potencial en coordenadas esfericas

[arivasm]

Re: potencial en coordenadas esfericas

Pues también tienes razón en esto. Procedo a corregirlo. A ver si estoy más fino a partir de aquí. Además, estos cambios me desbaratan el plan para interpretar la distribución...

Sobre la divergencia, ciertamente conviene recurrir al gradiente en función de las coordenadas polares.

[LauraLopez]

Re: potencial en coordenadas esfericas

bueno haciendo la divergencia a lo que yo ahora llego es :

Para 0 < r < a

$\dst \nabla . E = \frac{q}{2 \pi \varepsilon r }\left( \frac{1}{r^2 } - \frac{\cos \theta}{6 a^2 }\right)$

Para r > a

$\dst \nabla . E = \frac{5q a \cos\theta}{6 \pi \varepsilon r^4 }$

Coincidimos?

[arivasm]

Re: potencial en coordenadas esfericas

Sí, y es un resultado bastante feo, que no da demasiado juego para sacar conclusiones. Francamente, confiaba en que la divergencia fuese nula para r>a, pues permitiría concluir que se trataba de una esfera cargada con una distribución peculiar. Tal como es este resultado resulta que tenemos todo el espacio lleno de carga, eso sí, decayendo rápidamente en valor a medida que aumenta r.

No sé... ¿Estás segura de que el enunciado es como lo has puesto?. En concreto, me extraña la forma que tiene para r>a.

[LauraLopez]

Re: potencial en coordenadas esfericas

si....revise y el enunciado esta correcto pero bueno capaz fue un error de enunciado nose...vos decis que no hay mucha informacion como para poder decir que distribucion de cargas lo produjeron? De ultima lo dejo ahi el ejercicio lo importante mas que nada tambien era saber que con la divergencia se llegaba a esa respuesta y luego el inciso b se puede hacer?

[arivasm]

Re: potencial en coordenadas esfericas

Mmmm... Es una petición extraña. Está claro que podemos determinar la densidad *volúmica* de carga en r=a sin más que hacer la substitución y tener $\rho(a,\theta)$. Pero eso no será una densidad *superficial*. Es decir, sólo tiene sentido hablar de densidad superficial si la carga está distribuida sobre una superficie (o agrupada en un volumen pero en el que hay una dimensión transversal despreciable frente a las demás), pero aquí la tenemos por todo el espacio! En resumen, no le veo sentido a la pregunta, al menos, tal como es el resultado. Quizá algún amigo/a del foro pueda aportar algo al respecto.

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¡¡¡Mil rayos!!!! Creo que ya sé qué es lo que estamos haciendo mal: ¡no son coordenadas polares! (es decir, cilíndricas), sino *coordenadas esféricas*. Por tanto, tenemos que usar:

$\dst\vec\nabla V=\frac{\partial V}{\partial r}\hat{e}_r+\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial \theta}\hat{e}_\theta+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial V}{\partial \varphi}\hat{e}_\varphi$
$\dst\vec\nabla\vec E=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2 E_r)+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}(\sin\theta E_\theta)+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial E_\varphi}{\partial \varphi}$

Como ves, no cambiará el campo, pero sí la densidad de carga. Voy a probar...

[LauraLopez]

Re: potencial en coordenadas esfericas

porque la divergencia del campo es asi? y la del potencial es distinta? o sea son distintas formulas? no puedo calcular la divergencia del campo con la formula al estilo de la del potencial? o porque tiene q ser asi como indicaste?

[arivasm]

Re: potencial en coordenadas esfericas

En esta tabla tienes el operador nabla en diferentes sistemas de coordenadas y su aplicación al cálculo del gradiente y de la divergencia, entre otros. La razón por la que no es, aparentemente, lo mismo está en los vectores unitarios según las coordenadas, aunque se puede expresar de otra manera mediante los llamados factores de escala. Puedes encontrar una explicación detallada en esta página (mira también la segunda parte). Usualmente, los matemáticos recurren a un enfoque diferente, basado en la matriz de cambio de sistema de coordenadas y su jacobiano, pero quizá prefieras algo menos formal, como la entrada anterior.

[LauraLopez]

Re: potencial en coordenadas esfericas

ahh es porque son 2 operaciones distintas? en el primer caso calculo el gradiente y en el segundo la divergencia? pasa que como esta el mismo simbolo no los diferencie..es por eso?

Ahora intento hacer la divergencia esa y veo a que llego

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Al calcular la divergencia llego a :

$\dst \nabla E = - \frac{qa \cos \theta}{6 \pi \varepsilon a^2r }$ para 0 < r < a

y para r > a me da cero

[arivasm]

Re: potencial en coordenadas esfericas

Ya sabes que a veces no estoy muy fino. Yo encuentro algo diferente: obtengo una divergencia nula tanto dentro como fuera, lo que daría pleno sentido a que a continuación te hagan preguntas sobre la densidad superficial de carga en r=a. Es decir, se trataría de un cascarón esférico, cuya carga no está distribuida uniformemente.

[LauraLopez]

Re: potencial en coordenadas esfericas

tenes razon! ahi vi mi error bueno entonces en ambos casos da nulo! con lo cual $\rho = 0$ entonces ahroa cuando me pregunta que distribuciones de carga lo producen??

