Otras carreras respuesta forzada

[LauraLopez]

Si la respuesta forzada de una excitacion $\dst v_g = f_1(t) + j f_2(t)$ en un circuito es $\dst i(t) = i_1(t) + j i_2(t)$ donde $\dst f_1 , f_2 , i_1 e i_2$ son todas funciones reales, ¿ Cual sera la respuesta a $\dst {v}_{g1 } = - f_1(t)$ ? ¿ A $\dst {v}_{g2 } = 3 f_2(t) + j \left[ f_1(t) - f_2(t)\right]$ ?

ALguna ayuda?

Gracias

[arivasm]

Re: respuesta forzada

Edito: el contenido de este mensaje es incorrecto.

Trataré de ayudar, pero confieso que tengo dudas. Entiendo que la respuesta es proporcional a la excitación, de manera que se cumplirá que $\dst\frac{i}{v_g}=\frac{i_1+j i_2}{f_1+jf_2}$ será una cantidad constante en el circuito (es la inversa de la impedancia del circuito). En consecuencia, la respuesta para $v_{g1}$ sería $\dst -f_1\frac{i_1+j i_2}{f_1+jf_2}=-\frac{f_1}{f_1^2+f_2^2}\left[(f_1i_1+f_2i_2)+j(f_1i_2-f_2i_1)\right]$ y análogamente para $v_{g2}$.

[LauraLopez]

Re: respuesta forzada

entendi muy poco...porque decis que la repuesta es proporcional a la excitacion? si el enunciado me dice que la respuesta es : o sea no depende de v_g esa ecuacion.

Y tampoco comprendo que pasos matematicos haces para obtener esa formula :

[arivasm]

Re: respuesta forzada

Edito: el contenido de este mensaje es inadecuado, pues sólo sería aplicable a un tipo de fuentes complejas muy determinado (las representables mediante $A\ee^{j\omega t}$).

La razón sería el principio de superposición: si duplicas la excitación entonces se duplica la respuesta (en realidad, si multiplicas por k la excitación la respuesta también se multiplica por k); si añades un desfase $\varphi$ a la excitación entonces se añade el mismo desfase a la respuesta. Como añadir un desfase equivale a multiplicar por el número complejo $\ee^{j\varphi}$, esto último significa lo mismo del principio: si la excitación se multiplica por ese complejo, la respuesta también lo hace.

Combinando ambas cosas tenemos que si se multiplica la excitación por una constante compleja cualquiera entonces la respuesta se multiplica por ese mismo complejo.

Es por eso que propongo que la respuesta sea análoga a la de los problemas de proporcionalidad. Del mismo modo que "X es a Y como x es a y" se expresaría como $\dst \frac X Y = \frac x y$ y entonces $\dst y=\frac{Y}{X} x$ en este caso, por ejemplo para $v_{g1}$ la respuesta sería $\dst \frac{i(t)}{v_g(t)}v_{g1}$.

El resto es pura operación con complejos. Así, usé el truco de hacer un cociente de complejos en forma cartesiana multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador.

[LauraLopez]

Re: respuesta forzada

Si queres dejamos las cuentas de numeros para despues, me cuesta mucho seguir tu razonamiento... porque hablas de numeros complejos? si el ejercicio dice que son todas fuentes reales? eso del principio de proporcionalidad es algo que ya estudie? o algo que estudiare mas adelante?

EL enunciado me dice que $\dst v_g = f_1(t) + j f_2(t)$ y que la respuesta a esta v_g es $\dst i(t) = i_1(t) + j i_2(t)$.

Y luego me dice que ahora la v_g cambia y vale $\dst v_g1 = - f_1(t)$ no? entonces lo que tengo que hacer es ahora encontrar la nueva $\dst i(t) =?$ porque no es simplemente entonces $\dst i(t) = - i_1(t)$ ??

Porque esto que digo esta mal? no entiendo como funciona eso que llamas principio de proporcionalidad y como aplicas eso al ejercicio

[arivasm]

Re: respuesta forzada

No dice que las fuentes sean reales, sino que las *funciones* f1, f2, etc son reales.

Tampoco dije principio de proporcionalidad, sino de *superposición*.

