1r ciclo interaccion dipolos electricos

[fimini]

buenas, estoy haciendo una relacion de problemasdeelectroamgnetismo pero este en concreto no soy capaz de hacerlo
os agradeceriasi me pudierais echar una mano
el problema en cuestion es este

dos dipolos electricos identicos estan situados tal y como indica en la figura ( estan situados a una distancia R y la distancia entre el dipolo es 2a). la distancia R verifica la condicion r>>2a. comprobar que la fuerza con la qe interaccionan viene dada por la expresion:


un saludo y gracias

[Al2000]

Re: interaccion dipolos electricos

No indicas la orientación de los dipolos y la fuerza depende de como están orientados. Por el resultado que pones asumo que los dipolos están alineados, disposición para la cual se llega al resultado que pones.

Dependiendo desde donde quieres (o debes) partir, el cálculo será mas o menos largo. También dependiendo de la orientación de los dipolos podría hacerse quizá el cálculo mas simple.

Lo que sigue está basado en el formulismo presentado en el libro de Alonso-Finn.

La fuerza de interacción la puedes calcular como el menos gradiente de la energía potencial de los dipolos.

La energía potencial de un dipolo en un campo eléctrico es

$$U = - \boldsymbol p \boldsymbol \cdot \boldsymbol E$$

El campo eléctrico de un dipolo (dipolo ubicado en el origen) es

$$\boldsymbol E = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0}\frac {3 (\boldsymbol p \boldsymbol \cdot \boldsymbol u_r) \boldsymbol u_r - \boldsymbol p}{r^3}$$

De modo que la energía potencial del dipolo 2 en presencia del campo del dipolo 1 (dipolo 1 en el origen) es

$$U = - \boldsymbol p_2 \boldsymbol \cdot \boldsymbol E_1 \quad \Rightarrow \quad U = - \frac 1 {4 \pi \epsilon_0}\frac {3 (\boldsymbol p_1 \boldsymbol \cdot \boldsymbol u_r)(\boldsymbol p_2 \boldsymbol \cdot \boldsymbol u_r) - \boldsymbol p_1 \boldsymbol \cdot \boldsymbol p_2}{r^3}$$

Si como creo los dipolos están alineados, $\boldsymbol p_1$ y $\boldsymbol p_2$ son paralelos a $\boldsymbol u_r$ y la energía queda

$$U = - \frac 1 {4 \pi \epsilon_0}\frac {2 p^2}{r^3}$$

de donde se obtiene inmediatamente la expresión que buscas al tomar la derivada.

Saludos,

Al

[koky]

Re: interaccion dipolos electricos

Hola, he entendido todo bastante bien, pero lo unico que no me ha quedado claro es la ultima parte que llega hasta el resultado del problema...Y que pasaria si los dipolos no estuviesen alineados? y si se encuentran paralelos uno de otro? se que la ecuacion es similar a la otra solo que en vez de un 6p elevado a 2, es 3p elevado a 2... como se deduce esa ecuacion?

[Al2000]

Re: interaccion dipolos electricos

Haciendo las mismas operaciones tendrías que, al ser paralelos $\boldsymbol p_1$ y $\boldsymbol p_2$, entonces $\boldsymbol p_1 \boldsymbol \cdot \boldsymbol u_r = \boldsymbol p_2 \boldsymbol \cdot \boldsymbol u_r = 0$ y $\boldsymbol p_1 \boldsymbol \cdot \boldsymbol p_2 = p^2$, quedando la energía potencial

$$U = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {p^2}{r^3}$$

Nota que esta energía corresponde a una repulsión entre los dipolos. La fuerza sería $\dst \boldsymbol F = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {3 p^2}{r^4} \boldsymbol u_r$.

Saludos,

Al

PD. Disculpa, asumí en tu pregunta (y en mi respuesta) que al decir que los dipolos son paralelos implicaste que no hay desplazamiento relativo entre ellos. Es decir, están así

--->
--->

y no así

......--->
--->

[koky]

Re: interaccion dipolos electricos

Muchas gracias por la repsuesta, pero sigo sin entender( en ambos problemas) el ultimo paso que das de cada uno de ellos... como pasas de esa "penultima" ecuacion a la formula que debes demostrar.. si fuese tan amable de explicarme cada uno de los pasos te lo agradeceria.

Saludos!

[koky]

Re: interaccion dipolos electricos

AH! derivando respecto de R en ambos casos... vale! muchas gracias! una ultima pregunta... en el primer caso la fuerza seria atractiva? porque? por el signo positivo que tiene la fuerza?

