potencial en coordenadas esfericas

[arivasm]

Re: potencial en coordenadas esfericas

Exacto. Flujo 0 significa que entran tantas líneas a través de la gaussiana como salen de ella. Eso sucederá con *todas* las superficies cerradas (que es lo que significa el término gaussiana) que encierren al dipolo.

Lo que te comenté anteriormente es que para que podamos extraer conclusiones acerca del campo a partir del flujo debemos elegir adecuadamente la gaussiana, y que no siempre será posible.

[LauraLopez]

Re: potencial en coordenadas esfericas

pero.... el teorema de gauss me dice que el flujo a traves de una superficie gaussiana cerrada sera igual a la carga neta sobre el epsilon cero, mas alla de que para este ejercicio no se cual seria dicha superficie gaussiana si yo ya se que la carga neta es cero entonces puedo afirmar que el flujo del campo sobre esa superficie sera cero no? o sea para el caso de un dipolo puedo decir que va a existir una superficie gaussiada tal que el flujo a traves de la misma sea cero, pero esto no implica que el campo sea cero ? esa es la diferecia? o sea a la conclusion que llego es a que el flujo sera cero, del campo no puedo decir nada

[arivasm]

Re: potencial en coordenadas esfericas

Lo que dices no es correcto. Mejor dicho, la conclusión no lo es: el teorema de Gauss no te llevará a la conclusión de que el campo es nulo.

Quizá convenga que reflexionemos sobre cómo aplicamos el teorema de Gauss. En primer lugar *elegimos* una superficie, sobre la cual realizamos la integral. Por ejemplo, en el caso del plano infinito uniformemente cargado, ¿por qué se elige un cilindro?. Porque en la superficie lateral el flujo es nulo, no porque el campo sea nulo, sino porque el producto escalar $\vec E\cdot\dd \vec S=E\,\dd S\cos 90^\circ=0$. En segundo lugar, como todos los puntos de las "tapaderas" están a la misma distancia del plano *hacemos uso* del hecho de que entonces el campo será el mismo en todos ellos, y además formando un ángulo 0 con los vectores superficie, $\vec E\cdot\dd \vec S=E\,\dd S\cos 0=E\,\dd S$. De esa manera, nos deshacemos de la integral sobre la superficie lateral y en la de las tapaderas ni siquiera tenemos que realizarla, pues al ser el mismo E puede salir de la integral, etc.

Fíjate que en todo ese razonamiento hay un elemento crucial que utilizamos: sabemos que, por la simetría del problema, el campo es perpendicular al plano!

¿Podríamos hacer lo mismo si dentro del cilindro hubiese un dipolo? ¡En absoluto! Habría que considerar el diferente ángulo del campo con la superficie en cada punto, su diferente módulo etc. Está claro que el cilindro no nos permitiría encontrar respuestas sobre cómo es el campo.

¿Podríamos elegir una gaussiana que nos permitiese llegar a conclusiones acerca del campo? Pues mucho me temo que no; o al menos a mí no se me ocurre. La razón está en que conviene que la gaussiana tenga la misma simetría que el sistema de cargas (esa parte no es la complicada) y además que asegure "aislar" el valor del campo que queremos obtener (las "tapaderas" del cilindro, en el caso del plano infinito), y en este caso me temo que no hay tal posibilidad (aunque, repito, también puede ser una cuestión debida a mi ignorancia; digamos que no será nada fácil encontrar una gaussiana adecuada).

[LauraLopez]

Re: potencial en coordenadas esfericas

y entonces el teorema de gauss no lo podria aplicar para un dipolo porque de aplicarlo me daria que el campo es cero lo cual estaria mal, cual es la razon por la cual esta mal aplicar el teorema de gauss a un dipolo?

[arivasm]

Re: potencial en coordenadas esfericas

Cuando aplicas el teorema de Gauss estás haciendo necesariamente una integral doble, pues integras sobre una superficie. Otra cosa es que recurras a "trucos", por ejemplo basándose en las propiedades del campo con relación a la superficie, para evitar hacerla. Fíjate que en los casos donde lo has aplicado de esa manera en realidad nunca has hecho la integral (en el sentido de aplicar la regla de Barrow y demás).

El que la carga neta sea nula no significa que el campo lo sea. El ejemplo más sencillo lo tienes con un dipolo: la carga neta es 0, pero hay un campo que se extiende a todo el espacio.

Por último, sobre lo que te piden, ciertamente el apartado b) sólo te pide el sigma en r=a.

