Otras carreras Campo de esfera dieléctrica

[Elias]

Una esfera dieléctrica de radio $a$ tiene una densidad de carga volumétrica de carga $\rho(r)=\frac{-Qr}{{\pi}a^4 }$. Concentrica con ella esta una esfera hueca conductora con radio interno $b$ y externo $c$ a la cual se le ha agregado una carga $+2Q$ calcule para todo punto del espacio

Magnitud y dirección del campo eléctrico.
Diferencia de potencial entre el centro y el borde más externo de la configuración.
Densidades superficiales de carga en el conductor.

Tengo duda ¿qué diferencia existe cuando tengo carga negativa?

En principio tengo que calcular la carga interna esto es, tomamos conchas esfericas de espesor $dr$ y sumamos $q_i=\displaystyle\int_{0}^{a}\rho{dV}=\displaystyle\int_{0}^{a}\frac{-Qr}{{\pi}a^4 }{4\pi r^2dr}$

Una vez obtenida la carga de la esfera de radio $a$ que va ser negativa. puedo calcular los campos eléctricos en todos los puntos por ejemplo para $r>c$ trazo una esfera gausiana puedo calcular su maginitu, pero para la dirección del campo es hacia dentro del radio?

[arreldepi]

Re: Campo de esfera dieléctrica

Sí, una vez conoces las distribuciones de carga (o las cargas) puedes trabajar de manera similar a un problema de electrostática en el vacío (teniendo en cuenta las $\epsilon_r$ y tal). Con lo cual, si la carga de la esfera dieléctrica es negativa, el campo tendrá dirección radial dirigida hacia ella, es decir, $\vec D\cdot\dd\vec S = -D\dd S$.

Saludos!

[Elias]

Re: Campo de esfera dieléctrica

Hola sabes que la carga de la esfera de radio $a$ es $-4Q$

Ahora calculemos el campo para $r>c$ entonces la carga interna va ser $-2Q$, pero aca noto que el campo me va dar en modulo positivo, pero para su dirección será $(-\hat{r})$
$\displaystyle\oint\bar{E}\cdot{d\bar{A}}=4{\pi }{k}q_i$
$-E4{\pi }{r^2}=4{\pi }{k}(-4Q + 2Q)$
$E=\displaystyle\frac{2kQ}{r^2}$


En el conductor la carga es cero

para $a<r<b$ al trazar una gausiana me queda $-E4{\pi }{r^2}=4{\pi }{k}(-4Q)$

[arreldepi]

Re: Campo de esfera dieléctrica

Hola!

A mi la carga de la esfera de radio a me sale de -Q. Con lo cual, la carga en r=b será +Q y la carga en r=c será 2Q-Q=Q.

Para r>c sólo tienes que tener en cuenta la carga que hay en la superficie exterior, ya que des de fuera será como si fuese una esfera maciza con carga +Q. No acabo de ver por qué le pones signo negativo al producto escalar [creo que lo que te he dicho antes te ha confundido, no me refería a ponerlo si lo sabemos, estaba poniendo un ejemplo de lo que sucedería si hiciésemos ese producto escalar con vectores antiparalelos], en cualquier caso, el signo te saldría solo de haberlo puesto mal. Lo correcto para r>c sería

$$\oint\limits_{S}\vec E\cdot\dd\vec S = \oint\limits_S E\dd S = E\cdot 4\pi r^2 = \frac {Q}{\epsilon_0}$$

Así que

$$\vec E = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2}\hat r.$$

En el interior del dieléctrico, es decir, para r<a:

$$\oint\limits_{S}\vec D\cdot\dd\vec S = Q_{int}$$

y para calcular $\vec E$ usas que $\vec D = \epsilon_0\epsilon_r\vec E$

Para a<r<b, lo mismo con $\epsilon_r = 1$. Y para b<r<c, el campo es 0.

Saludos!

[Elias]

Re: Campo de esfera dieléctrica

hola si es -Q olvide dividir entre 4

El negativo lo saque porque a ver el campo va dirigido hacia adentro no? entonces los diferenciales de area apuntan hacia afuera

[arreldepi]

Re: Campo de esfera dieléctrica

Sí, el diferencial de área siempre apunta hacia afuera de la superficie considerada, por convenio. De todas formas recuerda que nosotros en principio no sabemos hacia dónde apunta el campo, por lo tanto, los suponemos paralelos y en caso de no serlo ya nos aparecerá el signo.

