Otras carreras potencial en coordenadas esfericas

[LauraLopez]

Se tiene una distribucion de potencial electrostatico cuya expresion en coordenadas esfericas es :

$\dst V(r) = \left\{ \frac{q}{4 \pi \varepsilon a }\left[ 1 - \frac{r \cos \theta}{3a } - \frac{a}{ r}\right] \right\}$ si 0 < r < a

$\dst V(r) = - \frac{q a \cos \theta}{ 12 \pi \varepsilon r^2}$ si r > a

A)Calcular el campo electrico en ambas regiones, explicando que distribuciones de carga lo producen.

$\dst E = - \nabla V$

entonces yo calcule$E_r$ ya que me da $V_r$

$\dst E_r = \frac{q}{4 \pi \varepsilon } \left[ \frac{\cos \theta}{3 a^2 } - r^2 \right]$ si 0 < r < a

$\dst E_r = \frac{q a \cos \theta }{6 \pi r^3 }$ si r > a

Esta bien ?

Hay que calcular $E_\theta$ tambien ??

Gracias

[Al2000]

Re: potencial en coordenadas esfericas

En la primera derivada (0 < r < a) tienes un error, en donde pones r^2 debería ser la inversa. En la segunda derivada (r > a) tienes el signo equivocado. Y si, tienes que calcular la componente $\theta$.

Saludos,

Al

[LauraLopez]

Re: potencial en coordenadas esfericas

Si tenes razon... deberia haber sido entonces $V(r,\theta)$

en fin a lo que termino llegando es :


$\dst E(r,\theta) = \frac{q}{4 \pi \varepsilon } (\frac{\cos \theta}{ 3a^2} - \frac{1}{r^2 }) \hat{{e}_{r }} + \frac{qr\sin \theta}{12 \pi \varepsilon a^2 } \hat{{e}_{\theta }}$ si 0 < r < a

$\dst E(r,\theta) = - \frac{q a \cos \theta}{6 \pi \varepsilon r^3 } \hat{{e}_{r }} - \frac{qa \sin \theta}{12 \pi \varepsilon r^2 } \hat{{e}_{\theta }}$ si r > a

espero ahora este bien... y me pregunta que distribuciones de carga los producen es una expresion muy "rara" del campo como puedo saber que forma tenia la distribucion que la produjo?

[arivasm]

Re: potencial en coordenadas esfericas

Para encontrar la distribución usa la forma diferencial del teorema de Gauss: $\dst \vec \nabla\cdot\vec E=\frac{\rho}{\epsilon_0}$. Es decir, calcula la divergencia del campo.

[LauraLopez]

Re: potencial en coordenadas esfericas

Creo que entonces no entiendo la pregunta.... a que se refiere con distribuciones? yo esperaba una respuesta del estilo.... una distribucion cilidrica o esferica.... vos me decis que calcule la densidad volumetrica? porque la densidad volumetrica es la respuesta?

[arivasm]

Re: potencial en coordenadas esfericas

Entiendo que se trata de calcular cómo es la $\rho(\vec r)$. Después, a la vista de la misma, podrás razonar sus propiedades.

[LauraLopez]

Re: potencial en coordenadas esfericas

..seria $\dst \rho(r,\theta)$ entonces no?

Calculo la divergencia y llego a :

Para 0 < r < a

$\dst \rho(r,\theta) = \varepsilon \left( \frac{q}{2 \pi \varepsilon r^3 } \hat{{e}_{r }} + \frac{qr \cos \theta}{12 \pi \varepsilon a^2 }\right) \hat{{e}_{\theta }}$

eso seria? esta bien?

y ahora....como respondo con esto cual es la distribucion de carga que la produce?

