respuesta forzada

[Breogan]

Re: respuesta forzada

Hola:

A la vista del ultimo post de arivasm y revisando mis mensajes anteriores me doy cuenta que en todo lo puesto hay un gran error de fondo. Aunque este error no invalida la linea de razonamiento -las consecuencias de la linealidad de las ecuaciones diferenciales en circuitos RLC siguen siendo las mismas-, cualquier docente, con un cierto grado de exigencia, daria por desaprobado toda la respuesta al problema.

Pido disculpas por el error.

Yendo concretamente al error, este se basa en que las ecuaciones de un circuito RLC son del tipo integro-diferenciales del tipo:


$\dst a_2\ \frac {di(t)}{dt}+a_1\ i(t)+a_0\ \int i(t)\ dt\ =\ v_g(t)$

y si derivamos esta respecto del tiempo obtenemos:

$\dst a_2\ \frac {d^2i(t)}{dt^2}+a_1\ \frac {di(t)}{dt}+a_0\ i(t)\ =\ \frac {dv_g(t)}{dt}$

y no la que yo puse: $\dst {a_2\ \frac {d^2i(t)}{dt^2}+a_1\ \frac {di(t)}{dt}+a_0\ i(t)\ =\ v_g(t)}$

Al final se llega a la misma conclusión (aunque la ED usada primitivamente no sea valida): "la respuesta a una combinación lineal de excitaciones de un circuito RLC, es igual a la misma combinación lineal de las respuestas individuales para cada excitación"


Otra forma de decirlo podría ser:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

entonces:

$\dst v_g(t)=\lambda_1 v_1(t)+\lambda_2 v_2(t) \quad \Rightarrow \quad i(t)=\lambda_1 i_1(t)+\lambda_2 i_2(t)$

En lo inmediato voy a modificar mis post anteriores para que no haya confusiones.

Suerte

PD: solo pude modificar el post Nº 27, ya que en los anteriores no aparece la opción de modificación.

Suerte

[inakigarber]

Re: respuesta forzada

Ahora lo entiendo, la ecuación expresa una magnitud en $\frac{Voltio}{Tiempo}$ y no en voltios como había pensado inicialmente.
Ahora sí que me coinciden las magnitudes. Ya que lo que yo había interpretado es que el resultado de la ecuación se expresaba en voltios. Por eso me salía a_o en ohmios. El resto del post que puse ayer es mas consecuencia de que estaba a punto de caer enbrazos de Morfeo y la mente ya no razonada bien.
Por cierto, el valor de a_o se expresa en $\frac{1}{C}$ ¿No sería lo mismo expresarlo en Henrios? ¿No son L y C valores inversos?
Un saludo.

[arivasm]

Re: respuesta forzada

Ahora que lo comentas, me he dado cuenta de que el lado derecho que ha puesto Breogán debería ser la derivada temporal de la tensión. Esto no invalida el razonamiento, pero sí es una corrección que conviene realizar.

Las $a_i$ ciertamente tienen su origen en las R, L y C del circuito. Sin embargo no lo están en el orden que indicas. Si se escribe la ecuación para un simple RLC vemos que el término del condensador aparecerá una integral y que la transformación de la ecuación integrodiferencial en una ecuación diferencial ordinaria exige su derivada. Por eso en el lado derecho estará la derivada de la tensión de la fuente. En un RLC $a_1=R$, $a_2=L$ y $a_0=1/C$.

[inakigarber]

Re: respuesta forzada

Sigo perdido. No he entendido el significado físico de las siguientes expresiones;
$\dst a_2\ \frac {d^2i(t)}{dt^2}+a_1\ \frac {di(t)}{dt}+a_0\ i(t)\ =\ v_g(t)$
y
$\dst a_2\ \frac {d^2 \left[i_1(t)+j\ i_2(t) \right]}{dt^2}+a_1\ \frac {d \left[ i_1(t)+j\ i_2(t)`\right]}{dt}+a_0\ \left[i_1(t)+j\ i_2(t) \right] \ =\ f_1(t)+j\ f_2(t)$
....

