respuesta forzada

[arivasm]

Re: respuesta forzada

Edito: el contenido de este mensaje es incorrecto, en tanto que no es aplicable al problema que se trata en este hilo. Sólo sería válido manejando varias fuentes de la forma $A_i\ee{j\omega_i t}$.

Yo entiendo la linealidad en este tema de otra manera, seguramente equivalente a la que propone Breogán:

El concepto de linealidad procede de las matemáticas, y lo has manejado cuando estudiaste espacios vectoriales y matrices (las matrices representan transformaciones lineales entre dos espacios vectoriales). Luego trataré de relacionar esto con los problemas que estás haciendo.

Una magnitud $f$ depende linealmente de otras, $x_1, x_2,...$ si la relación es de la forma $f=a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n$, donde los $a_i$ son constantes. En los ejercicios que estás haciendo, si se manejan números complejos dichas constantes son complejas, y lo mismo sucede con las $x$ y los valores de las $f$.

La aplicación a tus problemas es del siguiente modo: en un circuito las $x_i$ serían las características de las fuentes independientes (voltajes o intensidades, según de qué tipo sean). $f$ puede representar a cualquier magnitud eléctrica del circuito (intensidad en una rama, voltaje entre dos puntos cualquiera). El motivo está en que los elementos que manejamos son lineales (aquí significa que el voltaje entre sus extremos es proporcional a la intensidad -la constante de proporcionalidad es la impedancia-) y que las leyes de Kirchhoff son sumas de cantidades.

La relación con lo primero que te he dicho es que si construimos un vector con las intensidades y/o los voltajes (en forma compleja) en el circuito (con todos o sólo unos cuantos que nos interese), éste puede expresarse como el producto de una matriz (de números complejos) y el vector construido con los valores, también en forma compleja, de las fuentes.

[LauraLopez]

Re: respuesta forzada

mmm a ver sigo tratando de entender esta propiedad, si me preguntan " Definir la propiedad de linealidad" la respuesta seria asi ?

Propiedad de linealidad:

La propiedad de linealidad es....nose que decir!!! algo asi como que cuando una funcion esta formada por suma de productos? porque creo que si aparece un cuadrado por ejemplo entonces no estaria definiendo esta propiedad. y como estoy en el contexto de circuitos en vez de decir una funcion deberia decir un voltaje o una corriente formada por suma de productos de voltajes o corrientes?
y la formula que representa esta propiedad es :



No logro dar una definicion formal y que a su vez la pueda entender, lo que digo esta mal ? o esta bien pero no es una definicion formal?

Buscando en internet encontre esto :

Teorema de linealidad:
El teorema de linealidad establece que un circuito es lineal si las ecuaciones que relacionan su excitacion y respuesta son lineales, y viceversa. O sea que en el caso de circuitos lineales siempre es posible expresar una de estas cantidades como una funcion lineal de las demas. En circuitos electricos, un circuito lineal es un circuito que se puede expresar mediante una ecuacion lineal.
Y una ecuacion lineal seria una que cumpla con la formula esta que hablabamos antes :



Esto que se llama teorema de linealidad es lo mismo que la propiedad de linealidad que me quieren explicar no?

Si es asi esta definicion que encontre en internet la entiendo un poco mas.

Y para completar el punto 1 la definicion del principio de superposicion es :

Teorema de Superposicion:

[FONT=sans-serif]Este teorema establece que el efecto que dos o más fuentes tienen sobre una resistencia es igual, a la suma de cada uno de los efectos de cada fuente tomados por separado, sustituyendo todas las fuentes de voltaje restantes por un corto circuito, y todas las fuentes de corriente restantes por un circuito abierto.[/FONT]
[FONT=sans-serif]Por ejemplo, si el voltaje total de un circuito dependiese de dos fuentes de tension:[/FONT]
[FONT=sans-serif]
[/FONT]


Creo que finalmente logre encontrar 2 definiciones de estas 2 propiedades que me nombran consideran que esas definiciones estan bien?

De ser asi ya podria pasar al punto 2 que consiste en saber porque la ecuacion diferencial del circuito de este ejercicio cumple con la propiedad de linealidad.