[Al2000]

Re: interaccion dipolos electricos

Por el signo negativo en la energía potencial, que implica que si la separación disminuye, disminuye la energía. En realidad si calculas $\boldsymbol F = - \nabla U$ te conseguirás que la fuerza tiene sentido opuesto a $\boldsymbol u_r$. Lo que está indicado en el enunciado del problema es sólo la magnitud de la fuerza.

Saludos,

Al

[Al2000]

Re: interaccion dipolos electricos

Sólo por diversión (cada quien se divierte a su modo ) y antes de tirar los papeles al cesto de la basura, transcribo la solución evaluando la fuerza directamente como el efecto del campo de un dipolo sobre las cargas del otro.

Partiendo del conocido campo del dipolo en coordenadas polares (dipolo en el origen):

$$\boldsymbol E_{(r,\theta)} = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {2 p \cos \theta }{r^3}\, \boldsymbol u_r + \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {p \, \mathrm {sen} \, \theta }{r^3}\, \boldsymbol u_\theta$$

En el primer caso la fuerza que ejerce el primer dipolo (en el origen) sobre el segundo será:

$$\boldsymbol F = q \boldsymbol E_{(r+a,0)} - q \boldsymbol E_{(r-a,0)}$$

Usando (1) en (2), podemos escribir

$$\boldsymbol F = \frac {2 p q} {4 \pi \epsilon_0} \left[ \frac 1 {(r+a)^3} - \frac 1 {(r-a)^3}\right]\, \boldsymbol u_r = \frac {2 p q} {4 \pi \epsilon_0 r^3} \left[ \frac 1 {(1 + a/r)^3} - \frac 1 {(1 - a/r)^3}\right]\, \boldsymbol u_r$$

Usando la aproximación por series $\dst (1 \pm x)^n \approx 1 \pm n x$, queda

$$\boldsymbol F = \frac {2 p q} {4 \pi \epsilon_0 r^3} \left[ \left(1 - 3 \frac a r\right) - \left(1 + 3 \frac a r\right)\right]\, \boldsymbol u_r$$

la cual, tomando en cuenta que $2 a q = p$, simplifica a

$$\boxed {\boldsymbol F = - \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {6 p^2} {r^4}\, \boldsymbol u_r}$$

El segundo caso es un poco mas laborioso. Para usar la misma expresión del campo en coordenadas polares, se debe recordar que los vectores unitarios $\boldsymbol u_r$ y $\boldsymbol u_\theta$ no son constantes. En efecto ambos vectores dependen de $\theta$ y los podríamos escribir

$$<br /> \begin{aligned}<br /> \boldsymbol u_{r (\theta)} &= \cos \theta \, \boldsymbol u_x + \, \mathrm {sen} \, \theta \, \boldsymbol u_y \\<br /> \boldsymbol u_{\theta (\theta)} &= - \, \mathrm {sen} \, \theta \, \boldsymbol u_x + \cos \theta \, \boldsymbol u_y <br /> \end{aligned}<br />$$

Ahora, con el dipolo 1 en el origen de coordenadas y alineado con el eje $X$, el dipolo 2 sobre el eje $Y$, a la distancia $r$ del dipolo 1 y paralelo a éste, la fuerza que ejerce el campo del dipolo 1 sobre el dipolo 2 será

$$\boldsymbol F = q \boldsymbol E_{(r,\pi/2 - \alpha) } - q \boldsymbol E_{(r,\pi/2 + \alpha )}$$

donde se está despreciando la pequeña diferencia que existe entre la distancia $r$ a las cargas del dipolo y a su centro. $\alpha$ es un muy pequeño ángulo que da cuenta de la separación $a$ entre cada carga del dipolo y eje $Y$.

Usando (1) y (6) en (7), se tiene que

$$<br /> \begin{aligned}<br /> \boldsymbol F = \frac {p q}{4 \pi \epsilon_0\,r^3} & \left[2 \cos \left(\frac \pi 2 - \alpha \right ) \, \boldsymbol u_{r( \pi/2 - \alpha )} + \mathrm {sen} \, \left(\frac \pi 2 - \alpha \right) \, \boldsymbol u_{\theta (\pi/2 - \alpha )} \right . \\<br /> & \left .- 2 \cos \left(\frac \pi 2 + \alpha \right ) \, \boldsymbol u_{r( \pi/2 + \alpha )} - \mathrm {sen} \, \left(\frac \pi 2 + \alpha \right) \, \boldsymbol u_{\theta (\pi/2 + \alpha )}\right] <br /> \end{aligned}<br />$$

El uso de las relaciones $\dst \mathrm {sen} \, \left(\frac \pi 2 \pm \alpha \right) = \cos \alpha$ y $\dst \cos \left(\frac \pi 2 \pm \alpha \right) = \mp \, \mathrm {sen} \, \alpha$ reduce (8) a

$$\boldsymbol F = \frac {p q}{4 \pi \epsilon_0\, r^3}\, 6 \, \mathrm {sen} \, \alpha \cos \alpha \, \boldsymbol u_y$$

donde, por ser $\alpha$ muy pequeño, pueden hacerse las aproximaciones $\dst \mathrm {sen} \, \alpha \approx \alpha \approx \frac a r$ y $\cos \alpha \approx 1$:

$$\boxed {\boldsymbol F = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {3 p^2}{r^4}\, \boldsymbol u_y}$$

donde de nuevo se tomó $2 a q = p$.

