Otras carreras corriente en circuito segundo orden

[LauraLopez]

Encuentre i para t > 0 si no hay energia inicial almanecada con R= 2 y $\dst \mu = 2$

Bueno el voltaje que aparece entre los bornes del capacitor inerior es v_1 y la fuente de voltaje dependiente vale $\dst \mu v_1$

Bueno las ecuaciones que planteo son :

aplico KCL:

$\dst \frac{12 - v}{ R} = \frac{v - v_1}{4 } + 4 \frac{d (v - \mu v_1)}{d t }$ (1)

Luego la corriente por la resistencia de 4 ohm y el capacitor inferior es la misma entonces

$\dst \frac{v - v_1}{4 } = 4 \frac{d v_1}{dt }$ (2)

Luego alico KVL a la malla de la derecha que seria :

$\dst \mu v_1 = 8 i$ (3)

Bueno y luego que mas puedo hacer? no veo como con esto puedo llegar a una ecuacion diferencial de segundo orden para la corriente i

Gracias

- - - Actualizado - - -

lo dejo en funcion de R y \mu y lo reemplazo al final por el valor correspondiente porque luego hay otros incisos para distintos valores de mu y R

[arivasm]

Re: corriente en circuito segundo orden

Substituye en (1) y (2) la v_1 que obtienes de (3). Despeja v en la ecuación resultante de la (2) y substituye en (1).

[LauraLopez]

Re: corriente en circuito segundo orden

Bueno uso (3) en (2) y tengo :

$\dst \frac{v}{4 } - \frac{2 i}{\mu } = 4 \frac{d }{dt } \frac{8 i}{\mu }$

$\dst v = \frac{128}{\mu } \frac{d i}{dt } + \frac{8 i}{ \mu}$

y uso (3) en (1) y tengo que

$\dst \frac{12}{R } - \frac{v}{R } = \frac{v}{4 } - \frac{2 i}{\mu } + 4\frac{(v - 8 i)}{dt }$

Usando estas 2 ecuaciones tengo que :

$\dst \frac{12}{R } - \frac{128}{R \mu } \frac{d i}{dt } - \frac{8 i}{R \mu } = \frac{32}{\mu } \frac{d i}{dt } + 4 \frac{d}{dt } \left( \frac{128}{ \mu} \frac{d i}{dt } + \frac{8 i}{\mu } - 8 i \right)$

Entonces tengo 3 incisos , el inciso (a) dice :

R= 2 , $\mu = 2$

Haciendo ese reemplazo tengo que :

$\dst 256 \frac{{d}^{2 } i}{dt } + 32 \frac{d i}{dt } + 2 i = 6$

cuya ecuacion caracteristica es

$\dst 256 s^2 + 32 s + 2 = 6$

- - - Actualizado - - -

encontras algun error? no es media rara esa ecaucion caracteristica? en este caso tengo una respuesta forzada igual a una constante no? o estara mal alguna de mis ecuaciones iniciales?

Las soluciones a esta ecuacion son :

$\dst s_1 = \frac{1}{16 } (-1 - \sqrt{5})$

$\dst s_2 = \frac{1}{16 } (\sqrt{5} - 1)$

muy raro los valores...

$\dst i_n(t) = K_1 {e}^{-s1 t } + K_2 {e}^{-s_2 t }$

esa seria la solucion natural como obtengo K1 y K2 ? solucion forzada hay o no?

[arivasm]

Re: corriente en circuito segundo orden

He intentado revisar las expresiones que pusiste en el primer mensaje, pues antes sólo me centré en el problema de cómo llegar a la ecuación diferencial. Para revisar las ecuaciones que has escrito, ¿a qué has llamado v?. La verdad es que no entiendo la ecuación (1)

[LauraLopez]

Re: corriente en circuito segundo orden

llamo v al voltaje que hay entre la resistencia R y la resistencia de 4 ohm. Entonces en mi ecuacion 1 lo que planteo es que la corriente que circula por la resistencia R es igual a la corriente que circula por la resistencia de 4 + la corriente que circula por el capacitor

[arivasm]

Re: corriente en circuito segundo orden

Sigo sin entender qué es v. Indícame los dos puntos entre los cuales se hace la resta que proporciona v.