Si analizo las ecuaciones que Breogan llega en su post 7






diria que no son ecuaciones lineales porque hay terminos al cuadrado..... o debe ser que sigo teniendo mal el concepto de ecuacion lineal.... una ecuacion lineal no seria una ecuacion de la misma forma que tiene una funcion lineal? o sea por ejemplo f= ax +b es una funcion lineal y por ende una ecuacion lineal o no? esas ecuaciones que vos encontraste no se parecen a esa.....

O sea segun yo entiendo la propiedad de linealidad es una propiedad que establece que un circuito es lineal si las ecuaciones que relacionan su excitacion y respuesta son ecuaciones lineales.Y or definicion una ecuacion lineal es una ecuacion que cumple con esta formula :



o creo que tambien estaria bien decir una que cumpla con esta forma : f(x) =ax + b. Esta forma que digo esta mal ? o es equivalmente a la primera formula?

[arivasm]

Re: respuesta forzada

En primer lugar comentaré que he modificado la mayoría de mis mensajes anteriores, pues la respuesta correcta es la que indicó en su momento Breogán.

Permitidme que recoja aquí cuál ha sido la fuente de mi error, por si es de utilidad para alguien más.

-o-o-o-

El término "lineal" tiene varias acepciones. Una de ellas es en relación con función lineal, o función que respeta las combinaciones lineales. Es decir, si tenemos una función de un variable $f(x)$, decimos que es una función lineal si se cumple que $f(\alpha x_1+\beta x_2)=\alpha f(x_1)+\beta f(x_2)$.

Una acepción similar a la anterior se refiere la propiedad de linealidad que tienen algunos operadores, entre los cuales se encuentran los de derivación. Un operador $\hat D$ es lineal si al actuar sobre una combinación lineal de funciones el resultado es la misma combinación lineal de las aplicaciones de ese operador sobre las funciones, es decir, $\hat D[\alpha f(x)+\beta g(x)]=\alpha\hat D [f(x)]+\beta\hat D[g(x)]$.

Precisamente es ésta la linealidad a la que hizo referencia Breogán en sus mensajes: la derivada n-sima de una combinación lineal de funciones es igual a la combinación linea de las derivadas n-simas de esas funciones. En particular, él lo aplicó a la idea de que $\dst\frac{\dd^n}{\dd t^n}[i_1(t)+j i_2(t)]=\frac{\dd^n i_1(t)}{\dd t^n}+j \frac{\dd^n i_2(t)}{\dd t^n}$.

Si esto se lleva a un operador más largo de la forma $\dst \hat L=a_2\frac{\dd^2}{\dd t^2}+a_1\frac{\dd}{\dd t}+a_0\cdot$, donde los coeficientes $a_i$ son constantes, es inmediato ver que también este operador será lineal, de manera que $\hat L[i_1(t)+j i_2(t)]=\hat L i_1+j\hat L i_2$.

El razonamiento de Breogán se puede resumir en algo como esto: cualquier circuito constituido por una fuente de voltaje $v$ y elementos pasivos se corresponderá con cierta ecuación diferencial $\dst a_2\frac{\dd^2 i}{\dd t^2}+a_1\frac{\dd i}{\dd t}+a_0\cdot i=v$, donde los coeficientes complejos dependerán de la disposición de los elementos en el circuito. Como el operador que aparece en la ecuación, $\dst \hat L=a_2\frac{\dd^2}{\dd t^2}+a_1\frac{\dd}{\dd t}+a_0\cdot$ es lineal, si la respuesta es expresable como cierta combinación lineal $i=i_1+j i_2$ entonces la fuente deberá expresarse mediante la misma combinación lineal $\hat L[i_1]+j\hat L[i_2]=f_1+jf_2$. Teniendo en cuenta que el enunciado determina el carácter real de las $i_i$ y $f_i$ la conclusión es que $f_1$ es la fuente cuya respuesta es $i_1$ y que $f_2$ es la fuente cuya respuesta es $i_2$.