Saludos,

Al

[ryoser]

Re: interaccion dipolos electricos

Sólo por diversión (cada quien se divierte a su modo ) y antes de tirar los papeles al cesto de la basura, transcribo la solución evaluando la fuerza directamente como el efecto del campo de un dipolo sobre las cargas del otro.

Partiendo del conocido campo del dipolo en coordenadas polares (dipolo en el origen):

$$\boldsymbol E_{(r,\theta)} = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {2 p \cos \theta }{r^3}\, \boldsymbol u_r + \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {p \, \mathrm {sen} \, \theta }{r^3}\, \boldsymbol u_\theta$$

En el primer caso la fuerza que ejerce el primer dipolo (en el origen) sobre el segundo será:

$$\boldsymbol F = q \boldsymbol E_{(r+a,0)} - q \boldsymbol E_{(r-a,0)}$$

Usando (1) en (2), podemos escribir

$$\boldsymbol F = \frac {2 p q} {4 \pi \epsilon_0} \left[ \frac 1 {(r+a)^3} - \frac 1 {(r-a)^3}\right]\, \boldsymbol u_r = \frac {2 p q} {4 \pi \epsilon_0 r^3} \left[ \frac 1 {(1 + a/r)^3} - \frac 1 {(1 - a/r)^3}\right]\, \boldsymbol u_r$$

Usando la aproximación por series $\dst (1 \pm x)^n \approx 1 \pm n x$, queda

$$\boldsymbol F = \frac {2 p q} {4 \pi \epsilon_0 r^3} \left[ \left(1 - 3 \frac a r\right) - \left(1 + 3 \frac a r\right)\right]\, \boldsymbol u_r$$

la cual, tomando en cuenta que $2 a q = p$, simplifica a

$$\boxed {\boldsymbol F = - \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {6 p^2} {r^4}\, \boldsymbol u_r}$$

El segundo caso es un poco mas laborioso. Para usar la misma expresión del campo en coordenadas polares, se debe recordar que los vectores unitarios $\boldsymbol u_r$ y $\boldsymbol u_\theta$ no son constantes. En efecto ambos vectores dependen de $\theta$ y los podríamos escribir

$$<br /> \begin{aligned}<br /> \boldsymbol u_{r (\theta)} &= \cos \theta \, \boldsymbol u_x + \, \mathrm {sen} \, \theta \, \boldsymbol u_y \\<br /> \boldsymbol u_{\theta (\theta)} &= - \, \mathrm {sen} \, \theta \, \boldsymbol u_x + \cos \theta \, \boldsymbol u_y <br /> \end{aligned}<br />$$

Ahora, con el dipolo 1 en el origen de coordenadas y alineado con el eje $X$, el dipolo 2 sobre el eje $Y$, a la distancia $r$ del dipolo 1 y paralelo a éste, la fuerza que ejerce el campo del dipolo 1 sobre el dipolo 2 será

$$\boldsymbol F = q \boldsymbol E_{(r,\pi/2 - \alpha) } - q \boldsymbol E_{(r,\pi/2 + \alpha )}$$

donde se está despreciando la pequeña diferencia que existe entre la distancia $r$ a las cargas del dipolo y a su centro. $\alpha$ es un muy pequeño ángulo que da cuenta de la separación $a$ entre cada carga del dipolo y eje $Y$.

Usando (1) y (6) en (7), se tiene que

$$<br /> \begin{aligned}<br /> \boldsymbol F = \frac {p q}{4 \pi \epsilon_0\,r^3} & \left[2 \cos \left(\frac \pi 2 - \alpha \right ) \, \boldsymbol u_{r( \pi/2 - \alpha )} + \mathrm {sen} \, \left(\frac \pi 2 - \alpha \right) \, \boldsymbol u_{\theta (\pi/2 - \alpha )} \right . \\<br /> & \left .- 2 \cos \left(\frac \pi 2 + \alpha \right ) \, \boldsymbol u_{r( \pi/2 + \alpha )} - \mathrm {sen} \, \left(\frac \pi 2 + \alpha \right) \, \boldsymbol u_{\theta (\pi/2 + \alpha )}\right] <br /> \end{aligned}<br />$$