La respuesta es un cascaron esferico? mi gran duda es como sabes esto? y ademas entre tanta matematica de por medio me perdi un poco en la idea fisica de porque este procedimiento que llega a encontrar $\rho$ apunta a la solucion a la pregunta....

Ademas en el inciso b pregunta por densidad superficial de carga, y nosotros encontramos la densidad volumetrica de carga... esto no importa? si la densidad dio cero significa que la densidad superficial de carga en r=a es cero?

[arivasm]

Re: potencial en coordenadas esfericas

La divergencia que hemos calculado es válida para $0<r<a$, así como para $r>a$, pero no para $r=0$, donde el potencial no está definido, ni para $r=a$, donde el potencial es una función no derivable, pues, aunque es continuo, su derivada (gradiente) no es la misma "por dentro" que "por fuera" (por usar una analogía con "por la derecha" y "por la izquierda" en las funciones de una variable). Así pues, como hay campo y la densidad de carga es nula en todas partes, sólo nos cabe una posibilidad: que haya carga en r=0 y/o en la esfera de radio r=a.

El que la densidad volumétrica nos haya dado cero en todas partes no significa que la densidad superficial de carga lo sea. Para entenderlo, permíteme que pensemos en un folio (hipotético) cuyo grosor fuese absolutamente nulo: tendría una densidad superficial de masa (g/m^2), pero no podríamos hablar de una volúmica (g/m^3), porque su volumen es nulo (con lo que ésta última sería infinita en el folio y nula fuera de él).

Mi problema ahora es que, al menos de momento, no se me ocurre cómo determinar la función $\sigma(\theta)$, a partir del potencial o del campo, o vete a ver de qué. Me gustaría conocer la opinión al respecto de algunos de nuestros doctos y buenos amigos.

[LauraLopez]

Re: potencial en coordenadas esfericas

me cuesta verlo...o sea que no haya densidad volumetrica en esos puntos (todos menos cero y a) implica que no hay carga en esos puntos, pero sin embargo hay campo electrico asi que en algun lado tiene que haber carga asi que las opciones son que la carga este en r=0 o en r=a no?

Si supones que la carga esta en r=a entonces la distribucion de carga que produce el campo tendra forma esferica y como sabes que es una esfera hueca? y no maciza?

[arivasm]

Re: potencial en coordenadas esfericas

No, no. El que no haya densidad volumétrica en ninguna parte significa que no podrá haber carga distribuida en volúmenes, pero sí podrá haberla en superficies, hilos o puntos. Lo de que debe ser en r=0 o en r=a es porque hemos encontrado que en el resto de los puntos no hay carga!. Sobre lo de la esfera, por supuesto cuando digo hueca me refiero a "eléctricamente hueca", pues encontramos que no hay carga en 0<r<a

[LauraLopez]

Re: potencial en coordenadas esfericas

creo que sigo sin entender cual es la pregunta...me quiere preguntar como esta distribuida la carga que genero ese campo no? vos decis que esta distribuida en forma de una esfera hueca? o sea como encontramos que no hay carga en todos esos puntos significa que la carga si o si tendra que estar concentrada toda en r=0 o toda en r=a y como esta en r=a lo hace en forma uniforme formando asi una esfera?

[arivasm]

Re: potencial en coordenadas esfericas

Digamos, en términos poco precisos, que la carga estará en donde no hemos buscado, es decir, en r=a (y esto último significa en la superficie de una esfera) y/o en r=0. Está claro que esta última no puede ser sola, pues entonces el potencial sería un humilde $\dst V=\frac{Q}{4\pi\varepsilon r}$. Sobre la uniformidad de la carga en la superficie de la esfera, también está claro que no lo será, pues si lo fuese el potencial sería así de simple: $\dst V=\frac{Q}{4\pi\varepsilon a}$ para $r<a$ y $\dst V=\frac{Q}{4\pi\varepsilon r}$ para $r>a$.

Le he dejado un mensaje a Al pidiéndole su opinión y su respuesta, que reproduzco con su permiso (espero) creo que es el camino a seguir:

Por lo que he leído por encima, creo que ya tienen el campo con las excepciones que mencionas de r=0 y r=a. Si además has determinado que no hay carga en el volumen, se me ocurre que podrías determinar la carga en r=0 y en la superficie usando el teorema de Gauss en forma integral. El cálculo de la carga en r=a estimo que se podría hacer restando los campos a ambos lados de la superficie, pues se puede demostrar que cuando existe un campo eléctrico que atraviesa una superficie cargada este resulta discontinuo en una cantidad $\sigma/\epsilon_0$, de manera que creo que se cumple que $\sigma = \epsilon_0 [E_r(a+, \theta, \phi ) - E_r(a-, \theta, \phi )]$.

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Finalmente, siguiendo la línea marcada por Al (gracias, Al ) tengo la respuesta (espero): no hay carga en el origen, y la distribución superficial de carga en la esfera es $\dst\sigma(\theta)=\frac{q}{4\pi a^2}(1-\cos\theta)$.

¡Caramba!, al final ha sido un ejercicio muy bonito!