aprovechar la simetría del sistema; en $y=0$, el campo es cero por simetría, mientras que en $-y$, el campo será el mismo que en $y$, sólo que en sentido contrario. No sé si me explico bien.

Saludos.

[bertolet]

Re: Flujo nulo al aplicar la ley de Gauss

No necesariamente la superficie debe contener toda la carga de la región. El principio del que partes es que la distribución de carga es simétrica, por lo que puedes aventurar algunos valores del campo eléctrico gracias a dicha simetría. El "truco" es aprovechar esos valores que sabes aventurar.

[Bromio]

Re: Flujo nulo al aplicar la ley de Gauss

Debes aprovechar la simetría del sistema. Si construyes el paralelepípedo con ambas caras dentro de la región a alturas $y_1$ e $y_2$ te encuentras con el problema de que el campo eléctrico tiene diferentes valores en esas diferentes alturas, por lo que tienes dos incógnitas en tu ecuación. Dos posibles soluciones para tener una sola incógnita pasan por aprovechar la simetría del sistema; en $y=0$, el campo es cero por simetría, mientras que en $-y$, el campo será el mismo que en $y$, sólo que en sentido contrario. No sé si me explico bien.

Entiendo lo que dices, pero, aun así, me estoy haciendo un lío.

Si colocamos la superficie gaussiana con las caras que nos incumben a dos alturas distintas, $y_1$ y $y_2$, dentro de la región donde queremos calcular el campo y que, además, es la región en donde se encuentra la mitad de la distribución de carga, nos quedaría:

$\displaystyle\oint_\Sigma \bar{E}(\bar{R})\cdot{d\bar{S}} = \displaystyle\int_{\mbox{Cara }{y_1}}E_y(y)\,dS + \displaystyle\int_{\mbox{Cara }{y_2}}E_y(y)\,dS$, donde cada una de esas integrales tendrá un valor distinto, porque el campo será distinto en cada una de las caras, debido a que las cargas cogidas así, aleatoriamente, no tienen por qué ser simétricas.

Entonces, puedo poner la cara $y_2$ en $0 \leq y \leq a$ y la cara $y_2$ en $y=0$, porque ahí el campo es nulo, debido a la simetría de la carga. También puedo poner la cara $y_2$ en $-a \leq y \leq 0$, con $y_2 = -y_1$, y ahí sí podré sumar las dos integrales obteniendo $2xyE_y(y)$.

Todo lo dicho hasta ahora se refiere a este ejercicio en concreto. Ahora bien, en términos generales, para aplicar la ley de Gauss tengo que tener una distribución simétrica de carga. Si quiero calcular el campo dentro de una región donde se encuentra la carga (por ejemplo, en el interior de una esfera cargada que produce un campo), la superficie gaussiana puedo ponerla tanto dentro como fuera, siempre y cuando aproveche la simetría de la situación. Pero esto no me cuadra. ¿Por qué? Porque, para calcular la carga contenida en el volumen definido por la superficie gaussiana (me refiero al segundo miembro de la ley de Gauss), tendré que utilizar, como límite de integración, hasta donde se encuentre la superficie. Si estoy buscando el campo dentro de la región donde se encuentra la carga, si pongo la superficie externa a esa región, me entrará toda la carga, y no es eso lo que busco.

Entonces, en el ejercicio anterior, en el que busco el campo en esa región en concreto, ¿no estar allí contenido el paralelepípedo?

No sé si queda claro. Ya estoy obnubilado.

Gracias.

Un saludo.

[Al2000]

Re: Flujo nulo al aplicar la ley de Gauss

...
Si quiero calcular el campo dentro de una región donde se encuentra la carga (por ejemplo, en el interior de una esfera cargada que produce un campo), la superficie gaussiana puedo ponerla tanto dentro como fuera, siempre y cuando aproveche la simetría de la situación.
...

No pierdas de vista que el objetivo es calcular el campo en un punto en particular. Tu superficie de integración debe pasar por ese punto pues el flujo se evalúa con el campo en ese punto.

Saludos,

Al

[pod]

Re: Flujo nulo al aplicar la ley de Gauss

Se puede hacer de dos maneras igualmente válidas:

1) Poner una cara en el valor de y que tú deseas y la otra en el origen (y = 0).