El uso de las relaciones $\dst \mathrm {sen} \, \left(\frac \pi 2 \pm \alpha \right) = \cos \alpha$ y $\dst \cos \left(\frac \pi 2 \pm \alpha \right) = \mp \, \mathrm {sen} \, \alpha$ reduce (8) a

$$\boldsymbol F = \frac {p q}{4 \pi \epsilon_0\, r^3}\, 6 \, \mathrm {sen} \, \alpha \cos \alpha \, \boldsymbol u_y$$

donde, por ser $\alpha$ muy pequeño, pueden hacerse las aproximaciones $\dst \mathrm {sen} \, \alpha \approx \alpha \approx \frac a r$ y $\cos \alpha \approx 1$:

$$\boxed {\boldsymbol F = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {3 p^2}{r^4}\, \boldsymbol u_y}$$

donde de nuevo se tomó $2 a q = p$.

Saludos,

Al

Hola tengo un problema "parecido" .... si alguien me contestara se lo agradeceria mucho , el enunciado es el siguiente:

Se tienen dos dipolos eléctricos,el primero ,de momento dipolar p1=-pux ,está situado en el origen de coordenadas , y el segundo, de momento dipolar p2=puy ,esta situado en el punto (a\sqrt{3},a,0).Calcular la energía potencial del dipolo p2.


Gracias y un saludo.

[Al2000]

Re: interaccion dipolos electricos

En la ecuación de la energía potencial en el mensaje #2 pon $\boldsymbol p_1 = - p\, \boldsymbol u_x,\,\, \boldsymbol p_2 = p\, \boldsymbol u_y,\,\, \boldsymbol r = a (\sqrt 3\, \boldsymbol u_x + \boldsymbol u_y)$ y saca la cuenta.

Saludos,

Al

[ryoser]

Re: interaccion dipolos electricos

En la ecuación de la energía potencial en el mensaje #2 pon $\boldsymbol p_1 = - p\, \boldsymbol u_x,\,\, \boldsymbol p_2 = p\, \boldsymbol u_y,\,\, \boldsymbol r = a (\sqrt 3\, \boldsymbol u_x + \boldsymbol u_y)$ y saca la cuenta.

Saludos,

Al

Solo una cosa más , me han dado la solución numerica y es : 3√3p^2 ∕128[FONT=Times New Roman]π[/FONT]ea^3 entonces aplicando lo que me has dicho no me termina de salir , no se si es mucho pedir pero ¿podrias resolverlo a ver si te sale ?

Muchisimas gracias una vez más!!!

Saludos.

[Al2000]

Re: interaccion dipolos electricos

Revisa tus cuentas, da exactamente lo que pusiste.

Saludos,

Al

[ryoser]

Re: interaccion dipolos electricos

Revisa tus cuentas, da exactamente lo que pusiste.

Saludos,

Al

Solo una cosa más ¿ p_1u_r y p_2u_r en polares?

Solo una cosa más ¿ (boldsymbol p_1 \boldsymbol \cdot \boldsymbol u_r)( boldsymbol p_2 \boldsymbol \cdot \boldsymbol u_r )en polares ?

¿p1ur = pcos ....o no ?
Espero no molestar más

Un saludo

[Al2000]

Re: interaccion dipolos electricos

Como $\boldsymbol r$ es el vector posición de $\boldsymbol p_2$ respecto de $\boldsymbol p_1$ (y $\boldsymbol p_1$ está en el origen), entonces $\boldsymbol r = a \cdot (\sqrt 3, 1, 0),\,\, r = 2 a,\,\, \boldsymbol u_r = \left(\frac {\sqrt 3} 2, \frac 1 2, 0\right)$. Pon $\boldsymbol p_1 = p \cdot (-1,0,0),\,\, \boldsymbol p_2 = p \cdot (0,1,0)$ y resuelve. Si no te da, escribe lo que hiciste para mirar cual es el error.

Saludos,

Al

[ryoser]

Re: interaccion dipolos electricos

Como $\boldsymbol r$ es el vector posición de $\boldsymbol p_2$ respecto de $\boldsymbol p_1$ (y $\boldsymbol p_1$ está en el origen), entonces $\boldsymbol r = a \cdot (\sqrt 3, 1, 0),\,\, r = 2 a,\,\, \boldsymbol u_r = \left(\frac {\sqrt 3} 2, \frac 1 2, 0\right)$. Pon $\boldsymbol p_1 = p \cdot (-1,0,0),\,\, \boldsymbol p_2 = p \cdot (0,1,0)$ y resuelve. Si no te da, escribe lo que hiciste para mirar cual es el error.

Saludos,

Al

Vaaalee muchisimas gracias ... solo una última duda entonces p1*p2 =0 esa es la parte en la que me confunde una vez que me han dado la solución numérica.

Saludos