[Breogan]

Re: respuesta forzada

Hola:

Si la respuesta forzada de una excitacion $\dst v_g = f_1(t) + j f_2(t)$ en un circuito es $\dst i(t) = i_1(t) + j i_2(t)$ donde $\dst f_1 , f_2 , i_1 e i_2$ son todas funciones reales, ¿ Cual sera la respuesta a $\dst {v}_{g1 } = - f_1(t)$ ? ¿ A $\dst {v}_{g2 } = 3 f_2(t) + j \left[ f_1(t) - f_2(t)\right]$ ?

ALguna ayuda?

Gracias

Quiero aclarar una pequeña sutileza, espero no estar equivocado, pero este problema se resuelve en base a las propiedades de linealidad de la ecuación diferencial de los circuitos RLC, de las cuales la superposición es consecuencia (como dice arivasm).

Si para una excitación v_g(t) tenemos una respuesta i(t) del circuito, escribiendo la ED en forma genérica se cumple que:

$\dst a_2\ \frac {d^2i(t)}{dt^2}+a_1\ \frac {di(t)}{dt}+a_0\ i(t)\ =\ v_g(t)$

reemplazando $i(t)=i_1(t)+j\ i_2(t)$ y $v_g(t)=f_1(t)+j\ f_2(t)$ en la anteiror tenemos:

$\dst a_2\ \frac {d^2 \left[i_1(t)+j\ i_2(t) \right]}{dt^2}+a_1\ \frac {d \left[ i_1(t)+j\ i_2(t)`\right]}{dt}+a_0\ \left[i_1(t)+j\ i_2(t) \right] \ =\ f_1(t)+j\ f_2(t)$

Haciendo las derivadas (teniendo en cuenta que j es un numero) y agrupando:

$\dst \left[ a_2\ \frac {d^2i_1(t)}{dt^2}+a_1\ \frac {di_1(t)}{dt}+ a_0\ i_1(t) \right]$$\dst +j\ \left[ a_2\ \frac {d^2i_2(t)}{dt^2}+a_1\ \frac {di_2(t)}{dt}+a_0\ i_2(t) \right]\ =\ f_1(t)+j\ f_2(t)$

a ambos lados del signo igual tenemos números complejos, y para que dos números complejos sean iguales se debe cumplir que sus partes reales e imaginarias deben ser iguales entre si, es decir que si tenemos dos numeros complejos (genericos) llamados z1 y z2 resulta que:

$z_1\ =\ z_2\ \Leftrightarrow \ Re (z_1)=Re(z_2)\ e \ Im(z_1)=Im(z_2)$

por lo cual tenemos:

$$\dst a_2\ \frac {d^2i_1(t)}{dt^2}+a_1\ \frac {di_1(t)}{dt}+ a_0\ i_1(t) \ =\ f_1(t)$$

$$\dst a_2\ \frac {d^2i_2(t)}{dt^2}+a_1\ \frac {di_2(t)}{dt}+ a_0\ i_2(t) \ =\ f_2(t)$$

Ahora lo que resta es jugar con las ecuaciones (1) y (2), haciendo combinaciones lineales de ellas, para resolver el ejercicio:

Por ejemplo para $\dst {v}_{g2 } = 3 f_2(t) + j \left[ f_1(t) - f_2(t)\right]$, lo que haces es restarle a la ecuación (1) la ecuación (2), a esta resta multiplicarla por j, y al resultado sumarle la ecuación (2) multiplicada por 3. Después agrupas los diferenciales por orden y vas a poder sacarlos como diferenciales de una combinación lineal de las soluciones i1(t) e i2(t).

Esto es importante por que la linealidad de la ED de los circuitos RLC es lo que hace posible y útil la resolución de los circuitos RLC, con excitaciones armónicas, en el espacio de los números complejos (fasores).

Espero no haberme equivocado y que lo entiendas.