[LauraLopez]

Re: corriente en circuito segundo orden

Viste en el dibujo que tengo 2 grandes mallas? la de la izquierda esta formada por una fuente de voltaje, una resistencia, otra ressitencia y un capacitor no?

Bueno mirando esa malla el punto de union de las 2 resistencias es lo que yo llamo v....

[arivasm]

Re: corriente en circuito segundo orden

Tomemos una intensidad hacia arriba en la rama de la izquierda, que se divide en dos en el nodo que dices. Entiendo que la ley de los nodos sería entonces

$\dst \frac{12-v}{R}=\frac{v-v_1}{4}+\frac{1}{4}\frac{\dd(v-v'')}{\dd t}$

son v'' la tensión en el nodo de la parte de arriba de la malla de la derecha, es decir $v''=\mu v_1$.

[LauraLopez]

Re: corriente en circuito segundo orden

porque pones v-12? no seria 12-v ? yo tomo que la corriente va apuntando hacia la derecha o sea en el punto izquierdo de la resistencia R el voltaje es 12 y en el extremo derecho de esa resistencia el voltaje es v .... lo demas si tenemos lo mismo solo que yo puse un 4 y tenes razon de qeu es 1/4

[arivasm]

Re: corriente en circuito segundo orden

Sí, era un error. Es 12-v. Ya lo cambié.

- - - Actualizado - - -

Hay otra diferencia: tú pones v_1 y yo v''=\mu v_1

[LauraLopez]

Re: corriente en circuito segundo orden

si tenes razo eso fue un error de tipeo en esa formula luego en la demas cuentas la use como indicas vos, de momento veo que mi error entonces era poner el 4 el lugar del 1/4 ahi cambio eso y te comento las nuevas dudas

- - - Actualizado - - -

las ecuaciones 2 y 3 las encontras correctas?

[arivasm]

Re: corriente en circuito segundo orden

Hay también la cuestión que puse en la actualización de mi mensaje anterior

[LauraLopez]

Re: corriente en circuito segundo orden

si a eso hacia referencia

- - - Actualizado - - -

Empecemos el ejercicio de nuevo tengo que mis ecuaciones son :

$\dst \frac{12 - v}{R } = \frac{v - v_1}{4 } + \frac{1}{ 4} \frac{d ( v - \mu v_1)}{dt }$ (1)

$\dst \frac{v - v_1}{4 } = \frac{1}{4 } \frac{d v_1}{dt }$ (2)

$\dst v_1 = \frac{8 i}{\mu }$ (3)

Esas son correctas?

[arivasm]

Re: corriente en circuito segundo orden

(2) y (3) son correctas. (1), en resumen, será $\dst \frac{12-v}{R}=\frac{v-v_1}{4}+\frac{1}{4}\frac{\dd(v-\mu v_1)}{\dd t}$

[LauraLopez]

Re: corriente en circuito segundo orden

mi 2 de ahora es correcta no? la (2) de antes era incorrecta porque tenia un 4 en lugar de 1/4

Bueno usando estas ecuaciones corregidas tengo que el inciso (a) me dice R=2 y \mu = 2 reemplazando ahora la ecuacion diferencial a la que llego es :

$\dst \frac{{d}^{2 } i}{d t^2 } + 2 \frac{d i}{dt } + 2 i = 6$

y entonces la ecuacion caracteristica sera:

$\dst s^2 + 2s + 2 = 6$

encuentro las soluciones y luego la solucion natural tentativa sera :

$\dst i_n(t) = K_1 {e}^{- s_1 t } + K_2 {e}^{- s_2 t }$

y ahora como sigo ?