respuesta forzada

[arivasm]

Re: respuesta forzada

En primer lugar comentaré que he modificado la mayoría de mis mensajes anteriores, pues la respuesta correcta es la que indicó en su momento Breogán.

Permitidme que recoja aquí cuál ha sido la fuente de mi error, por si es de utilidad para alguien más.

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El término "lineal" tiene varias acepciones. Una de ellas es en relación con función lineal, o función que respeta las combinaciones lineales. Es decir, si tenemos una función de un variable $f(x)$, decimos que es una función lineal si se cumple que $f(\alpha x_1+\beta x_2)=\alpha f(x_1)+\beta f(x_2)$.

Una acepción similar a la anterior se refiere la propiedad de linealidad que tienen algunos operadores, entre los cuales se encuentran los de derivación. Un operador $\hat D$ es lineal si al actuar sobre una combinación lineal de funciones el resultado es la misma combinación lineal de las aplicaciones de ese operador sobre las funciones, es decir, $\hat D[\alpha f(x)+\beta g(x)]=\alpha\hat D [f(x)]+\beta\hat D[g(x)]$.

Precisamente es ésta la linealidad a la que hizo referencia Breogán en sus mensajes: la derivada n-sima de una combinación lineal de funciones es igual a la combinación linea de las derivadas n-simas de esas funciones. En particular, él lo aplicó a la idea de que $\dst\frac{\dd^n}{\dd t^n}[i_1(t)+j i_2(t)]=\frac{\dd^n i_1(t)}{\dd t^n}+j \frac{\dd^n i_2(t)}{\dd t^n}$.

Si esto se lleva a un operador más largo de la forma $\dst \hat L=a_2\frac{\dd^2}{\dd t^2}+a_1\frac{\dd}{\dd t}+a_0\cdot$, donde los coeficientes $a_i$ son constantes, es inmediato ver que también este operador será lineal, de manera que $\hat L[i_1(t)+j i_2(t)]=\hat L i_1+j\hat L i_2$.

El razonamiento de Breogán se puede resumir en algo como esto: cualquier circuito constituido por una fuente de voltaje $v$ y elementos pasivos se corresponderá con cierta ecuación diferencial $\dst a_2\frac{\dd^2 i}{\dd t^2}+a_1\frac{\dd i}{\dd t}+a_0\cdot i=v$, donde los coeficientes complejos dependerán de la disposición de los elementos en el circuito. Como el operador que aparece en la ecuación, $\dst \hat L=a_2\frac{\dd^2}{\dd t^2}+a_1\frac{\dd}{\dd t}+a_0\cdot$ es lineal, si la respuesta es expresable como cierta combinación lineal $i=i_1+j i_2$ entonces la fuente deberá expresarse mediante la misma combinación lineal $\hat L[i_1]+j\hat L[i_2]=f_1+jf_2$. Teniendo en cuenta que el enunciado determina el carácter real de las $i_i$ y $f_i$ la conclusión es que $f_1$ es la fuente cuya respuesta es $i_1$ y que $f_2$ es la fuente cuya respuesta es $i_2$.

La solución al ejercicio es, por tanto, aplicar a las respuestas las mismas combinaciones lineales que se hagan con las fuentes. Por tanto, la respuesta que, por ejemplo, corresponderá a $3 f_2(t) + j \left[ f_1(t) - f_2(t)\right]$ será, necesariamente, $3 i_2(t) + j \left[ i_1(t) - i_2(t)\right]$.

-o-o-o-

En mi síntesis de la respuesta de Breogán he destacado en negrita la palabra "una" porque es esencial para el enunciado y porque se me pasó por alto, y fue por ello que intenté atacar el problema desde un punto de vista relacionado con el teorema de superposición y la linealidad con él asociada.

Y aquí comentaré entonces otra de las acepciones que el término lineal tiene en matemáticas: la de aplicación lineal. Una función $f(x_1,x_2,...,x_n)$ es una aplicación lineal si es de la forma $f(x_1,x_2,...,x_n)=a_0+a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n$.

La relación entre este concepto y lo que creí ver (erróneamente) en el ejercicio, era que esta linealidad es uno de los fundamentos del teorema de superposición: la respuesta que produce un conjunto de fuentes es la suma de las respuestas que producen cada una de ellas por separado. El punto de vista (parcialmente incorrecto) que adopté sería de este modo: $f(x_1,x_2,...,x_n)=f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)$, donde cada uno de los sumandos de la derecha, $f(x_i)$, deben entenderse como que en el circuito sólo está presente la fuente cuyo valor es $x_i$.