Suerte

[LauraLopez]

Re: respuesta forzada

Gracias Breogan ahi entendi un poco mas, supongo que Arivasm me queria decir lo mismo pero no le lograba entender lo que me queria decir ahora que veo esas cuentas entiendo un poco mas de cual es la metodologia par resolver el ejercicio. La forma que me planteas Arivasm es esa misma? o lo que vos me queres explicar es otra forma distinta de resolverlo? Esta que plantea Breogan me gusta mas porque tiene cuentas que logro comprender

Pero antes de intentar resolverlo entonces creo que deberia saber algunas cosas previas, por ejemplo

1) Cual es la propiedad de linealidad de las ecuaciones diferenciales? o sea cual es esta propiedad? en una propiedad que se enuncia con palabras o tiene una formula asociada? tiene demostracion?

2) Que es la superposicion de la que me hablan? es tambien una propiedad? se enuncia con palabras o tiene una formula asociada esta propiedad?

3) En que momento del ejercicio se aplican estas propiedades? capaz que entendiendo el significado de cada una lo podre ver

[Breogan]

Re: respuesta forzada

Hola:

Primero una aclaración, el desarrollo de mi post anterior es el camino largo y es absolutamente innecesario si se parte del punto de saber que las ED que están involucrados en la solución de los circuitos RLC son lineales.

P.e. el enunciado del ejercicio dice:

Si la excitación es: $\ v_g=f_1(t)+j\ f_2(t)\$ $\ \to\$ la respuesta es: $\ i(t)=i_1(t)+j\ i_2(t)$

Por ser una ED lineal podemos decir que:

Si la excitación es: $\ v_g=f_1(t)\$ $\ \to\$ la respuesta es: $\ i(t)=i_1(t)$

y

Si la excitación es: $\ v_g= f_2(t)\$ $\ \to\$ la respuesta es: $\ i(t)= i_2(t)$

y también como consecuencia de la linealidad sabemos que:

Si la excitación es: $\ v_g=\lambda_1\ f_1(t)+\lambda_2\ f_2(t)\$ $\ \to\$ la respuesta es: $\ i(t)=\lambda_1\ i_1(t)+\lambda_2\ i_2(t)$

Con esto, la resolución del problema es inmediato

1) Cual es la propiedad de linealidad de las ecuaciones diferenciales? o sea cual es esta propiedad? en una propiedad que se enuncia con palabras o tiene una formula asociada? tiene demostracion?

En vez de explicártelo yo, mira este enlace de wiki donde esta explicado en forma sencilla.
http://es.wikipedia.org/wiki/Lineal

2) Que es la superposicion de la que me hablan? es tambien una propiedad? se enuncia con palabras o tiene una formula asociada esta propiedad?

La superposición es consecuencia de la linealidad.

La respuesta de un circuito a una combinación lineal de excitaciones es igual a la misma combinación lineal de las respuestas del circuito a cada excitación tomadas en forma individual.
Esto ya lo aplicaste en algunos ejercicios RLC (creo!), donde tenias varias fuentes de tensión o corriente en un mismo circuito, y para resolverlo hallabas la respuesta del circuito para cada fuente pasivando las restantes, y después sumabas todas las respuestas para obtener el resultado. Esto lo hacias gracias a la linealidad del circuito, y por medio de la superposición.

3) En que momento del ejercicio se aplican estas propiedades? capaz que entendiendo el significado de cada una lo podre ver

Creo que esto quedo explicado al principio del presente post.

Suerte

[LauraLopez]

Re: respuesta forzada

mmm a ver sigo bastante confundida, no comprendo bien que es la propiedad de linealidad, en ese link que me das me lo explica en el contexto de matematica, fisica y electronica con que definicion me tengo que quedar? la linealidad es una propiedad que se explica con palabras o con formulas?

No comprendo la forma esa que planteas donde sacas esas concluisiones y decis que la resolucion es inmediata.....no deberia hacer esas cuentas que pusiste antes de la ecuacion diferencial?

El enunciado nunca menciona que hay linealidad o superposicion....

Se puede resolver de 2 formas entonces? una es la que propones en el post 7 y la otra es la que propones en tu ultimo post ? Si es asi me gustaria hacerlo de las 2 formas porque la que decis que es inmediata no comprendo como la haces... la otra parece mas dificil pero tal vez se entiende un poco mas.