Creo que tras unos días de descanso he entendido el significado de las expresiones. Voy a ver si puedo detallarlos.
$a_o$ expresaría la resistencia en ohmios.
$a_1$ expresaría la autoinducción en henrios.
$a_2$ expresaría la capacidad en Faradios.
Me he basado para ello en las relaciones $RC=R/L=Tiempo$ que no tuve en cuenta anteriormente.
Aunque de momento hay cosas que se me han quedado atascadas creo que la explicación de Breogan aclara bastante las cosas. Por lo referente al enunciado reconozco me ha teniendo bastante confundido.
Un saludo.
p.d. No estoy muy seguro de lo que he puesto. Lo mirare mañana.

[arivasm]

Re: respuesta forzada

El mejor camino para que entiendas de qué va el problema no es el que pasa por las impedancias, que no dejan de ser consecuencia del planteamiento general al que hace referencia el ejercicio de este hilo, sino por plantear la ecuación diferencial del circuito y resolverla en los diferentes casos que te he propuesto. En definitiva, se trataría de abordarlo de un modo semejante a, por ejemplo, éste: http://forum.lawebdefisica.com/threa...lucion-forzada

[inakigarber]

Re: respuesta forzada

Prueba a plantear la ecuación diferencial del circuito y lo verás con más claridad.

Sigo perdido. No he entendido el significado físico de las siguientes expresiones;
$\dst a_2\ \frac {d^2i(t)}{dt^2}+a_1\ \frac {di(t)}{dt}+a_0\ i(t)\ =\ v_g(t)$
y
$\dst a_2\ \frac {d^2 \left[i_1(t)+j\ i_2(t) \right]}{dt^2}+a_1\ \frac {d \left[ i_1(t)+j\ i_2(t)`\right]}{dt}+a_0\ \left[i_1(t)+j\ i_2(t) \right] \ =\ f_1(t)+j\ f_2(t)$

Lo único que se me ha ocurrido es "jugar" con un circuito serie RC como propone arisvam con valores R=1 ohm y L=1 H he supuesto un valor de tensión de 220 Voltios y una frecuencia de 50 Hz (para así poder calcular una impedancia y una intensidad). Me sale un valor de impedancia $Z=\sqrt{1^2-(2\pi x 50 x 1)}=314.16\Omega$ y una intensidad de $I=\frac{V}{Z}=0,7002 Amp$. Como el circuito es serie, la intensidad seria el punto de referencia (angulo cero). La tensión estaría adelantada, según me sale un ángulo de 1.56 radianes. Luego entiendo que en este caso introduzco una tensión de 220 voltios con un angulo de 1.56 radianes y obtengo de respueta una intensidad de 0,7 amperios y 0 radianes. Entiendo que si cambio los valores de módulo y ángulo de la tensión varare los valores de módulo y ángulo de la intensidad resultante. Pero creo que esto no es lo que se pedía y que no lo he entendido.
Un saludo.

[Breogan]

Re: respuesta forzada

Hola:

Como de costumbre, arivasm hace un ejercicio natural y fluido de el explicar las cosas, interpretando mejor que yo lo que puse en mis post.

Para Laura: si ya entendiste el problema deja de lado el presente, el presente es en su mayoría un intento de profundizar un poco mas en el tema (un divague), que no deja de generarme varias dudas.

El término "lineal" tiene varias acepciones. Una de ellas es en relación con función lineal, o función que respeta las combinaciones lineales. Es decir, si tenemos una función de un variable $f(x)$, decimos que es una función lineal si se cumple que $f(\alpha x_1+\beta x_2)=\alpha f(x_1)+\beta f(x_2)$.

Una acepción similar a la anterior se refiere la propiedad de linealidad que tienen algunos operadores, entre los cuales se encuentran los de derivación. Un operador $\hat D$ es lineal si al actuar sobre una combinación lineal de funciones el resultado es la misma combinación lineal de las aplicaciones de ese operador sobre las funciones, es decir, $\hat D[\alpha f(x)+\beta g(x)]=\alpha\hat D [f(x)]+\beta\hat D[g(x)]$.