La solución al ejercicio es, por tanto, aplicar a las respuestas las mismas combinaciones lineales que se hagan con las fuentes. Por tanto, la respuesta que, por ejemplo, corresponderá a $3 f_2(t) + j \left[ f_1(t) - f_2(t)\right]$ será, necesariamente, $3 i_2(t) + j \left[ i_1(t) - i_2(t)\right]$.

-o-o-o-

En mi síntesis de la respuesta de Breogán he destacado en negrita la palabra "una" porque es esencial para el enunciado y porque se me pasó por alto, y fue por ello que intenté atacar el problema desde un punto de vista relacionado con el teorema de superposición y la linealidad con él asociada.

Y aquí comentaré entonces otra de las acepciones que el término lineal tiene en matemáticas: la de aplicación lineal. Una función $f(x_1,x_2,...,x_n)$ es una aplicación lineal si es de la forma $f(x_1,x_2,...,x_n)=a_0+a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n$.

La relación entre este concepto y lo que creí ver (erróneamente) en el ejercicio, era que esta linealidad es uno de los fundamentos del teorema de superposición: la respuesta que produce un conjunto de fuentes es la suma de las respuestas que producen cada una de ellas por separado. El punto de vista (parcialmente incorrecto) que adopté sería de este modo: $f(x_1,x_2,...,x_n)=f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)$, donde cada uno de los sumandos de la derecha, $f(x_i)$, deben entenderse como que en el circuito sólo está presente la fuente cuyo valor es $x_i$.

¿Son estos sumandos proporcionales a los valores de las fuentes? No cabe duda que si una fuente se multiplica por cierto valor también lo hará la respuesta correspondiente. Es por eso que visualicé los sumandos $f(x_i)$ como cantidades de la forma $f(x_i)=a_ix_i$. El problema es que esto simplemente no es verdad, o al menos no es completamente verdadero.

El motivo está en que una fuente no necesariamente es representable mediante un único valor complejo. Ciertamente es una representación muy común en fuentes sinusoidales. También es verdad que el teorema de Fourier nos permite expresar cualquier función como una combinación de fuentes armónicas, y entonces representables cada una mediante un fasor complejo. Pero ése es otro camino y que debería ser advertido meticulosamente a la hora de asignar al sistema un conjunto de fuentes armónicas, que representen las transformadas de Fourier de las fuentes realmente presentes en el circuito.

En definitiva, además de meterme en camisas de once varas al considerar la posibilidad de que hubiese varias fuentes presentes, cuando el enunciado sólo mencionaba una, para aplicarlo al caso del enunciado debería manejar transformadas de Fourier lo que sería un rodeo increíblemente largo y seguramente infructuoso.

No sólo empecé viendo erróneamente el enunciado, sino que además me estaba metiendo a cazar moscas a cañonazos, como se ve muy claramente al analizar la respuesta de Breogán.

-o-o-o-

Hace unos días, Laura me pidió en un PM que revisase su último mensaje de este hilo. Al respecto le diré lo siguiente: olvídate del teorema de superposición, en lo que se refiere a su aplicación a este ejercicio. Ha sido una mala idea mía que no lleva a la solución.

Revisa la respuesta de Breogán, pues es la correcta. La linealidad se refiere simplemente a la respuesta que causa una única fuente: si la respuesta es $i_1$ cuando ésta vale $f_1$, y la respuesta es $i_2$ cuando vale $f_2$, entonces cuando la fuente siga $Af_1+Bf_2$ la respuesta será $Ai_1+Bi_2$ (el motivo está en la linealidad de la ecuación diferencial correspondiente).

En este caso simplemente el enunciado te dice que apliques la idea anterior al caso $A=1$, $B=j$ y que tengas presenete que las $f_i$ y las $i_i$ son reales (lo que permitirá asociar claramente cada $i_i$ con su $f_i$).

Siento haber metido tanto ruido!

[inakigarber]

Re: respuesta forzada

entendi muy poco...porque decis que la repuesta es proporcional a la excitacion? si el enunciado me dice que la respuesta es : o sea no depende de v_g esa ecuacion.

Y tampoco comprendo que pasos matematicos haces para obtener esa formula :

Yo tampoco, pero salseando por internet he encontrado este enalce. http://www.ditutor.com/numeros_compl...complejos.html
Se llega a la misma conclusión que arisvam.