Igualmente primero debo entender esas propiedades que mencionan , saber si tienen formulas asociadas y saber porque son posibles de aplicar aca....la de superposicion creo que la entiendo mas aunque nose porque es es consecuencia de la otra

- - - Actualizado - - -

COmo sabes todas estas cosas que decis?
P.e. el enunciado del ejercicio dice:

Si la excitación es: la respuesta es:

Por ser una ED lineal podemos decir que:

Si la excitación es: la respuesta es:

y

Si la excitación es: la respuesta es:

y también como consecuencia de la linealidad sabemos que:

Si la excitación es: la respuesta es:

- - - Actualizado - - -

Creo que no voy a poder entender como se resuelve el ejercicio sin antes enteder esas propiedades, me gustaria poder escribirme esas 2 propiedades ya sea en forma de palabras o de formulas ( desconozco si son propiedades que tienen formulas asociadas o no ) y entender que significan y porque este ejercicio cumple con esas propiedades.

Segun el link que me pasaste yo diria que :

Propiedad de linealidad :



es esa?

o sea la propiedad de linealidad es esa formula? tiene alguna explicacion con palabras? o sea quiero encontrar una forma de poder entenderlo para que si por ejemplo me preguntan que es la propiedad de lienalidad pueda dar una definicion con palabras y a su vez una formula que represente la propiedad , que creo que es esa formula que puse.
Y un analisis analogo deberia poder hacer con la propiedad de superposicion.
Luego de eso tratar de entender porque en este ejercicio se cumplen estas propiedades.... y finalmente el ultimo paso seria intentar resolver el ejercicio con esas 2 formas que creo que me propones , la que decis que es inmediata y la que usa la ecuacion diferencial

[arivasm]

Re: respuesta forzada

Si la excitación es: $\ v_g=f_1(t)\$ $\ \to\$ la respuesta es: $\ i(t)=i_1(t)$

y

Si la excitación es: $\ v_g= f_2(t)\$ $\ \to\$ la respuesta es: $\ i(t)= i_2(t)$

Esta parte no la veo clara. Por ejemplo, un circuito formado por una fuente de voltaje alterna y un condensador podrá representarse por una excitación real y una respuesta imaginaria pura. Claro que me entran dudas a qué se refieren exactamente con eso de que la respuesta sea imaginaria. Es decir, mi objeción se refiere a que las funciones del enunciado pertenezcan a la representación compleja de las magnitudes.

[Breogan]

Re: respuesta forzada

Hola:

Si la excitación es: la respuesta es:

y

Si la excitación es: la respuesta es:

Esta parte no la veo clara. Por ejemplo, un circuito formado por una fuente de voltaje alterna y un condensador podrá representarse por una excitación real y una respuesta imaginaria pura. Claro que me entran dudas a qué se refieren exactamente con eso de que la respuesta sea imaginaria. Es decir, mi objeción se refiere a que las funciones del enunciado pertenezcan a la representación compleja de las magnitudes.

Perdona pero no entiendo del todo la duda, el problema yo lo interprete, en principio, como echo para que el estudiante vea que por estar tratando con ED lineales es posible aplicar el principio de superposición, en particular ver que una excitación compleja solo es una combinación lineal de excitaciones reales (particular por el uso del numero j, pero combinación lineal al fin). Por lo cual la respuesta a esta excitación compleja, es igual a la combinación lineal (compleja) de las respuestas a cada una de las excitaciones reales que la componen, tomadas en forma independiente.

Esto creo que quedo demostrado en el post 7, donde partiendo de una ED generica de un circuito;


$\dst a_2\ \frac {d^2i(t)}{dt^2}+a_1\ \frac {di(t)}{dt}+a_0\ i(t)\ =\ v_g(t)$

se llega a:

$\dst \left[ a_2\ \frac {d^2i_1(t)}{dt^2}+a_1\ \frac {di_1(t)}{dt}+ a_0\ i_1(t) \right]$$\dst +j\ \left[ a_2\ \frac {d^2i_2(t)}{dt^2}+a_1\ \frac {di_2(t)}{dt}+a_0\ i_2(t) \right]\ =\ f_1(t)+j\ f_2(t)$

y si se toma la igualdad de las partes reales de ambos miembros tenemos la ED usual para un circuito; en base a esto, la linealidad de las ED en estos circuitos, es posible aplicar el análisis fasorial para resolver circuitos eléctricos.
También se puede ver si decimos que i1(t) e i2(t) son las soluciones de la ED para las excitaciones f1(t) y f2(t) respectivamente, y luego hacemos una combinación lineal de las EDs con excitaciones f1(t) y f2(t) y agrupamos aplicando la linealidad.