¿Son estos sumandos proporcionales a los valores de las fuentes? No cabe duda que si una fuente se multiplica por cierto valor también lo hará la respuesta correspondiente. Es por eso que visualicé los sumandos $f(x_i)$ como cantidades de la forma $f(x_i)=a_ix_i$. El problema es que esto simplemente no es verdad, o al menos no es completamente verdadero.

El motivo está en que una fuente no necesariamente es representable mediante un único valor complejo. Ciertamente es una representación muy común en fuentes sinusoidales. También es verdad que el teorema de Fourier nos permite expresar cualquier función como una combinación de fuentes armónicas, y entonces representables cada una mediante un fasor complejo. Pero ése es otro camino y que debería ser advertido meticulosamente a la hora de asignar al sistema un conjunto de fuentes armónicas, que representen las transformadas de Fourier de las fuentes realmente presentes en el circuito.

En definitiva, además de meterme en camisas de once varas al considerar la posibilidad de que hubiese varias fuentes presentes, cuando el enunciado sólo mencionaba una, para aplicarlo al caso del enunciado debería manejar transformadas de Fourier lo que sería un rodeo increíblemente largo y seguramente infructuoso.

No sólo empecé viendo erróneamente el enunciado, sino que además me estaba metiendo a cazar moscas a cañonazos, como se ve muy claramente al analizar la respuesta de Breogán.

-o-o-o-

Hace unos días, Laura me pidió en un PM que revisase su último mensaje de este hilo. Al respecto le diré lo siguiente: olvídate del teorema de superposición, en lo que se refiere a su aplicación a este ejercicio. Ha sido una mala idea mía que no lleva a la solución.

Revisa la respuesta de Breogán, pues es la correcta. La linealidad se refiere simplemente a la respuesta que causa una única fuente: si la respuesta es $i_1$ cuando ésta vale $f_1$, y la respuesta es $i_2$ cuando vale $f_2$, entonces cuando la fuente siga $Af_1+Bf_2$ la respuesta será $Ai_1+Bi_2$ (el motivo está en la linealidad de la ecuación diferencial correspondiente).

En este caso simplemente el enunciado te dice que apliques la idea anterior al caso $A=1$, $B=j$ y que tengas presenete que las $f_i$ y las $i_i$ son reales (lo que permitirá asociar claramente cada $i_i$ con su $f_i$).

Siento haber metido tanto ruido!

[LauraLopez]

Re: respuesta forzada

mmm a ver sigo tratando de entender esta propiedad, si me preguntan " Definir la propiedad de linealidad" la respuesta seria asi ?

Propiedad de linealidad:

La propiedad de linealidad es....nose que decir!!! algo asi como que cuando una funcion esta formada por suma de productos? porque creo que si aparece un cuadrado por ejemplo entonces no estaria definiendo esta propiedad. y como estoy en el contexto de circuitos en vez de decir una funcion deberia decir un voltaje o una corriente formada por suma de productos de voltajes o corrientes?
y la formula que representa esta propiedad es :



No logro dar una definicion formal y que a su vez la pueda entender, lo que digo esta mal ? o esta bien pero no es una definicion formal?

Buscando en internet encontre esto :

Teorema de linealidad:
El teorema de linealidad establece que un circuito es lineal si las ecuaciones que relacionan su excitacion y respuesta son lineales, y viceversa. O sea que en el caso de circuitos lineales siempre es posible expresar una de estas cantidades como una funcion lineal de las demas. En circuitos electricos, un circuito lineal es un circuito que se puede expresar mediante una ecuacion lineal.
Y una ecuacion lineal seria una que cumpla con la formula esta que hablabamos antes :



Esto que se llama teorema de linealidad es lo mismo que la propiedad de linealidad que me quieren explicar no?

Si es asi esta definicion que encontre en internet la entiendo un poco mas.

Y para completar el punto 1 la definicion del principio de superposicion es :

Teorema de Superposicion:

[FONT=sans-serif]Este teorema establece que el efecto que dos o más fuentes tienen sobre una resistencia es igual, a la suma de cada uno de los efectos de cada fuente tomados por separado, sustituyendo todas las fuentes de voltaje restantes por un corto circuito, y todas las fuentes de corriente restantes por un circuito abierto.[/FONT]
[FONT=sans-serif]Por ejemplo, si el voltaje total de un circuito dependiese de dos fuentes de tension:[/FONT]
[FONT=sans-serif]
[/FONT]


Creo que finalmente logre encontrar 2 definiciones de estas 2 propiedades que me nombran consideran que esas definiciones estan bien?