[arivasm]

Re: potencial en coordenadas esfericas

Cierto, con $f(\vec r)$ se suele indicar que la función f lo es de la posición, es decir, es como escribir $f(x,y)$ o, si se usan coordenadas polares, $f(r,\theta)$

[LauraLopez]

Re: potencial en coordenadas esfericas

Y para el otro intervalo a la expresion que llego es :

$\dst \rho(r,\theta) = \varepsilon \left( \frac{qa\cos \theta}{2 \pi \varepsilon r^4 } \hat{e_r} - \frac{qa \cos \theta}{12 \pi \varepsilon r^2 } \hat{{e}_{\theta }}\right)$

- - - Actualizado - - -

ahora con esto como respondo que distribuciones decarga los producen? la pregunta mucho no la entiendo igual....

y ademas un inciso b me pide :

B) Calcular la densidad superficial de carga enla superficie r=a

para este inciso supongo que tendra que reemplazar r=a en cualquiera de las 2 expresiones anteriores y en ambos casos llegar al mismo resultado no?

[arivasm]

Re: potencial en coordenadas esfericas

Está claro que no lo has hecho bien, pues la divergencia de un vector no es un vector, sino un escalar. Perdona que no te lo haya dicho antes, pues también tenías el mismo error en el post #7.

[LauraLopez]

Re: potencial en coordenadas esfericas

ahh claro

Bueno igualmente entonces a lo que llego es :

$\dst \rho (r, \theta) = \varepsilon \left( \frac{q}{2 \pi \varepsilon } (\frac{1}{r^3 } + \frac{r\cos \theta}{6 a^2 }) \right)$ para 0 < r < a

y

$\dst \rho (r, \theta) = \varepsilon \left( \frac{q a \cos \theta}{2 \pi \varepsilon r^2} (\frac{1}{r^2 } - \frac{1}{6 }) \right)$ para r > a

ahi esta bien?

- - - Actualizado - - -

ademas en r=a no obtengo el mismo valor en ambas funciones....que deberia ser asi no? ves mas errores?

[arivasm]

Re: potencial en coordenadas esfericas

Yo encuentro para $0<r<a$, $\dst \vec E = \frac{q}{4 \pi \varepsilon } (\frac{\cos \theta}{ 3a^2} - \frac{1}{r^2 }) \hat{{e}_{r }} - \frac{q\sin \theta}{12 \pi \varepsilon a^2 } \hat{{e}_{\theta }}$, es decir, tengo diferente la componente transversal: el signo y un r menos.

También encuentro un resultado diferente para $r>a$: $\dst\vec E=-\frac{q a}{12\pi\varepsilon r^3}(2\cos\theta \hat{e_r} + \sin\theta\hat{e_\theta})$

Ten en cuenta que el gradiente en coordenadas polares es $\dst \vec \nabla = \frac{\partial}{\partial r}\hat{e_r} + \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\hat{e_\theta}$.

Revisa el cálculo, pues afecta al resultado.

Sobre el significado, tengo alguna idea, que pasa por dividir el potencial (o el campo) según que incluya o no términos angulares, pero prefiero que antes verifiquemos los resultados. La idea es que $\cos\theta\hat{e_r}-\sin\theta\hat{e_\theta}=\hat \imath$.

[LauraLopez]

Re: potencial en coordenadas esfericas

ahhhh no sabia ( no recordaba ) que el gradiente era asi entonces si tengo mal esos resutados igualmente para la componente radial cuando r > a ese 12 de tu denominador me sigue dando 6 a mi puede ser? y ademas me da negativo


para 0 < r < a llegamos a los mismos resultados para el otro no...

$\dst E_r = - \frac{qa \cos \theta}{6 \pi \varepsilon r^3 }$

$\dst {E}_{\theta } = - \frac{q a \sin \theta}{12 \pi \varepsilon r^3 }$

Encontras mal algo?

- - - Actualizado - - -

Una vez que tenga bien calculado el campo hago de nuevo eso de la divergencia no?o sea ahora la divergencia de E ?

[arivasm]

Re: potencial en coordenadas esfericas

Sí, tienes razón con lo del 6. Ya he corregido el error. Sobre la divergencia, efectivamente es el siguiente paso.

[LauraLopez]

Re: potencial en coordenadas esfericas

seguimos teniendo una diferencia en el signo...ambas componente del campo me dan negativas a mi

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y ademas para hacer ahora la divergencia tambien el gradiente es el de coordenadas polares?