En cuanto al ejemplo que pones del capacitor y la fuente de tensión, no tengo el training como para darte una respuesta taxativa y que te pueda conformar; pero me parece que tu confusión reside en que los fasores deben satisfacer la ED transformada (independiente de t, que incluye omega y j), y que las representaciones complejas de la excitación y la respuesta (no me acuerdo si se llaman así, pero es la que contiene la dependencia en t) es la que debe satisfacer la ED en el dominio del tiempo.

mmm a ver sigo bastante confundida, no comprendo bien que es la propiedad de linealidad, en ese link que me das me lo explica en el contexto de matematica, fisica y electronica con que definicion me tengo que quedar? la linealidad es una propiedad que se explica con palabras o con formulas?

Propiedad de linealidad :



es esa?

Esta es la definición de linealidad, correcto.

Puede ser que lo entiendas mejor con un ejemplo sencillo. Supone que tenes una resistencia R la cual esta conectada a dos fuentes de tensión continua V1 y V2, todo conectado en serie (la misma corriente circula por los tres componentes.
La corriente que circula por el circuito es:

$\dst i=\frac {v_1+v_2}{R}=\frac{v_1} R+\frac {v_2} R=i_1+i_2$

Se ve claramente que la corriente que circula por la resistencia es igual a la suma de las corrientes que producirían en la resistencia cada fuente en forma independiente pasivando la otra "Superposición"

Si decimos que:

$\dst i=f(v)=\frac v R$

se ve que:

$i=f(v_1+v_2)=f(v_1)+f(v_2)$

de donde se ve que la funcion $\dst f(v)=\frac v R$ es lineal

El enunciado nunca menciona que hay linealidad o superposicion....

Es algo que supuse; dado el contexto de estudio y los ejercicios que estas resolviendo en esta parte, interprete la palabra "circuito" del enunciado como "circuito RLC" para los cuales se sabe que la ED que los representa es lineal.

Se puede resolver de 2 formas entonces? una es la que propones en el post 7 y la otra es la que propones en tu ultimo post ? Si es asi me gustaria hacerlo de las 2 formas porque la que decis que es inmediata no comprendo como la haces... la otra parece mas dificil pero tal vez se entiende un poco mas.

En realidad es la misma forma, la 1º parte del desarrollo del post 7 hasta llegar a las ecuaciones (1) y (2) solo demostre que la ED del circuito es lineal, una vez que sabes esto de una ED se hace innecesario hacer ese desarrollo. La 2º forma que te digo ya parto de saber que la ED es lineal (no tengo que hacer su demostración) y uso las propiedades de la linealidad para resolver el problema.

COmo sabes todas estas cosas que decis?

P.e. el enunciado del ejercicio dice:

Si la excitación es: la respuesta es:

Por ser una ED lineal podemos decir que:

Si la excitación es: la respuesta es:

y

Si la excitación es: la respuesta es:

y también como consecuencia de la linealidad sabemos que:

Si la excitación es: la respuesta es:

Por que ya se que la ED de los circuitos RLC es lineal, todo lo que digo es a partir de ese conocimiento.

Suerte.

[LauraLopez]

Re: respuesta forzada

Esta bien, entonces creo que quiero hacer esa demostracion porque yo no se eso de que las ecuaciones diferenciales son lineales.

Perdoname que insista pero me gustaria poder escribirme una definicion de lo que es la propiedad de linealidad y no logro hacerlo... hasta ahora lo unico que hice fue poner que la propiedad de linealidad es :



y cito esta formula. Me gustaria poder agregar una definicion pero nose como . No se cual es la definicion de la propiedad de linealidad entonces me cuesta mucho entender como sabes si algo cumple o no con esa propiedad porque no conozco la definicion de la propiedad

Ideam para la superposicion, poder agregar una definicion con palabras y luego nose si esta propiedad va a tener alguna formula asociada.

En tus post 7 haces muchas cuentas...pero porque esas cuentas estan demostrando que las ecuaciones diferenciales son lineales?