[Elias]

Re: Campo de esfera dieléctrica

Hola en resumen sabemos que la carga de la esfera de radio $a$ es $-Q$

Ahora calculemos el campo para $r>c$ entonces la carga interna va ser $Q$
$\displaystyle\oint\bar{E}\cdot{d\bar{A}}=4{\pi }{k}q_i$
$E4{\pi }{r^2}=4{\pi }{k}(Q)$
$E=\displaystyle\frac{kQ}{r^2}$
$\bar{E}=\displaystyle\frac{kQ}{r^2}\hat{r}$

Dentro del conductor el campo es cero.

para $a<r<b$ la carga interna es $-Q$ al trazar una gausiana me queda $E4{\pi }{r^2}=4{\pi }{k}(-Q)$


$\bar{E}=\displaystyle\frac{-kQ}{r^2}\hat{r}$

Para $r<a$ la carga interna es $\displaystyle\frac{-r^3}{a^3}Q$

$\bar{E}=\displaystyle\frac{-kQr}{a^3}\hat{r}$

Sabes que el potencial me lo definieron como $\Delta{V}=V_f -V_i=\displaystyle\int_{i}^{f}\bar{E}\cdot{d\bar{r}}$ pero aca tengo que saber hacia donde va el campo para poder hacer el propucto escalar y ver si me da positivo a negativo

Saludos y muchas gracias

[arreldepi]

Re: Campo de esfera dieléctrica

Hola,
Para r<a ten cuidad porque el medio es dieléctrico, así que es constante k será diferente que en los otros casos. Para el potencial el signo ya va incluido en E, no hace falta que lo pongas tu al hacer el producto escalar. La expresión del potencial será diferente según el intervalo en que lo calcules.
Saludos!

[nature]

Re: Campo de esfera dieléctrica

Dentro del conductor el campo es cero.

para $a<r<b$ la carga interna es $-Q$ al trazar una gausiana me queda $E4{\pi }{r^2}=4{\pi }{k}(-Q)$


$\bar{E}=\displaystyle\frac{-kQ}{r^2}\hat{r}$

Para $r<a$ la carga interna es $\displaystyle\frac{-r^3}{a^3}Q$

$\bar{E}=\displaystyle\frac{-kQr}{a^3}\hat{r}$

Si es correcto, Esto lo puedes deducir de una especie de ley para este tipo de interacciones electrostaticas, la ley de los cascarones esfericos:

1- Un cascarón esférico de carga uniforme no ejerce fuerza electrostática sobre una carga puntual ubicada en cualquier parte del interior del cacarón.
2- Un cascarón esférico uniformemente cargado ejerce fuerza electrostática sobre una carga puntual ubicada fuera de dicho cascarón, como si la carga entera del cascarón estuviese concentrada en una carga puntual en su centro. (Física vol 2 Resnick)

por eso es que dentro del dielectrico el campo electrico aumenta linealmenete con la distancia al centro, ya que cada vez que alejas la carga de prueba esta percibe una mayor carga concentrada en el centro.

y respecto al potencial no necesitas incluir el signo (En Campos Entre Cargas Puntuales) ya que por ejemplo si el campo es atractivo (cargas opuestas) habrá un signo menos en la ecuación de E y si es repulsivo (cargas iguales) no.

[Elias]

Re: Campo de esfera dieléctrica

Hola oye lo último del potencial no lo entendí muy bien me lo pueden mostar por favor, calculadondo el potencial de la parte exterior de las esferas.

Con respento al K en los dielectricos, no lo sabia, tengo clase ahorita, le voy a preguntar al profesor.

Muchas gracias

[arreldepi]

Re: Campo de esfera dieléctrica

Hola!

Si llamamos $E_{1}$ al campo de la esfera dieléctrica, $E_2$ al campo entre r=a y r=b y $E_3$ al campo exterior, entonces (lo pongo ya directamente):

$$V(r)_{r\geq c}=\int\limits_r^\infty E_3\dd r$$

$$V(r)_{a\leq r\leq b}=\int\limits_r^b E_2\dd r + \int\limits_c^\infty E_3 \dd r$$

$$V(r)_{r\leq a}=\int\limits_r^a E_1\dd r + \int\limits_a^b E_2\dd r + \int\limits_c^\infty E_3 \dd r$$

no he escrito la contribución del conductor porque allí el campo es cero. El potencial, por eso, no lo es, y tendrás que calcularlo sabiendo que el potencial es contínuo.