De todos modos, el enunciado inicial del problema no lo entiendo muy bien.

[arivasm]

Re: respuesta forzada

No, Iñaki. Mi respuesta, que citas a través de la referencia al mensaje de Laura, no era correcta, como explico en el mensaje #18.

[inakigarber]

Re: respuesta forzada

Habia leido el mensaje 18, pero como habia visto que el post estaba editado hoy, pensaba que estaba corregido. Imagino que se trata de una división de numeros complejos, pero la verdad no he entendido muy bien el enunciado inicial. Me ha pedido ayuda Lauralopez en un mensaje privado, pero creo que poco puedo yo aportarle que no le hayais aportado vosotros. Pero bueno, una vez metido en harina...
Un saludo.

[LauraLopez]

Re: respuesta forzada

Gracias a todos por la ayuda , el utlimo post de Arivasm me aclaro bastante las cosas ,al final el ejercicio era mas sencillo de lo que esperaba , era complicado interpretarlo no mas, Breogan es un adelantando intelectual que lo comprendio de entrada

[inakigarber]

Re: respuesta forzada

Me alegro de que por fin se hayan aclarado las cosas. Yo no me he enterado aun. Tal vez porque no he dedicado suficiente tiempo al asunto. Para salir de dudas ¿me podríais poner un ejemplo con un circuito eléctrico concreto? Así quizá satisfaga mi curiosidad. Saludos.

[arivasm]

Re: respuesta forzada

¿me podríais poner un ejemplo con un circuito eléctrico concreto?

Por buscar uno que no sea trivial y tampoco tirarse demasiado de la moto, te propongo un RL con R=1 ohm, L=1 H. Supongamos que la fuente la podemos ajustar a nuestro gusto. Si ponemos en ella $v_g(t)=3\sin t+j\sin 2t$ (unidades SI) tendremos cierta respuesta $i(t)$ que admite ser expresada como $i_1(t)+ji_2(t)$, donde $i_1(t)$ e $i_2(t)$ son funciones reales, es decir, son la parte real e imaginaria, respectivamente, de $i(t)$.

Se trata tener claro que $i_1(t)$ es la respuesta que causa $f_1(t)=3\sin t$ y que $i_2(t)$ es la que causa $f_2(t)=\sin 2t$. Esto no debería ser complicado.

El ejercicio objeto de este hilo en el fondo nos propone que hagamos las combinaciones que queramos con las f y que veamos que entonces se producen las mismas combinaciones con las i. Por ejemplo, la respuesta para $3f_2(t)+j[f_1(t)-f_2(t)]$, que en nuestro caso es $3\sin t+j(3\sin t-\sin 2t)$, será $3i_1(t)+j[i_1(t)-i_2(t)]$

[inakigarber]

Re: respuesta forzada

Por buscar uno que no sea trivial y tampoco tirarse demasiado de la moto, te propongo un RL con R=1 ohm, L=1 H. Supongamos que la fuente la podemos ajustar a nuestro gusto. Si ponemos en ella $v_g(t)=3\sin t+j\sin 2t$ (unidades SI) tendremos cierta respuesta $i(t)$ que admite ser expresada como $i_1(t)+ji_2(t)$, donde $i_1(t)$ e $i_2(t)$ son funciones reales, es decir, son la parte real e imaginaria, respectivamente, de $i(t)$.

Se trata tener claro que $i_1(t)$ es la respuesta que causa $f_1(t)=3\sin t$ y que $i_2(t)$ es la que causa $f_2(t)=\sin 2t$. Esto no debería ser complicado....