Precisamente es ésta la linealidad a la que hizo referencia Breogán en sus mensajes: la derivada n-sima de una combinación lineal de funciones es igual a la combinación linea de las derivadas n-simas de esas funciones. En particular, él lo aplicó a la idea de que $\dst\frac{\dd^n}{\dd t^n}[i_1(t)+j i_2(t)]=\frac{\dd^n i_1(t)}{\dd t^n}+j \frac{\dd^n i_2(t)}{\dd t^n}$.

Si esto se lleva a un operador más largo de la forma $\dst \hat L=a_2\frac{\dd^2}{\dd t^2}+a_1\frac{\dd}{\dd t}+a_0\cdot$, donde los coeficientes $a_i$ son constantes, es inmediato ver que también este operador será lineal, de manera que $\hat L[i_1(t)+j i_2(t)]=\hat L i_1+j\hat L i_2$.

El razonamiento de Breogán se puede resumir en algo como esto: cualquier circuito constituido por una fuente de voltaje $v$ y elementos pasivos se corresponderá con cierta ecuación diferencial $\dst a_2\frac{\dd^2 i}{\dd t^2}+a_1\frac{\dd i}{\dd t}+a_0\cdot i=v$, donde los coeficientes complejos dependerán de la disposición de los elementos en el circuito. Como el operador que aparece en la ecuación, $\dst \hat L=a_2\frac{\dd^2}{\dd t^2}+a_1\frac{\dd}{\dd t}+a_0\cdot$ es lineal, si la respuesta es expresable como cierta combinación lineal $i=i_1+j i_2$ entonces la fuente deberá expresarse mediante la misma combinación lineal $\hat L[i_1]+j\hat L[i_2]=f_1+jf_2$. Teniendo en cuenta que el enunciado determina el carácter real de las $i_i$ y $f_i$ la conclusión es que $f_1$ es la fuente cuya respuesta es $i_1$ y que $f_2$ es la fuente cuya respuesta es $i_2$.

La solución al ejercicio es, por tanto, aplicar a las respuestas las mismas combinaciones lineales que se hagan con las fuentes. Por tanto, la respuesta que, por ejemplo, corresponderá a $3 f_2(t) + j \left[ f_1(t) - f_2(t)\right]$ será, necesariamente, $3 i_2(t) + j \left[ i_1(t) - i_2(t)\right]$.

Como dijo arivasm, yo interprete del enunciado del problema que se estaba hablando de una sola fuente, lo cual estaría representado por el siguiente dibujo:

Donde, tal cual la nomenclatura de arivasm, $\hat L$ es el operador diferencial del circuito RLC, y $Y(\omega)$ es la admitancia del circuito, el cual esta representado dentro de una caja. La ecuacion integro-diferencial de este circuito es:

$\dst a_2 \frac {di(t)}{dt}+a_1 i(t)+a_0 \int i(t) \ dt=v_g(t)$

de la cual, por medio de la derivacion respecto del tiempo, obtenemos la ED para un circuito RLC:

$\dst a_2 \frac {d^2 i(t)}{dt^2}+a_1 \frac {d i(t)}{dt}+a_0\ i(t)=\frac {d v_g(t)}{dt}$

Entonces podemos definir ad hoc un operador diferencial $\hat L$ para un circuito RLC de la forma:

$\dst \hat L=a_2 \frac {d^2}{dt^2}+a_1 \frac {d}{dt}+a_0$

y

$\dst \hat L\ \left[ i(t) \right]=\frac {dv(t)}{dt}$

Pero la admitancia solo es definible para un tipo particular de excitación (autofunciones del operador diferencial???), de la forma:

$v(t)=V\ F(t)\$ $\ \Rightarrow\$ $\ i(t)=I\ F(t)\$

y $F( t)$ debe cumplir que $\ \dst \frac {dF(t)}{dt}=\alpha F(t)$

Si es definible la admitancia, y esta tiene el mismo valor para todas las funciones de la excitación sería aplicable el criterio de proporcionalidad que propuso arivasm en otro post.

