circuito de segundo orden

[Al2000]

Re: circuito de segundo orden

Warning!: No lo he hecho y no lo voy a hacer, tan solo propongo la idea.

Como son muchos menos nodos que ramas, propongo usar el método de los nodos y escribir las dos ecuaciones:

- Nodo 1: $\dst -I + \frac {v_1}{R_1} + I_L + \frac {v_1 - v_2}{R_4} = 0$

- Nodo 2: $\dst \frac {v_2 - v_1}{R_4} + \frac {v_2}{R_2} + I_C = 0$ con las definiciones ya indicadas por Antonio, $\dst v_1 = L \frac {d I_L}{dt}$ y $\dst I_C = C \frac {d v_2}{dt}$. Derivar la primera para eliminar $I_L$ y despejar de la segunda $v_1$ para eliminarla de la primera (junto con su derivada). Debería llegarse a la misma ecuación.

Saludos,

Al

[arivasm]

Re: circuito de segundo orden

Yo lo plantearía así (seguro que hay otros enfoques): usaré estas intensidades


Las ecuaciones del circuito serían

$$\notcien{5}{-3}=i_1+i_2+i_3$$

$$v_1=1000 i_1$$

$$\dst v_1=1\frac{\dd i_2}{\dd t}$$

$$v_2-v_1=4000 i_3$$

$$v_2=2000 i_4$$

$$i_3=i_4+i_5$$

$$\dst i_5=\notcien{2}{-6}\frac{\dd v_2}{\dd t}$$

Confieso que tengo dudas con el signo menos en (3).

La idea es que tenemos 7 ecuaciones y 7 incógnitas (las 5 intensidades y los dos potenciales). Como queremos quedarnos con uno de éstos, vamos a eliminar las intensidades. Podemos usar directamente (2), (4) y (5):

$$\dst\notcien{5}{-3}=\notcien{1}{-3}v_1+i_2+\notcien{2,5}{-4}v_2-\notcien{2,5}{-4}v_1$$

$$\dst v_1=1\frac{\dd i_2}{\dd t}$$

$$\dst \notcien{2,5}{-4}v_2-\notcien{2,5}{-4}v_1=\notcien{5}{-4}v_2+i_5$$

$$\dst i_5=\notcien{2}{-6}\frac{\dd v_2}{\dd t}$$

Está claro que la $i_5$ la podemos eliminar metiendo en juego (7):

$$\dst\notcien{5}{-3}=\notcien{7,5}{-4}v_1+i_2+\notcien{2,5}{-4}v_2$$

$$\dst v_1=1\frac{\dd i_2}{\dd t}$$

$$\dst \notcien{2,5}{-4}v_2-\notcien{2,5}{-4}v_1=\notcien{5}{-4}v_2+\notcien{2}{-6}\frac{\dd v_2}{\dd t}$$

Casi mejor arreglamos la (6b):

$$\dst\notcien{5}{-3}=\notcien{7,5}{-4}v_1+i_2+\notcien{2,5}{-4}v_2$$

$$\dst v_1=1\frac{\dd i_2}{\dd t}$$

$$\dst \notcien{-2,5}{-4}v_2-\notcien{2,5}{-4}v_1=\notcien{2}{-6}\frac{\dd v_2}{\dd t}$$

Ahora viene la clave del problema: ¿cómo sacamos fuera de juego la $i_2$? La única manera es derivar (1a') y substituir (3):

$$\dst 0=\notcien{7,5}{-4}\frac{\dd v_1}{\dd t}+v_1+\notcien{2,5}{-4}\frac{\dd v_2}{\dd t}$$

$$\dst \notcien{-2,5}{-4}v_2-\notcien{2,5}{-4}v_1=\notcien{2}{-6}\frac{\dd v_2}{\dd t}$$

¿Y ahora? Podemos despejar $v_1$ en (6b)

$$v_1=-v_2-\notcien{8}{-3}\frac{\dd v_2}{\dd t}$$

y substituir en (1b). Como en ésta última aparece la derivada de $v_1$ tenemos una ecuación diferencial de segundo orden:

$$\dst -\notcien{7,5}{-4}\frac{\dd v_2}{\dd t}-\notcien{6}{-6}\frac{\dd^2 v_2}{\dd t^2}-v_2-\notcien{8}{-3}\frac{\dd v_2}{\dd t}+\notcien{2,5}{-4}\frac{\dd v_2}{\dd t}=0$$

Es muy posible que me haya equivocado, sobre todo tecleando valores. Quédate con la idea.

[LauraLopez]

Re: circuito de segundo orden

La unica ecuacion que se me ocurre hacer es aplicar analisis nodal a v1 que llego a :

$\dst (1 + 1 + \frac{1}{ 4}) v_1 - \frac{1}{4 } v_2 = 5$

esta ecuacion esta bien?

que mas puedo hacer despues?

[arivasm]

Re: circuito de segundo orden

Escribe tus ecuaciones para el circuito y lo vemos.

[LauraLopez]

Re: circuito de segundo orden

mmm sigo sin comprender cual es el proceso o metodologia a seguir para resolver el ejercicio no se que hacer

- - - Actualizado - - -

que significa encontrar una ecuacion diferencial de segundo orden que se satisfaga para v_1?

[arivasm]

Re: circuito de segundo orden

La idea es que el comportamiento del condensador viene condicionado por $\dst v_C=\frac{Q}{C}$. Como la carga del condensador no es una variable cómoda, preferimos manejar la intensidad de la corriente de carga,

$$\dst I_C=\frac{\dd Q}{\dd t}=C \frac{\dd v_c}{\dd t}$$

Por otra parte, la autoinducción cumple

$$\dst v_L=\frac{\dd I_L}{\dd t}$$

En un circuito con condensador y autoinducción, como el del enunciado, tendríamos entonces que manejar intensidades y sus derivadas, o voltajes y sus derivadas.

Si decidimos manejar intensidades, (2) se nos transforma una integral en los potenciales. Si manejamos sus derivadas, (1) se nos convierte en una segunda derivada.

Quizá la mejor manera de verlo es que plantees las ecuaciones de este circuito que te piden. Comprobarás que sucede lo que te acabo de decir.

[LauraLopez]

A) Escriba una ecuacion diferencial de segundo orden que se satisfaga para v_1

B) Escriba una ecuacion diferencial de segundo orden que se satisfaga para v_2

Alguna ayuda? nose como es la forma de resolverlo

Gracias