De ser asi ya podria pasar al punto 2 que consiste en saber porque la ecuacion diferencial del circuito de este ejercicio cumple con la propiedad de linealidad.

Si analizo las ecuaciones que Breogan llega en su post 7






diria que no son ecuaciones lineales porque hay terminos al cuadrado..... o debe ser que sigo teniendo mal el concepto de ecuacion lineal.... una ecuacion lineal no seria una ecuacion de la misma forma que tiene una funcion lineal? o sea por ejemplo f= ax +b es una funcion lineal y por ende una ecuacion lineal o no? esas ecuaciones que vos encontraste no se parecen a esa.....

O sea segun yo entiendo la propiedad de linealidad es una propiedad que establece que un circuito es lineal si las ecuaciones que relacionan su excitacion y respuesta son ecuaciones lineales.Y or definicion una ecuacion lineal es una ecuacion que cumple con esta formula :



o creo que tambien estaria bien decir una que cumpla con esta forma : f(x) =ax + b. Esta forma que digo esta mal ? o es equivalmente a la primera formula?

[arivasm]

Re: respuesta forzada

Edito: el contenido de este mensaje es incorrecto, en tanto que no es aplicable al problema que se trata en este hilo. Sólo sería válido manejando varias fuentes de la forma $A_i\ee{j\omega_i t}$.

Yo entiendo la linealidad en este tema de otra manera, seguramente equivalente a la que propone Breogán:

El concepto de linealidad procede de las matemáticas, y lo has manejado cuando estudiaste espacios vectoriales y matrices (las matrices representan transformaciones lineales entre dos espacios vectoriales). Luego trataré de relacionar esto con los problemas que estás haciendo.

Una magnitud $f$ depende linealmente de otras, $x_1, x_2,...$ si la relación es de la forma $f=a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n$, donde los $a_i$ son constantes. En los ejercicios que estás haciendo, si se manejan números complejos dichas constantes son complejas, y lo mismo sucede con las $x$ y los valores de las $f$.

La aplicación a tus problemas es del siguiente modo: en un circuito las $x_i$ serían las características de las fuentes independientes (voltajes o intensidades, según de qué tipo sean). $f$ puede representar a cualquier magnitud eléctrica del circuito (intensidad en una rama, voltaje entre dos puntos cualquiera). El motivo está en que los elementos que manejamos son lineales (aquí significa que el voltaje entre sus extremos es proporcional a la intensidad -la constante de proporcionalidad es la impedancia-) y que las leyes de Kirchhoff son sumas de cantidades.

La relación con lo primero que te he dicho es que si construimos un vector con las intensidades y/o los voltajes (en forma compleja) en el circuito (con todos o sólo unos cuantos que nos interese), éste puede expresarse como el producto de una matriz (de números complejos) y el vector construido con los valores, también en forma compleja, de las fuentes.

[LauraLopez]

Re: respuesta forzada

A esto queria llegar! gracias por explicarmelo asi detalladamente, aunque parece un trabalengua es complicada la definicion de la propiedad de linealidad por lo que veo....( no entenderla sino poder explicarla con palabras )

Creo que sigo sin poder armarme una definicion de la propiedad de linealidad que pueda entender... la definicion que vos me das entonces seria :

Propiedad de Linealidad:

La propiedad de linealidad es el valor obtenido para la función por una combinación lineal de valores de la variable es igual a la misma combinación lineal pero de los valores que adquiere la función para cada valor de la variable en forma independiente.
Cuya formula es :



Si no se te ocurre una definicion mejor me tendre que memorizar esta porque a decir verdad me cuesta poder explicarla con otras palabras. Aclaro que insisto mucho en esto porque he visto que en un ejercicio de un examen final tomaron la definicion de esta propiedad

- - - Actualizado - - -

PD : con respecto a la propiedad de supersposicion ( que creo que es lo mismo que el teorema de superposicion ) la podes dejar de lado porque ya en otro hilo Arivasm me ayudo a tener una definicion de la misma asi que este paso 1 consistiria en lograr que mi cabeza testaruda comprenda que es la propiedad de linealidad y logre armarme una definicion

[Breogan]

Re: respuesta forzada

Hola:

Empecemos por el punto 1. La definición de linealidad no es nada mas que traducir en lenguaje lo que dice la formula matemática, y en el hilo varias veces se ha dado dicha definición.