A lo que me refería del teorema de Gauss es que podemos escribirlo tanto para el vacío

$$\oint\limits_S \vec E\cdot\dd\vec S = \frac{Q_{int}}{\epsilon_0}$$

como para medios dieléctricos

$$\oint\limits_S \vec D\cdot\dd\vec S = Q_{int}$$

y, si el medio es lineal $\vec D = \epsilon_0\epsilon_r \vec E$. Con lo cual, uno siempre puede aplicarlo para dieléctricos y luego hacer $\epsilon_r=1$ en el caso de estar en el vacío. Pero en caso de estar en un dieléctrico, usar el teorema de Gauss con la misma constante que en un dieléctrico no es correcto.

Saludos!

[Elias]

Re: Campo de esfera dieléctrica

Hola Muchas gracias, pero creo que no me explique bien en mi duda.

Acá tienen las definiciónes del libro

La diferencia de potencial entre A y B $V_b -V_a=-\displaystyle\int_{a}^{b}\bar{E}\cdot{d\bar{l}}$

Potencial eléctrico $V_p=-\displaystyle\int_{\infty}^{P}\bar{E}\cdot{d\bar{l}}$

En los calculos que realizastes por qué no colocastes ese negativo, será que este producto escalar te dio negativo $\bar{E}\cdot{d\bar{l}}$ y al multiplicarlo con el negativo de alante pues queda tu expresión? si es así como sabes que ese producto es engativo

En nada cambia esto cuando tengo cargar negativas y positivas?

[arreldepi]

Re: Campo de esfera dieléctrica

Hola, justo antes de empezar a poner las integrales puse que ya lo ponía directamente . Si lo hacemos paso a paso, por ejemplo, para el caso de r<a

$$V(r)-V(\infty)=-\int\limits_{\infty}^r \vec E\cdot\dd\vec \ell$$

Si escogemos ir por un camino según la dirección radial $\dd \vec\ell = \dd\vec r$

$$V(r)-V(\infty)=-\int\limits_{\infty}^r \vec E\cdot\dd\vec r = \int\limits_r^\infty \vec E\cdot\dd\vec r$$

Entonces, sin saber cuál es el signo de E, hacemos lo de siempre, consideramos que son paralelos, es decir, hacemos el producto escalar del vector unitario que nos da la dirección de E (el signo está dentro de E) $E\hat r\cdot\cdot\dd\vec r = E(\hat r\cdot\dd\vec r)=E\dd r$. Con lo cual, para r<a

$$V(r)-V(\infty)=-\int\limits_{\infty}^r \vec E\cdot\dd\vec r = \int\limits_r^\infty \vec E\cdot\dd\vec r = \int\limits_r^\infty E\dd r = \int\limits_r^a E_1\dd r +\int\limits_a^b E_2\dd r + \int\limits_c^\infty E_3\dd r$$

Es decir:

1. Cuando hacemos estos productos escalares en realidad hacemos el producto escalar del vector unitario del campo por el $\dd \vec r$ y, lo más cómodo, es considerar que tienen la misma dirección, podríamos escribir también $\dd\vec r = \dd r\hat r$.
2. El signo del potencial cambia porque cambiamos el orden de los límites de integración.

Saludos!

[Elias]

Re: Campo de esfera dieléctrica

Hola muchas gracias.

Para calcular la diferencia de potencial entre el centro y el borde mas externo seria

$V(r=0) - V(r=c)$ es decir quedaria la integral de cero a 0 del campo 1 mas la integral de el campo 2 de (a) a (b)

[arreldepi]

Re: Campo de esfera dieléctrica

El potencial siempre se calcula entre $r$ i un punto de referencia $r_{ref}$ que, en nuestro caso, es el infinito, donde se anula el potencial. Con lo cual, si partimos des del centro, primero vamos de r a a, luego de a a b, luego de b a c y ya de c a infinito.

Saludos!