La forma que propones de resolver el ejercicio asumiendo que hay linealidad me gutaria dejarla para mas adelante porque asumis algo que aun no comprendo...seria mejor que logre ver porque existe esta propiedad en estos circuitos y luego si una vez entendido esto capaz logre entender cual es la metodologia que seguis para resolverlo.

O sea creo que para poder entender y resolver el ejercicio los pasos son :

1) Saber que es la propiedad de linealidad y superposicion
2) Poder demostrar porque este ejercicio cumple con estas propiedades
3) Asumiendo ( gracias al paso 1 y 2) que el circuito cumple con esas propiedades resolver el ejercicio de la forma que propones que aun no comprendo pero la dificiltad debe ser porque aun no puedo hacer los pasos 1 y 2

[Breogan]

Re: respuesta forzada

Hola:

Empecemos por el punto 1. La definición de linealidad no es nada mas que traducir en lenguaje lo que dice la formula matemática, y en el hilo varias veces se ha dado dicha definición.

Empecemos por lo básico, supone que tenes una función que te expresa como varia la la variable y en función de la variable x:

$y=f(x)$

Entonces si tenes un valor x1 para la variable x se cumple:

$y_1=f(x_1)$

y para un valor x2 tendremos:

$y_2=f(x_2)$

si ahora la variable x toma un valor x3 que es combinación lineal de x1 y x2, como:

$x_3=\lambda_1\ x_1+\lambda_2\ x_2$

donde $\lambda_1\ y\ \lambda_2$ son constantes, tenemos que y3 es igual a:

$y_3=f(\lambda_1\ x_1+\lambda_2\ x_2)$

y se pueden dar dos casos:

1º _ Función no lineal

$y_3=f(\lambda_1\ x_1+\lambda_2\ x_2)\neq \lambda_1\ f(x_1)+\lambda_2\ f(x_2)=\lambda_1\ y_1+\lambda_2\ y_2$

2º _ Función lineal

$y_3=f(\lambda_1\ x_1+\lambda_2\ x_2)= \lambda_1\ f(x_1)+\lambda_2\ f(x_2)=\lambda_1\ y_1+\lambda_2\ y_2$

La que nos importa es el caso 2, donde podemos decir que en una función lineal "el valor obtenido para la función por una combinación lineal de valores de la variable es igual a la misma combinación lineal pero de los valores que adquiere la función para cada valor de la variable en forma independiente", mejor no me sale expresarlo; otro forero podrá darte una mejor definición.

Por ultimo, podes analizar las siguientes ecuaciones sencillas, y así hacerte una mejor idea:

$y=a\ x+\ b$ que te adelanto que es lineal

$y=a\ x^2+b$ que es una ecuación no lineal

Por ultimo, y como adelanto para otro post, las derivación cumple con las condiciones de linealidad y de la derivada se dice normalmente que es un operador lineal.

Nota: después que entiendas linealidad pasamos a los otros puntos

Suerte

[LauraLopez]

Re: respuesta forzada

A esto queria llegar! gracias por explicarmelo asi detalladamente, aunque parece un trabalengua es complicada la definicion de la propiedad de linealidad por lo que veo....( no entenderla sino poder explicarla con palabras )

Creo que sigo sin poder armarme una definicion de la propiedad de linealidad que pueda entender... la definicion que vos me das entonces seria :

Propiedad de Linealidad:

La propiedad de linealidad es el valor obtenido para la función por una combinación lineal de valores de la variable es igual a la misma combinación lineal pero de los valores que adquiere la función para cada valor de la variable en forma independiente.
Cuya formula es :



Si no se te ocurre una definicion mejor me tendre que memorizar esta porque a decir verdad me cuesta poder explicarla con otras palabras. Aclaro que insisto mucho en esto porque he visto que en un ejercicio de un examen final tomaron la definicion de esta propiedad

- - - Actualizado - - -

PD : con respecto a la propiedad de supersposicion ( que creo que es lo mismo que el teorema de superposicion ) la podes dejar de lado porque ya en otro hilo Arivasm me ayudo a tener una definicion de la misma asi que este paso 1 consistiria en lograr que mi cabeza testaruda comprenda que es la propiedad de linealidad y logre armarme una definicion