2) Poner una cara en el valor y que tú deseas y la otra en punto opuesto (-y). De esta forma, tanto el flujo, así que aparece el factor dos. Pero el volumen a integrar después también es el doble, saldrá otro factor dos que se cancelará con el anterior y, por supuesto, el resultado final será el mismo.

No hay una forma mejor que la otra. Si las haces bien, las dos son correctas.

[Bromio]

Re: Flujo nulo al aplicar la ley de Gauss

Se puede hacer de dos maneras igualmente válidas:

1) Poner una cara en el valor de y que tú deseas y la otra en el origen (y = 0).

2) Poner una cara en el valor y que tú deseas y la otra en punto opuesto (-y). De esta forma, tanto el flujo, así que aparece el factor dos. Pero el volumen a integrar después también es el doble, saldrá otro factor dos que se cancelará con el anterior y, por supuesto, el resultado final será el mismo.

No hay una forma mejor que la otra. Si las haces bien, las dos son correctas.

Gracias.

Entiendo el por qué de hacerlo así. Sin embargo, me perturba algo en la segunda opción: para calcular el campo en el interior del volumen en cuestión, estamos usando una superficie gaussiana que se sale de la región donde queremos calcular el campo (esto, en realidad, no es problemático) y se mete en otra región en la que más tarde tendremos que calcular el campo (según la división en tramos que hice al principio, en el primer mensaje).

Ciertamente, como ambas regiones son completamente simétricas, no hay problema alguno, pues los campos serán los mismos. De hecho, dada la simetría, creo que podremos hablar de una región central y no de dos "divididas" por el eje de simetría, pero no sé si esto es una "norma general" extrapolable a cualquier problema, o si sólo es válido para este.

Ruego me aclaréis esto último.

Muchas gracias.

Un saludo.

[bertolet]

Re: Flujo nulo al aplicar la ley de Gauss

Ambas regiones son completamente simétricas, por lo que incluso no deberías molestarte en calcular los campos en cada región. Calculando uno, sabes que el otro es exactamente igual pero con sentido opuesto. Esto es una "norma general" para todos los problemas que presenten simetría respecto a un eje como éste.

Aunque te pueda parecer un poco "fullero" porque no da un método de resolución general para todos los problemas existentes, debes tener en cuenta que los problemas que no presentan simetrías, por lo general, son muy difíciles de resolver. Por lo que, contradictoriamente, lo general es reducir los problemas a casos particulares con un grado aprovechable de simetrías.

[Bromio]

Re: Flujo nulo al aplicar la ley de Gauss

Ambas regiones son completamente simétricas, por lo que incluso no deberías molestarte en calcular los campos en cada región. Calculando uno, sabes que el otro es exactamente igual pero con sentido opuesto. Esto es una "norma general" para todos los problemas que presenten simetría respecto a un eje como éste.

Gracias. Ya me ha quedado claro.

Aunque te pueda parecer un poco "fullero" porque no da un método de resolución general para todos los problemas existentes, debes tener en cuenta que los problemas que no presentan simetrías, por lo general, son muy difíciles de resolver. Por lo que, contradictoriamente, lo general es reducir los problemas a casos particulares con un grado aprovechable de simetrías.

Sí, me lo parece, sobre todo considerando que me encanta el rigor matemático y tiendo a querer extrapolarlo a toda ciencia. No obstante, lo comprendo y lo acepto.

Un saludo.

[pod]

Re: Flujo nulo al aplicar la ley de Gauss

Gracias.

Entiendo el por qué de hacerlo así. Sin embargo, me perturba algo en la segunda opción: para calcular el campo en el interior del volumen en cuestión, estamos usando una superficie gaussiana que se sale de la región donde queremos calcular el campo (esto, en realidad, no es problemático) y se mete en otra región en la que más tarde tendremos que calcular el campo (según la división en tramos que hice al principio, en el primer mensaje).

Ciertamente, como ambas regiones son completamente simétricas, no hay problema alguno, pues los campos serán los mismos. De hecho, dada la simetría, creo que podremos hablar de una región central y no de dos "divididas" por el eje de simetría, pero no sé si esto es una "norma general" extrapolable a cualquier problema, o si sólo es válido para este.

Ruego me aclaréis esto último.

Muchas gracias.

Un saludo.

Es que, de hecho, el teorema de Gauss es útil para calcular campos cuando podemos hacer consideraciones de simetría.