Empecemos por lo básico, supone que tenes una función que te expresa como varia la la variable y en función de la variable x:

$y=f(x)$

Entonces si tenes un valor x1 para la variable x se cumple:

$y_1=f(x_1)$

y para un valor x2 tendremos:

$y_2=f(x_2)$

si ahora la variable x toma un valor x3 que es combinación lineal de x1 y x2, como:

$x_3=\lambda_1\ x_1+\lambda_2\ x_2$

donde $\lambda_1\ y\ \lambda_2$ son constantes, tenemos que y3 es igual a:

$y_3=f(\lambda_1\ x_1+\lambda_2\ x_2)$

y se pueden dar dos casos:

1º _ Función no lineal

$y_3=f(\lambda_1\ x_1+\lambda_2\ x_2)\neq \lambda_1\ f(x_1)+\lambda_2\ f(x_2)=\lambda_1\ y_1+\lambda_2\ y_2$

2º _ Función lineal

$y_3=f(\lambda_1\ x_1+\lambda_2\ x_2)= \lambda_1\ f(x_1)+\lambda_2\ f(x_2)=\lambda_1\ y_1+\lambda_2\ y_2$

La que nos importa es el caso 2, donde podemos decir que en una función lineal "el valor obtenido para la función por una combinación lineal de valores de la variable es igual a la misma combinación lineal pero de los valores que adquiere la función para cada valor de la variable en forma independiente", mejor no me sale expresarlo; otro forero podrá darte una mejor definición.

Por ultimo, podes analizar las siguientes ecuaciones sencillas, y así hacerte una mejor idea:

$y=a\ x+\ b$ que te adelanto que es lineal

$y=a\ x^2+b$ que es una ecuación no lineal

Por ultimo, y como adelanto para otro post, las derivación cumple con las condiciones de linealidad y de la derivada se dice normalmente que es un operador lineal.

Nota: después que entiendas linealidad pasamos a los otros puntos

Suerte

[LauraLopez]

Re: respuesta forzada

Esta bien, entonces creo que quiero hacer esa demostracion porque yo no se eso de que las ecuaciones diferenciales son lineales.

Perdoname que insista pero me gustaria poder escribirme una definicion de lo que es la propiedad de linealidad y no logro hacerlo... hasta ahora lo unico que hice fue poner que la propiedad de linealidad es :



y cito esta formula. Me gustaria poder agregar una definicion pero nose como . No se cual es la definicion de la propiedad de linealidad entonces me cuesta mucho entender como sabes si algo cumple o no con esa propiedad porque no conozco la definicion de la propiedad

Ideam para la superposicion, poder agregar una definicion con palabras y luego nose si esta propiedad va a tener alguna formula asociada.

En tus post 7 haces muchas cuentas...pero porque esas cuentas estan demostrando que las ecuaciones diferenciales son lineales?

La forma que propones de resolver el ejercicio asumiendo que hay linealidad me gutaria dejarla para mas adelante porque asumis algo que aun no comprendo...seria mejor que logre ver porque existe esta propiedad en estos circuitos y luego si una vez entendido esto capaz logre entender cual es la metodologia que seguis para resolverlo.

O sea creo que para poder entender y resolver el ejercicio los pasos son :

1) Saber que es la propiedad de linealidad y superposicion
2) Poder demostrar porque este ejercicio cumple con estas propiedades
3) Asumiendo ( gracias al paso 1 y 2) que el circuito cumple con esas propiedades resolver el ejercicio de la forma que propones que aun no comprendo pero la dificiltad debe ser porque aun no puedo hacer los pasos 1 y 2

[Breogan]

Re: respuesta forzada

Hola:

Si la excitación es: la respuesta es:

y

Si la excitación es: la respuesta es:

Esta parte no la veo clara. Por ejemplo, un circuito formado por una fuente de voltaje alterna y un condensador podrá representarse por una excitación real y una respuesta imaginaria pura. Claro que me entran dudas a qué se refieren exactamente con eso de que la respuesta sea imaginaria. Es decir, mi objeción se refiere a que las funciones del enunciado pertenezcan a la representación compleja de las magnitudes.