[LauraLopez]

Re: potencial en coordenadas esfericas

pero es una integral doble nunca me quedaban integrales dobles cuando aplicaba el teorema de gauss.... si yo encuentro el sigma y luego lo calculo en r=a con eso estoy respondiendo el inciso b?

y sigo sin ver porque tiene que darse que la carga neta sea nula...si la carga neta en nula por gauss tendria que el campo externo es cero porque la carga neta encerrada es nula y en este caso el campo no es nulo para puntos exteriores....

[arivasm]

Re: potencial en coordenadas esfericas

No sé si lo pide el enunciado o no. De todos modos, conviene explicar completamente el origen de ese curioso potencial. La integral de Al es el teorema de Gauss!

[LauraLopez]

Re: potencial en coordenadas esfericas

y para que me sirve saber si hay o no carga en el origen? se hace con esa integral doble que indico Al?

[arivasm]

Re: potencial en coordenadas esfericas

El flujo para una gaussiana que rodee al origen (lo mejor, evidentemente, es recurrir a una esfera), te permite determinar si hay o no una carga (puntual) en él, que sí la habrá y de valor -q.

Sobre la carga nula en *toda* la esfera, la idea es que en la superficie, al integrar toda la densidad superficial de carga, espero que el resultado sea +q, de modo que, con la -q, del origen, la carga total sea cero, pues de lo contrario será inexplicable que el potencial no tienda a depender de 1/r cuando r crece hacia infinito.

[LauraLopez]

Re: potencial en coordenadas esfericas

perdonen pero yo en los ultimos posts no les pude seguir el hilo.....igualmente me alegra que el ejercicio les haya interesado!!

Asi que pasando al inciso b que es lo que me falta aca lo que me esta pidiendo es calcular$\sigma$ cuando r=a ese sigma que encuentras Arivasm es correcto? yo logre llegar a eso mismo tambien asi que ahi queda por reemplazar r=a y ese es el resultado de este inciso?

Por otro lado para que es necesario calcular el flujo en el origen r=0 que veo que debatian sobre esto.

Tambien lei por ahi que creen que la carga total en la esfera sera nula, como que es nula? si ya habiamos dicho que tiene q haber carga en r=0 y en r=a ademas existe campo electrico tiene q haber carga...

[Al2000]

Re: potencial en coordenadas esfericas

Mis disculpas a todos por ser tan poco preciso. Cuando dije que el campo es discontinuo al atravesar una capa de carga, debí poner que la componente del campo normal a la capa de carga presenta un salto discontinuo de valor $\sigma/\epsilon_0$. Lo tenía en la mente, lo tomé en cuenta cuando respondí el mensaje de Antonio y en la supuesta demostración de mi mensaje anterior, pero lamentablemente no lo escribí

Saludos,

Al

- - - Actualizado - - -

...
Sobre el comportamiento exterior, aunque no lo verifiqué (y el mejor método es el que dices -hoy lo haré-) apuesto que la carga total sobre la superficie de la esfera es q, de manera que la carga total en la esfera (centro+superficie) es nula.
...

Seguramente tienes la razón, pues la densidad de carga es siempre positiva y el campo en el exterior tiene caracter dipolar, por la variación con $1/r^3$. Como dijiste en un mensaje anterior, resultó ser un ejercicio muy simpático.

[arivasm]

Re: potencial en coordenadas esfericas

¿Quieres revisar tu cálculo? A mi me da, usando el campo que pones en el mensaje #12, que el flujo alrededor del origen vale

$$\Phi_E = \frac q {4 \pi \epsilon_0} \int_{0}^{\pi }\!\! \int_{0}^{2 \pi }\!\! \left(\frac {\cos \theta }{3 a^2} - \frac 1 {r^2}\right)(r^2 \, \mathrm {sen} \, \theta \,d \phi \,d \theta) = -\frac q {\epsilon_0}$$

consistente con el término $1/r$ en el potencial indicado en el primer mensaje.

Sí. Como siempre, tienes toda la razón. De hecho, sin esa carga no lograba entender cómo era posible que el trabajo divergiese cuando una carga de prueba era llevada hasta el centro.

Sobre el comportamiento exterior, aunque no lo verifiqué (y el mejor método es el que dices -hoy lo haré-) apuesto que la carga total sobre la superficie de la esfera es q, de manera que la carga total en la esfera (centro+superficie) es nula.

Tengo que verificarlo pero me parece que hay puntos donde el campo eléctrico es tangente a la esfera de radio a. Puede ser?