Si $i_1(t)=Yv_1(t)$ e $i_2(t)=Yv_2(t)$

sumandolas queda:

$i_1(t)+i_2(t)=Yv_1(t)+Yv_2(t)$

con lo cual se llega a:

$\dst \frac {i_1(t)}{v_1(t)}=\frac {i_2(t)}{v_2(t)}=\frac {i_1(t)+i_2(t)}{v_1(t)+v_2(t)}$

En general no es definible la función admitancia para cualquier tipo de funcion de excitación (salvo desarrollo en series de Fourier como dijo arivasm, pero en este caso también la admitancia es función de la frecuencia de la armónica de que se trate).

Para tratar un caso genérico, valido para todos los tipos de funciones, se debe operar con la ED del circuito, cosa hecha a continuación.

Si tenemos dos excitaciones que llamamos v1(t) y v2(t) que individualmente generan las respuestas que llamaremos i1(t) e i2(t), es decir que cumplen individualmente que:

$$\dst \hat L \left[ i_1(t) \right]=\frac {dv_1(t)}{dt}$$

y

$$\dst \hat L \left[ i_2(t) \right]=\frac {dv_2(t)}{dt}$$

Si ahora aplicamos al circuito una excitación $v(t)= \lambda_1 v_1(t)+\lambda_2 v_2(t)$, que generara una respuesta i(t) se debe cumplir que:

$\dst \hat L \left[ i(t) \right]=\frac {dv(t)}{dt}$

$\dst \hat L \left[ i(t) \right]=\frac {d \left[\lambda_1 v_1(t)+\lambda_2 v_2(t) \right]}{dt}$

$\dst \hat L \left[ i(t) \right]=\lambda_1 \frac {dv_1(t)}{dt}+\lambda_2 \frac {dv_2(t)}{dt}$

reemplazando (1) y (2) en la anterior:

$\hat L \left[ i(t) \right]=\lambda_1 \hat L \left[ i_1(t) \right]+\lambda_2 \hat L \left[ i_2(t) \right]$

y como el operador $\hat L$ es lineal podemos agrupar:

$\hat L \left[ i(t) \right]=\hat L \left[\lambda_1 i_1(t)+\lambda_2 i_2(t) \right]$

y de esta ultima se ve que:

$i(t)=\lambda_1 i_1(t)+\lambda_2 i_2(t)$

Con esto queda demostrado que si la excitación es de la forma:

$v(t)= \lambda_1 v_1(t)+\lambda_2 v_2(t)$

la respuesta sera de la forma:

$i(t)=\lambda_1 i_1(t)+\lambda_2 i_2(t)$

si se cumple que:

$\hat L \left[ i_1(t) \right]=v_1(t)$

y

$\hat L \left[ i_2(t) \right]=v_2(t)$

Disculpen el choclo, saque muchas partes y todavía me queda una parte pendiente.

Suerte

Lo que me queda pendiente es lo referido a la siguiente figura, que creo que es la interpretación hecha por arivasm del enunciado del problema

con la cual tengo varias cosas pendientes.

Suerte

[arivasm]

Re: respuesta forzada

Prueba a plantear la ecuación diferencial del circuito y lo verás con más claridad.

[inakigarber]

Re: respuesta forzada

Por buscar uno que no sea trivial y tampoco tirarse demasiado de la moto, te propongo un RL con R=1 ohm, L=1 H. Supongamos que la fuente la podemos ajustar a nuestro gusto. Si ponemos en ella $v_g(t)=3\sin t+j\sin 2t$ (unidades SI) tendremos cierta respuesta $i(t)$ que admite ser expresada como $i_1(t)+ji_2(t)$, donde $i_1(t)$ e $i_2(t)$ son funciones reales, es decir, son la parte real e imaginaria, respectivamente, de $i(t)$.

Se trata tener claro que $i_1(t)$ es la respuesta que causa $f_1(t)=3\sin t$ y que $i_2(t)$ es la que causa $f_2(t)=\sin 2t$. Esto no debería ser complicado....