Perdona pero no entiendo del todo la duda, el problema yo lo interprete, en principio, como echo para que el estudiante vea que por estar tratando con ED lineales es posible aplicar el principio de superposición, en particular ver que una excitación compleja solo es una combinación lineal de excitaciones reales (particular por el uso del numero j, pero combinación lineal al fin). Por lo cual la respuesta a esta excitación compleja, es igual a la combinación lineal (compleja) de las respuestas a cada una de las excitaciones reales que la componen, tomadas en forma independiente.

Esto creo que quedo demostrado en el post 7, donde partiendo de una ED generica de un circuito;


$\dst a_2\ \frac {d^2i(t)}{dt^2}+a_1\ \frac {di(t)}{dt}+a_0\ i(t)\ =\ v_g(t)$

se llega a:

$\dst \left[ a_2\ \frac {d^2i_1(t)}{dt^2}+a_1\ \frac {di_1(t)}{dt}+ a_0\ i_1(t) \right]$$\dst +j\ \left[ a_2\ \frac {d^2i_2(t)}{dt^2}+a_1\ \frac {di_2(t)}{dt}+a_0\ i_2(t) \right]\ =\ f_1(t)+j\ f_2(t)$

y si se toma la igualdad de las partes reales de ambos miembros tenemos la ED usual para un circuito; en base a esto, la linealidad de las ED en estos circuitos, es posible aplicar el análisis fasorial para resolver circuitos eléctricos.
También se puede ver si decimos que i1(t) e i2(t) son las soluciones de la ED para las excitaciones f1(t) y f2(t) respectivamente, y luego hacemos una combinación lineal de las EDs con excitaciones f1(t) y f2(t) y agrupamos aplicando la linealidad.

En cuanto al ejemplo que pones del capacitor y la fuente de tensión, no tengo el training como para darte una respuesta taxativa y que te pueda conformar; pero me parece que tu confusión reside en que los fasores deben satisfacer la ED transformada (independiente de t, que incluye omega y j), y que las representaciones complejas de la excitación y la respuesta (no me acuerdo si se llaman así, pero es la que contiene la dependencia en t) es la que debe satisfacer la ED en el dominio del tiempo.

mmm a ver sigo bastante confundida, no comprendo bien que es la propiedad de linealidad, en ese link que me das me lo explica en el contexto de matematica, fisica y electronica con que definicion me tengo que quedar? la linealidad es una propiedad que se explica con palabras o con formulas?

Propiedad de linealidad :



es esa?

Esta es la definición de linealidad, correcto.

Puede ser que lo entiendas mejor con un ejemplo sencillo. Supone que tenes una resistencia R la cual esta conectada a dos fuentes de tensión continua V1 y V2, todo conectado en serie (la misma corriente circula por los tres componentes.
La corriente que circula por el circuito es:

$\dst i=\frac {v_1+v_2}{R}=\frac{v_1} R+\frac {v_2} R=i_1+i_2$

Se ve claramente que la corriente que circula por la resistencia es igual a la suma de las corrientes que producirían en la resistencia cada fuente en forma independiente pasivando la otra "Superposición"

Si decimos que:

$\dst i=f(v)=\frac v R$

se ve que:

$i=f(v_1+v_2)=f(v_1)+f(v_2)$

de donde se ve que la funcion $\dst f(v)=\frac v R$ es lineal

El enunciado nunca menciona que hay linealidad o superposicion....

Es algo que supuse; dado el contexto de estudio y los ejercicios que estas resolviendo en esta parte, interprete la palabra "circuito" del enunciado como "circuito RLC" para los cuales se sabe que la ED que los representa es lineal.

Se puede resolver de 2 formas entonces? una es la que propones en el post 7 y la otra es la que propones en tu ultimo post ? Si es asi me gustaria hacerlo de las 2 formas porque la que decis que es inmediata no comprendo como la haces... la otra parece mas dificil pero tal vez se entiende un poco mas.

En realidad es la misma forma, la 1º parte del desarrollo del post 7 hasta llegar a las ecuaciones (1) y (2) solo demostre que la ED del circuito es lineal, una vez que sabes esto de una ED se hace innecesario hacer ese desarrollo. La 2º forma que te digo ya parto de saber que la ED es lineal (no tengo que hacer su demostración) y uso las propiedades de la linealidad para resolver el problema.

COmo sabes todas estas cosas que decis?

P.e. el enunciado del ejercicio dice:

Si la excitación es: la respuesta es:

Por ser una ED lineal podemos decir que:

Si la excitación es: la respuesta es:

y

Si la excitación es: la respuesta es:

y también como consecuencia de la linealidad sabemos que:

Si la excitación es: la respuesta es:

Por que ya se que la ED de los circuitos RLC es lineal, todo lo que digo es a partir de ese conocimiento.