En la esfera sólo el campo exterior es tangencial en los puntos con $\theta=0$. Quizá el campo se ve mejor si se escribe así:

$\dst\vec E=-\frac{q}{12\pi\epsilon_0 a^2}\left[ \left(3\frac{a^2}{r^2}-\cos\theta\right)\hat{r}+\sin\theta\,\hat{\theta}\right]$ si $0<r<a$

$\dst\vec E=-\frac{q}{12\pi\epsilon_0}\frac{a}{r^3}\left(2\cos\theta\,\hat{r}+\sin\theta\,\hat{\theta}\right)$ si $r>a$

Como ves, para r=a siempre hay una componente radial en el campo interior, pero no en el exterior.

[Breogan]

Re: potencial en coordenadas esfericas

Los ejemplos que pones de discontinuidades en el campo eléctrico están planteados para sup. equip. (planos infinitos con carga homogénea, geometrías metálicas, etc).
Este concepto es aplicable, para superficies equip. o aprox. donde podes decir que el campo es prácticamente normal a la superficie donde aplicas Gauss. Pero no logro ver esa condición para la esfera de radio a en este problema.

Gracias

Tengo que verificarlo pero me parece que hay puntos donde el campo eléctrico es tangente a la esfera de radio a. Puede ser?

[Al2000]

Re: potencial en coordenadas esfericas

...tengo la respuesta (espero): no hay carga en el origen, y la distribución superficial de carga en la esfera es $\dst\sigma(\theta)=\frac{q}{4\pi a^2}(1-\cos\theta)$.
...

¿Quieres revisar tu cálculo? A mi me da, usando el campo que pones en el mensaje #12, que el flujo alrededor del origen vale

$$\Phi_E = \frac q {4 \pi \epsilon_0} \int_{0}^{\pi }\!\! \int_{0}^{2 \pi }\!\! \left(\frac {\cos \theta }{3 a^2} - \frac 1 {r^2}\right)(r^2 \, \mathrm {sen} \, \theta \,d \phi \,d \theta) = -\frac q {\epsilon_0}$$

consistente con el término $1/r$ en el potencial indicado en el primer mensaje.

Se me ocurre que habría que integrar también la carga superficial y hallar la carga total para comparar el resultado con el flujo en puntos exteriores, sólo para asegurar la consistencia de los resultados.

Saludos,

Al

- - - Actualizado - - -

...
Lo que propone Al como método de solución, si como creo deriva de Gauss, seguro es valido sobre superficies equipotenciales, donde el campo eléctrico es normal a esta; y (suponiendo un dV cilíndrico) a las dos tapas y paralelo a la superficie lateral del volumen de integración, pero donde lo están aplicando no es sup. equip. (creo!). No digo que no sea valido en este caso, pero no encontré nada que me confirme su valides, ustedes tendrán algo?
...

Hay un ejercicio en algún libro que no recuerdo, el Tippler tal vez, que primero te llama la atención al hecho de que cuando atraviezas un plano infinito, pasas de un campo $\dst \frac \sigma {2 \epsilon_0}$ en un sentido, a un campo del mismo valor absoluto pero en sentido opuesto, es decir, un salto discontinuo de valor $\sigma/\epsilon_0$. De manera similar, cuando calculas el campo de una esfera conductora cargada, consigues que el campo en el interior es nulo y en el exterior es similar al de una carga puntual, $\dst \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac Q {r^2}$; para puntos exteriores muy cercanos a la supercifie, el campo tiende a $\dst \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac Q {R^2} = \frac {Q/4 \pi R^2}{\epsilon_0} = \frac \sigma {\epsilon_0}$, o sea que de nuevo tienes un salto discontinuo en el valor del campo igual a $\sigma /\epsilon_0$. El mismo tipo de análisis se puede hacer para una cáscara cilíndrica y para cualquier superficie conductora.

Si lo quieres demostrar en forma general, puedes hacer lo que planteas en tu mensaje: tomar una cajita muy de altura muy pequeña de manera que el flujo lateral sea despreciable:



Llamando $A$ el área de la sección transversal de la cajita tendrás que el flujo vale $\dst - E_{\perp 1} A + E_{\perp 2} A = A \Delta E_\perp = \frac {\sigma A}{\epsilon_0}$, de donde obtienes que $\dst \Delta E_\perp = \frac \sigma {\epsilon_0}$.

Saludos,

Al

[LauraLopez]

Re: potencial en coordenadas esfericas

Arivasm yo no entendi como afirmas que entonces no hay carga en el origen, como llegaste a esa conclusion?