Hasta aquí esta claro. Pero no se si lo tengo tan claro en el apartado siguiente.[FONT=Verdana]

....El ejercicio objeto de este hilo en el fondo nos propone que hagamos las
combinaciones que queramos con las f y que veamos que entonces se producen las
mismas combinaciones con las i. Por ejemplo, la respuesta para
$3f_2(t)+j[f_1(t)-f_2(t)]$, que en nuestro caso es $3\sin<br /> t+j(3\sin t-\sin 2t)$, será $3i_1(t)+j[i_1(t)-i_2(t)]$

Si cambiamos los valores real e imaginario de la función tensión estamos variando el ángulo de dicha tensión y por tanto también el ángulo de la intensidad, con lo cual cambiaremos los valores real e imaginario de dicha función. Esto es lo que se me ocurre. Reconozco que estoy realmente perdido. [/FONT]

[arivasm]

Re: respuesta forzada

¿me podríais poner un ejemplo con un circuito eléctrico concreto?

Por buscar uno que no sea trivial y tampoco tirarse demasiado de la moto, te propongo un RL con R=1 ohm, L=1 H. Supongamos que la fuente la podemos ajustar a nuestro gusto. Si ponemos en ella $v_g(t)=3\sin t+j\sin 2t$ (unidades SI) tendremos cierta respuesta $i(t)$ que admite ser expresada como $i_1(t)+ji_2(t)$, donde $i_1(t)$ e $i_2(t)$ son funciones reales, es decir, son la parte real e imaginaria, respectivamente, de $i(t)$.

Se trata tener claro que $i_1(t)$ es la respuesta que causa $f_1(t)=3\sin t$ y que $i_2(t)$ es la que causa $f_2(t)=\sin 2t$. Esto no debería ser complicado.

El ejercicio objeto de este hilo en el fondo nos propone que hagamos las combinaciones que queramos con las f y que veamos que entonces se producen las mismas combinaciones con las i. Por ejemplo, la respuesta para $3f_2(t)+j[f_1(t)-f_2(t)]$, que en nuestro caso es $3\sin t+j(3\sin t-\sin 2t)$, será $3i_1(t)+j[i_1(t)-i_2(t)]$

[inakigarber]

Re: respuesta forzada

Me alegro de que por fin se hayan aclarado las cosas. Yo no me he enterado aun. Tal vez porque no he dedicado suficiente tiempo al asunto. Para salir de dudas ¿me podríais poner un ejemplo con un circuito eléctrico concreto? Así quizá satisfaga mi curiosidad. Saludos.

[LauraLopez]

Re: respuesta forzada

Gracias a todos por la ayuda , el utlimo post de Arivasm me aclaro bastante las cosas ,al final el ejercicio era mas sencillo de lo que esperaba , era complicado interpretarlo no mas, Breogan es un adelantando intelectual que lo comprendio de entrada

[inakigarber]

Re: respuesta forzada

Habia leido el mensaje 18, pero como habia visto que el post estaba editado hoy, pensaba que estaba corregido. Imagino que se trata de una división de numeros complejos, pero la verdad no he entendido muy bien el enunciado inicial. Me ha pedido ayuda Lauralopez en un mensaje privado, pero creo que poco puedo yo aportarle que no le hayais aportado vosotros. Pero bueno, una vez metido en harina...
Un saludo.

[arivasm]

Re: respuesta forzada

No, Iñaki. Mi respuesta, que citas a través de la referencia al mensaje de Laura, no era correcta, como explico en el mensaje #18.

[inakigarber]

Re: respuesta forzada

entendi muy poco...porque decis que la repuesta es proporcional a la excitacion? si el enunciado me dice que la respuesta es : o sea no depende de v_g esa ecuacion.

Y tampoco comprendo que pasos matematicos haces para obtener esa formula :

Yo tampoco, pero salseando por internet he encontrado este enalce. http://www.ditutor.com/numeros_compl...complejos.html
Se llega a la misma conclusión que arisvam.

De todos modos, el enunciado inicial del problema no lo entiendo muy bien.