Suerte.

[arivasm]

Re: respuesta forzada

Si la excitación es: $\ v_g=f_1(t)\$ $\ \to\$ la respuesta es: $\ i(t)=i_1(t)$

y

Si la excitación es: $\ v_g= f_2(t)\$ $\ \to\$ la respuesta es: $\ i(t)= i_2(t)$

Esta parte no la veo clara. Por ejemplo, un circuito formado por una fuente de voltaje alterna y un condensador podrá representarse por una excitación real y una respuesta imaginaria pura. Claro que me entran dudas a qué se refieren exactamente con eso de que la respuesta sea imaginaria. Es decir, mi objeción se refiere a que las funciones del enunciado pertenezcan a la representación compleja de las magnitudes.

[LauraLopez]

Re: respuesta forzada

mmm a ver sigo bastante confundida, no comprendo bien que es la propiedad de linealidad, en ese link que me das me lo explica en el contexto de matematica, fisica y electronica con que definicion me tengo que quedar? la linealidad es una propiedad que se explica con palabras o con formulas?

No comprendo la forma esa que planteas donde sacas esas concluisiones y decis que la resolucion es inmediata.....no deberia hacer esas cuentas que pusiste antes de la ecuacion diferencial?

El enunciado nunca menciona que hay linealidad o superposicion....

Se puede resolver de 2 formas entonces? una es la que propones en el post 7 y la otra es la que propones en tu ultimo post ? Si es asi me gustaria hacerlo de las 2 formas porque la que decis que es inmediata no comprendo como la haces... la otra parece mas dificil pero tal vez se entiende un poco mas.

Igualmente primero debo entender esas propiedades que mencionan , saber si tienen formulas asociadas y saber porque son posibles de aplicar aca....la de superposicion creo que la entiendo mas aunque nose porque es es consecuencia de la otra

- - - Actualizado - - -

COmo sabes todas estas cosas que decis?
P.e. el enunciado del ejercicio dice:

Si la excitación es: la respuesta es:

Por ser una ED lineal podemos decir que:

Si la excitación es: la respuesta es:

y

Si la excitación es: la respuesta es:

y también como consecuencia de la linealidad sabemos que:

Si la excitación es: la respuesta es:

- - - Actualizado - - -

Creo que no voy a poder entender como se resuelve el ejercicio sin antes enteder esas propiedades, me gustaria poder escribirme esas 2 propiedades ya sea en forma de palabras o de formulas ( desconozco si son propiedades que tienen formulas asociadas o no ) y entender que significan y porque este ejercicio cumple con esas propiedades.

Segun el link que me pasaste yo diria que :

Propiedad de linealidad :



es esa?

o sea la propiedad de linealidad es esa formula? tiene alguna explicacion con palabras? o sea quiero encontrar una forma de poder entenderlo para que si por ejemplo me preguntan que es la propiedad de lienalidad pueda dar una definicion con palabras y a su vez una formula que represente la propiedad , que creo que es esa formula que puse.
Y un analisis analogo deberia poder hacer con la propiedad de superposicion.
Luego de eso tratar de entender porque en este ejercicio se cumplen estas propiedades.... y finalmente el ultimo paso seria intentar resolver el ejercicio con esas 2 formas que creo que me propones , la que decis que es inmediata y la que usa la ecuacion diferencial

[Breogan]

Re: respuesta forzada

Hola:

Primero una aclaración, el desarrollo de mi post anterior es el camino largo y es absolutamente innecesario si se parte del punto de saber que las ED que están involucrados en la solución de los circuitos RLC son lineales.

P.e. el enunciado del ejercicio dice:

Si la excitación es: $\ v_g=f_1(t)+j\ f_2(t)\$ $\ \to\$ la respuesta es: $\ i(t)=i_1(t)+j\ i_2(t)$

Por ser una ED lineal podemos decir que:

Si la excitación es: $\ v_g=f_1(t)\$ $\ \to\$ la respuesta es: $\ i(t)=i_1(t)$

y

Si la excitación es: $\ v_g= f_2(t)\$ $\ \to\$ la respuesta es: $\ i(t)= i_2(t)$

y también como consecuencia de la linealidad sabemos que:

Si la excitación es: $\ v_g=\lambda_1\ f_1(t)+\lambda_2\ f_2(t)\$ $\ \to\$ la respuesta es: $\ i(t)=\lambda_1\ i_1(t)+\lambda_2\ i_2(t)$

Con esto, la resolución del problema es inmediato

1) Cual es la propiedad de linealidad de las ecuaciones diferenciales? o sea cual es esta propiedad? en una propiedad que se enuncia con palabras o tiene una formula asociada? tiene demostracion?