Hasta aquí esta claro. Pero no se si lo tengo tan claro en el apartado siguiente.[FONT=Verdana]

....El ejercicio objeto de este hilo en el fondo nos propone que hagamos las
combinaciones que queramos con las f y que veamos que entonces se producen las
mismas combinaciones con las i. Por ejemplo, la respuesta para
$3f_2(t)+j[f_1(t)-f_2(t)]$, que en nuestro caso es $3\sin<br /> t+j(3\sin t-\sin 2t)$, será $3i_1(t)+j[i_1(t)-i_2(t)]$

Si cambiamos los valores real e imaginario de la función tensión estamos variando el ángulo de dicha tensión y por tanto también el ángulo de la intensidad, con lo cual cambiaremos los valores real e imaginario de dicha función. Esto es lo que se me ocurre. Reconozco que estoy realmente perdido. [/FONT]

[arivasm]

Re: respuesta forzada

Prueba a plantear la ecuación diferencial del circuito y lo verás con más claridad.

[Breogan]

Re: respuesta forzada

Hola:

Como de costumbre, arivasm hace un ejercicio natural y fluido de el explicar las cosas, interpretando mejor que yo lo que puse en mis post.

Para Laura: si ya entendiste el problema deja de lado el presente, el presente es en su mayoría un intento de profundizar un poco mas en el tema (un divague), que no deja de generarme varias dudas.

El término "lineal" tiene varias acepciones. Una de ellas es en relación con función lineal, o función que respeta las combinaciones lineales. Es decir, si tenemos una función de un variable $f(x)$, decimos que es una función lineal si se cumple que $f(\alpha x_1+\beta x_2)=\alpha f(x_1)+\beta f(x_2)$.

Una acepción similar a la anterior se refiere la propiedad de linealidad que tienen algunos operadores, entre los cuales se encuentran los de derivación. Un operador $\hat D$ es lineal si al actuar sobre una combinación lineal de funciones el resultado es la misma combinación lineal de las aplicaciones de ese operador sobre las funciones, es decir, $\hat D[\alpha f(x)+\beta g(x)]=\alpha\hat D [f(x)]+\beta\hat D[g(x)]$.

Precisamente es ésta la linealidad a la que hizo referencia Breogán en sus mensajes: la derivada n-sima de una combinación lineal de funciones es igual a la combinación linea de las derivadas n-simas de esas funciones. En particular, él lo aplicó a la idea de que $\dst\frac{\dd^n}{\dd t^n}[i_1(t)+j i_2(t)]=\frac{\dd^n i_1(t)}{\dd t^n}+j \frac{\dd^n i_2(t)}{\dd t^n}$.

Si esto se lleva a un operador más largo de la forma $\dst \hat L=a_2\frac{\dd^2}{\dd t^2}+a_1\frac{\dd}{\dd t}+a_0\cdot$, donde los coeficientes $a_i$ son constantes, es inmediato ver que también este operador será lineal, de manera que $\hat L[i_1(t)+j i_2(t)]=\hat L i_1+j\hat L i_2$.

El razonamiento de Breogán se puede resumir en algo como esto: cualquier circuito constituido por una fuente de voltaje $v$ y elementos pasivos se corresponderá con cierta ecuación diferencial $\dst a_2\frac{\dd^2 i}{\dd t^2}+a_1\frac{\dd i}{\dd t}+a_0\cdot i=v$, donde los coeficientes complejos dependerán de la disposición de los elementos en el circuito. Como el operador que aparece en la ecuación, $\dst \hat L=a_2\frac{\dd^2}{\dd t^2}+a_1\frac{\dd}{\dd t}+a_0\cdot$ es lineal, si la respuesta es expresable como cierta combinación lineal $i=i_1+j i_2$ entonces la fuente deberá expresarse mediante la misma combinación lineal $\hat L[i_1]+j\hat L[i_2]=f_1+jf_2$. Teniendo en cuenta que el enunciado determina el carácter real de las $i_i$ y $f_i$ la conclusión es que $f_1$ es la fuente cuya respuesta es $i_1$ y que $f_2$ es la fuente cuya respuesta es $i_2$.

La solución al ejercicio es, por tanto, aplicar a las respuestas las mismas combinaciones lineales que se hagan con las fuentes. Por tanto, la respuesta que, por ejemplo, corresponderá a $3 f_2(t) + j \left[ f_1(t) - f_2(t)\right]$ será, necesariamente, $3 i_2(t) + j \left[ i_1(t) - i_2(t)\right]$.

Como dijo arivasm, yo interprete del enunciado del problema que se estaba hablando de una sola fuente, lo cual estaría representado por el siguiente dibujo:

Donde, tal cual la nomenclatura de arivasm, $\hat L$ es el operador diferencial del circuito RLC, y $Y(\omega)$ es la admitancia del circuito, el cual esta representado dentro de una caja. La ecuacion integro-diferencial de este circuito es:

$\dst a_2 \frac {di(t)}{dt}+a_1 i(t)+a_0 \int i(t) \ dt=v_g(t)$

de la cual, por medio de la derivacion respecto del tiempo, obtenemos la ED para un circuito RLC:

$\dst a_2 \frac {d^2 i(t)}{dt^2}+a_1 \frac {d i(t)}{dt}+a_0\ i(t)=\frac {d v_g(t)}{dt}$

Entonces podemos definir ad hoc un operador diferencial $\hat L$ para un circuito RLC de la forma:

$\dst \hat L=a_2 \frac {d^2}{dt^2}+a_1 \frac {d}{dt}+a_0$

y

$\dst \hat L\ \left[ i(t) \right]=\frac {dv(t)}{dt}$

Pero la admitancia solo es definible para un tipo particular de excitación (autofunciones del operador diferencial???), de la forma:

$v(t)=V\ F(t)\$ $\ \Rightarrow\$ $\ i(t)=I\ F(t)\$

y $F( t)$ debe cumplir que $\ \dst \frac {dF(t)}{dt}=\alpha F(t)$

Si es definible la admitancia, y esta tiene el mismo valor para todas las funciones de la excitación sería aplicable el criterio de proporcionalidad que propuso arivasm en otro post.

Si $i_1(t)=Yv_1(t)$ e $i_2(t)=Yv_2(t)$

sumandolas queda:

$i_1(t)+i_2(t)=Yv_1(t)+Yv_2(t)$

con lo cual se llega a:

$\dst \frac {i_1(t)}{v_1(t)}=\frac {i_2(t)}{v_2(t)}=\frac {i_1(t)+i_2(t)}{v_1(t)+v_2(t)}$

En general no es definible la función admitancia para cualquier tipo de funcion de excitación (salvo desarrollo en series de Fourier como dijo arivasm, pero en este caso también la admitancia es función de la frecuencia de la armónica de que se trate).

Para tratar un caso genérico, valido para todos los tipos de funciones, se debe operar con la ED del circuito, cosa hecha a continuación.

Si tenemos dos excitaciones que llamamos v1(t) y v2(t) que individualmente generan las respuestas que llamaremos i1(t) e i2(t), es decir que cumplen individualmente que:

$$\dst \hat L \left[ i_1(t) \right]=\frac {dv_1(t)}{dt}$$

y

$$\dst \hat L \left[ i_2(t) \right]=\frac {dv_2(t)}{dt}$$

Si ahora aplicamos al circuito una excitación $v(t)= \lambda_1 v_1(t)+\lambda_2 v_2(t)$, que generara una respuesta i(t) se debe cumplir que:

$\dst \hat L \left[ i(t) \right]=\frac {dv(t)}{dt}$

$\dst \hat L \left[ i(t) \right]=\frac {d \left[\lambda_1 v_1(t)+\lambda_2 v_2(t) \right]}{dt}$

$\dst \hat L \left[ i(t) \right]=\lambda_1 \frac {dv_1(t)}{dt}+\lambda_2 \frac {dv_2(t)}{dt}$

reemplazando (1) y (2) en la anterior:

$\hat L \left[ i(t) \right]=\lambda_1 \hat L \left[ i_1(t) \right]+\lambda_2 \hat L \left[ i_2(t) \right]$

y como el operador $\hat L$ es lineal podemos agrupar:

$\hat L \left[ i(t) \right]=\hat L \left[\lambda_1 i_1(t)+\lambda_2 i_2(t) \right]$

y de esta ultima se ve que:

$i(t)=\lambda_1 i_1(t)+\lambda_2 i_2(t)$

Con esto queda demostrado que si la excitación es de la forma:

$v(t)= \lambda_1 v_1(t)+\lambda_2 v_2(t)$

la respuesta sera de la forma:

$i(t)=\lambda_1 i_1(t)+\lambda_2 i_2(t)$

si se cumple que:

$\hat L \left[ i_1(t) \right]=v_1(t)$

y

$\hat L \left[ i_2(t) \right]=v_2(t)$

Disculpen el choclo, saque muchas partes y todavía me queda una parte pendiente.

Suerte

Lo que me queda pendiente es lo referido a la siguiente figura, que creo que es la interpretación hecha por arivasm del enunciado del problema

con la cual tengo varias cosas pendientes.

Suerte

[inakigarber]

Re: respuesta forzada

Prueba a plantear la ecuación diferencial del circuito y lo verás con más claridad.

Sigo perdido. No he entendido el significado físico de las siguientes expresiones;
$\dst a_2\ \frac {d^2i(t)}{dt^2}+a_1\ \frac {di(t)}{dt}+a_0\ i(t)\ =\ v_g(t)$
y
$\dst a_2\ \frac {d^2 \left[i_1(t)+j\ i_2(t) \right]}{dt^2}+a_1\ \frac {d \left[ i_1(t)+j\ i_2(t)`\right]}{dt}+a_0\ \left[i_1(t)+j\ i_2(t) \right] \ =\ f_1(t)+j\ f_2(t)$

Lo único que se me ha ocurrido es "jugar" con un circuito serie RC como propone arisvam con valores R=1 ohm y L=1 H he supuesto un valor de tensión de 220 Voltios y una frecuencia de 50 Hz (para así poder calcular una impedancia y una intensidad). Me sale un valor de impedancia $Z=\sqrt{1^2-(2\pi x 50 x 1)}=314.16\Omega$ y una intensidad de $I=\frac{V}{Z}=0,7002 Amp$. Como el circuito es serie, la intensidad seria el punto de referencia (angulo cero). La tensión estaría adelantada, según me sale un ángulo de 1.56 radianes. Luego entiendo que en este caso introduzco una tensión de 220 voltios con un angulo de 1.56 radianes y obtengo de respueta una intensidad de 0,7 amperios y 0 radianes. Entiendo que si cambio los valores de módulo y ángulo de la tensión varare los valores de módulo y ángulo de la intensidad resultante. Pero creo que esto no es lo que se pedía y que no lo he entendido.
Un saludo.

[arivasm]

Re: respuesta forzada

El mejor camino para que entiendas de qué va el problema no es el que pasa por las impedancias, que no dejan de ser consecuencia del planteamiento general al que hace referencia el ejercicio de este hilo, sino por plantear la ecuación diferencial del circuito y resolverla en los diferentes casos que te he propuesto. En definitiva, se trataría de abordarlo de un modo semejante a, por ejemplo, éste: http://forum.lawebdefisica.com/threa...lucion-forzada

[inakigarber]

Re: respuesta forzada

Sigo perdido. No he entendido el significado físico de las siguientes expresiones;
$\dst a_2\ \frac {d^2i(t)}{dt^2}+a_1\ \frac {di(t)}{dt}+a_0\ i(t)\ =\ v_g(t)$
y
$\dst a_2\ \frac {d^2 \left[i_1(t)+j\ i_2(t) \right]}{dt^2}+a_1\ \frac {d \left[ i_1(t)+j\ i_2(t)`\right]}{dt}+a_0\ \left[i_1(t)+j\ i_2(t) \right] \ =\ f_1(t)+j\ f_2(t)$
....

Creo que tras unos días de descanso he entendido el significado de las expresiones. Voy a ver si puedo detallarlos.
$a_o$ expresaría la resistencia en ohmios.
$a_1$ expresaría la autoinducción en henrios.
$a_2$ expresaría la capacidad en Faradios.
Me he basado para ello en las relaciones $RC=R/L=Tiempo$ que no tuve en cuenta anteriormente.
Aunque de momento hay cosas que se me han quedado atascadas creo que la explicación de Breogan aclara bastante las cosas. Por lo referente al enunciado reconozco me ha teniendo bastante confundido.
Un saludo.
p.d. No estoy muy seguro de lo que he puesto. Lo mirare mañana.