En vez de explicártelo yo, mira este enlace de wiki donde esta explicado en forma sencilla.
http://es.wikipedia.org/wiki/Lineal

2) Que es la superposicion de la que me hablan? es tambien una propiedad? se enuncia con palabras o tiene una formula asociada esta propiedad?

La superposición es consecuencia de la linealidad.

La respuesta de un circuito a una combinación lineal de excitaciones es igual a la misma combinación lineal de las respuestas del circuito a cada excitación tomadas en forma individual.
Esto ya lo aplicaste en algunos ejercicios RLC (creo!), donde tenias varias fuentes de tensión o corriente en un mismo circuito, y para resolverlo hallabas la respuesta del circuito para cada fuente pasivando las restantes, y después sumabas todas las respuestas para obtener el resultado. Esto lo hacias gracias a la linealidad del circuito, y por medio de la superposición.

3) En que momento del ejercicio se aplican estas propiedades? capaz que entendiendo el significado de cada una lo podre ver

Creo que esto quedo explicado al principio del presente post.

Suerte

[LauraLopez]

Re: respuesta forzada

Gracias Breogan ahi entendi un poco mas, supongo que Arivasm me queria decir lo mismo pero no le lograba entender lo que me queria decir ahora que veo esas cuentas entiendo un poco mas de cual es la metodologia par resolver el ejercicio. La forma que me planteas Arivasm es esa misma? o lo que vos me queres explicar es otra forma distinta de resolverlo? Esta que plantea Breogan me gusta mas porque tiene cuentas que logro comprender

Pero antes de intentar resolverlo entonces creo que deberia saber algunas cosas previas, por ejemplo

1) Cual es la propiedad de linealidad de las ecuaciones diferenciales? o sea cual es esta propiedad? en una propiedad que se enuncia con palabras o tiene una formula asociada? tiene demostracion?

2) Que es la superposicion de la que me hablan? es tambien una propiedad? se enuncia con palabras o tiene una formula asociada esta propiedad?

3) En que momento del ejercicio se aplican estas propiedades? capaz que entendiendo el significado de cada una lo podre ver

[Breogan]

Re: respuesta forzada

Hola:

Si la respuesta forzada de una excitacion $\dst v_g = f_1(t) + j f_2(t)$ en un circuito es $\dst i(t) = i_1(t) + j i_2(t)$ donde $\dst f_1 , f_2 , i_1 e i_2$ son todas funciones reales, ¿ Cual sera la respuesta a $\dst {v}_{g1 } = - f_1(t)$ ? ¿ A $\dst {v}_{g2 } = 3 f_2(t) + j \left[ f_1(t) - f_2(t)\right]$ ?

ALguna ayuda?

Gracias

Quiero aclarar una pequeña sutileza, espero no estar equivocado, pero este problema se resuelve en base a las propiedades de linealidad de la ecuación diferencial de los circuitos RLC, de las cuales la superposición es consecuencia (como dice arivasm).

Si para una excitación v_g(t) tenemos una respuesta i(t) del circuito, escribiendo la ED en forma genérica se cumple que:

$\dst a_2\ \frac {d^2i(t)}{dt^2}+a_1\ \frac {di(t)}{dt}+a_0\ i(t)\ =\ v_g(t)$

reemplazando $i(t)=i_1(t)+j\ i_2(t)$ y $v_g(t)=f_1(t)+j\ f_2(t)$ en la anteiror tenemos:

$\dst a_2\ \frac {d^2 \left[i_1(t)+j\ i_2(t) \right]}{dt^2}+a_1\ \frac {d \left[ i_1(t)+j\ i_2(t)`\right]}{dt}+a_0\ \left[i_1(t)+j\ i_2(t) \right] \ =\ f_1(t)+j\ f_2(t)$

Haciendo las derivadas (teniendo en cuenta que j es un numero) y agrupando:

$\dst \left[ a_2\ \frac {d^2i_1(t)}{dt^2}+a_1\ \frac {di_1(t)}{dt}+ a_0\ i_1(t) \right]$$\dst +j\ \left[ a_2\ \frac {d^2i_2(t)}{dt^2}+a_1\ \frac {di_2(t)}{dt}+a_0\ i_2(t) \right]\ =\ f_1(t)+j\ f_2(t)$

a ambos lados del signo igual tenemos números complejos, y para que dos números complejos sean iguales se debe cumplir que sus partes reales e imaginarias deben ser iguales entre si, es decir que si tenemos dos numeros complejos (genericos) llamados z1 y z2 resulta que:

$z_1\ =\ z_2\ \Leftrightarrow \ Re (z_1)=Re(z_2)\ e \ Im(z_1)=Im(z_2)$

por lo cual tenemos:

$$\dst a_2\ \frac {d^2i_1(t)}{dt^2}+a_1\ \frac {di_1(t)}{dt}+ a_0\ i_1(t) \ =\ f_1(t)$$

$$\dst a_2\ \frac {d^2i_2(t)}{dt^2}+a_1\ \frac {di_2(t)}{dt}+ a_0\ i_2(t) \ =\ f_2(t)$$

Ahora lo que resta es jugar con las ecuaciones (1) y (2), haciendo combinaciones lineales de ellas, para resolver el ejercicio:

Por ejemplo para $\dst {v}_{g2 } = 3 f_2(t) + j \left[ f_1(t) - f_2(t)\right]$, lo que haces es restarle a la ecuación (1) la ecuación (2), a esta resta multiplicarla por j, y al resultado sumarle la ecuación (2) multiplicada por 3. Después agrupas los diferenciales por orden y vas a poder sacarlos como diferenciales de una combinación lineal de las soluciones i1(t) e i2(t).

Esto es importante por que la linealidad de la ED de los circuitos RLC es lo que hace posible y útil la resolución de los circuitos RLC, con excitaciones armónicas, en el espacio de los números complejos (fasores).

Espero no haberme equivocado y que lo entiendas.

Suerte

[arivasm]

Re: respuesta forzada

No dice que las fuentes sean reales, sino que las *funciones* f1, f2, etc son reales.

Tampoco dije principio de proporcionalidad, sino de *superposición*.

[LauraLopez]

Re: respuesta forzada

Si queres dejamos las cuentas de numeros para despues, me cuesta mucho seguir tu razonamiento... porque hablas de numeros complejos? si el ejercicio dice que son todas fuentes reales? eso del principio de proporcionalidad es algo que ya estudie? o algo que estudiare mas adelante?

EL enunciado me dice que $\dst v_g = f_1(t) + j f_2(t)$ y que la respuesta a esta v_g es $\dst i(t) = i_1(t) + j i_2(t)$.

Y luego me dice que ahora la v_g cambia y vale $\dst v_g1 = - f_1(t)$ no? entonces lo que tengo que hacer es ahora encontrar la nueva $\dst i(t) =?$ porque no es simplemente entonces $\dst i(t) = - i_1(t)$ ??

Porque esto que digo esta mal? no entiendo como funciona eso que llamas principio de proporcionalidad y como aplicas eso al ejercicio

[arivasm]

Re: respuesta forzada

Edito: el contenido de este mensaje es inadecuado, pues sólo sería aplicable a un tipo de fuentes complejas muy determinado (las representables mediante $A\ee^{j\omega t}$).

La razón sería el principio de superposición: si duplicas la excitación entonces se duplica la respuesta (en realidad, si multiplicas por k la excitación la respuesta también se multiplica por k); si añades un desfase $\varphi$ a la excitación entonces se añade el mismo desfase a la respuesta. Como añadir un desfase equivale a multiplicar por el número complejo $\ee^{j\varphi}$, esto último significa lo mismo del principio: si la excitación se multiplica por ese complejo, la respuesta también lo hace.

Combinando ambas cosas tenemos que si se multiplica la excitación por una constante compleja cualquiera entonces la respuesta se multiplica por ese mismo complejo.

Es por eso que propongo que la respuesta sea análoga a la de los problemas de proporcionalidad. Del mismo modo que "X es a Y como x es a y" se expresaría como $\dst \frac X Y = \frac x y$ y entonces $\dst y=\frac{Y}{X} x$ en este caso, por ejemplo para $v_{g1}$ la respuesta sería $\dst \frac{i(t)}{v_g(t)}v_{g1}$.

El resto es pura operación con complejos. Así, usé el truco de hacer un cociente de complejos en forma cartesiana multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador.