1r ciclo Ley de Gauss, campo eléctrico

[daniiy]

Una corteza cilíndrica infinitamente larga, coaxial con el eje Y, tiene un radio de 15 cm. La densidad superficial de carga de dicha corteza es $\sigma_0 = 6 \mu Cm^{-2}$.
Calcular la expresión del campo eléctrico en todas las regiones del espacio

[Al2000]

Re: Ley de Gauss, campo eléctrico

¿Y tu duda es...? ¿Y qué has hecho...?

[daniiy]

Re: Ley de Gauss, campo eléctrico

¿Y tu duda es...? ¿Y qué has hecho...?

Básicamente que no sé hacerlo

[Al2000]

Re: Ley de Gauss, campo eléctrico

Bien, "no sé hacerlo" es muy vago y no dice nada acerca de tu nivel, de modo que no sé por donde empezar. Lo que haré es darte algunos tips y tu deberás llenar los huecos. Si se te presentan dudas mas concretas, no vaciles en preguntar de nuevo.

En cualquier libro de Física general, en la parte de electromagnetismo conseguirás el cálculo del campo que produce un filamento infinito usando el teorema de Gauss. Léelo, estúdialo y entiéndelo porque eso te servirá de base para resolver el problema que traes. Dadas las debidas consideraciones de simetría, se concluye que el campo de un filamento infinito cargado con densidad lineal de carga constante $\lambda$ se puede calcular usando una superficie cilíndrica coaxial con el filamento. Para tal superficie, la aplicación del teorema de Gauss lleva a

$$\oint_S \boldsymbol E \boldsymbol \cdot d \boldsymbol S = \frac q {\epsilon_0}\quad \longrightarrow \quad E \cdot 2 \pi r h = \frac {\lambda h}{\epsilon_0} \quad \Rightarrow \quad E = \frac \lambda {2 \pi \epsilon_0 r}$$

Aquí $2 \pi r h$ es el área de la superficie lateral del cilindro de radio $r$ y altura $h$ usado como superficie gaussiana; $q = \lambda h$ es la porción de carga del filamento encerrada por la superficie.

En tu ejercicio se trata no de un filamento sino de una cáscara cilíndrica, pero el tratamiento es similar pues ambas distribuciones de carga tienen la misma simetría. La cáscara cilíndrica divide al espacio en dos regiones: la región interna ($0 \leqslant r < R$) y la región exterior ($R < r < \infty$ ), donde estoy llamando $R$ al radio de la cáscara.

En la región interna la superficie gaussiana no encierra carga alguna, de manera que la aplicación del teorema de Gauss noe lleva a que el campo es nulo:

$$\oint_S \boldsymbol E \boldsymbol \cdot d \boldsymbol S = \frac q {\epsilon_0}\quad \longrightarrow \quad E \cdot 2 \pi r h = 0 \quad \Rightarrow \quad E = 0, \quad 0 \leqslant r < R$$

En la región externa el campo resulta:

$$\oint_S \boldsymbol E \boldsymbol \cdot d \boldsymbol S = \frac q {\epsilon_0}\quad \longrightarrow \quad E \cdot 2 \pi r h = \frac {\sigma \cdot 2 \pi R h}{\epsilon_0} \quad \Rightarrow \quad E = \frac {\sigma R} { \epsilon_0 r}, \quad R < r < \infty$$

Nota que este último campo es formalmente idéntico al calculado para el filamento (ambos dependen de $1/r$) y que la expresión se ve diferente solamente porque el campo está expresado en función de la densidad superficial de carga en lugar de la densidad lineal.

Bueno, hasta aquí lo dejo. Recuerda llenar los muchos huecos con tu libro de texto.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[daniiy]

Re: Ley de Gauss, campo eléctrico

Vale, siento no haber sido claro con mi duda.

He entendido prácticamente todo lo que me has puesto. Pero dos dudas:

-En primer lugar no he entendido muy bien en la diferencia entre un problema normal de una simetría cilíndrica, y este (que como que fusiona la cilíndrica y la planar)
-En segundo lugar ¿Cómo calculo el vector ur para hallar E en forma vectorial?

[Al2000]

Re: Ley de Gauss, campo eléctrico

- En absoluto, la simetría de este problema también es cilíndrica. El hecho de que tengas como dato la densidad superficial de carga nada implica. Exactamente el mismo procedimiento habrías de usar si se tratase de un cilindro macizo con densidad volumétrica de carga constante. En ese caso simplemente calcularías la carga encerrada como carga x volumen.

- No hay nada que calcular. El vector $\boldsymbol u_r$ simplemente lo añades al módulo del campo si deseas expresarlo vectorialmente: $\dst \boldsymbol E = \frac {\sigma R}{\epsilon_0 r}\, \boldsymbol u_r$. Nota que el teorema de Gauss sólo te permite calcular el módulo del campo; la parte vectorial tiene que ser analizada previamente, como requisito para elegir una superficie de integración apropiada. Allí es donde entra en juego la simetría de la distribución de carga; un análisis de la simetría te permite decir que "forma" tiene el campo, para luego calcular su módulo una vez elegida la superficie apropiada a esa "forma".

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[daniiy]

Re: Ley de Gauss, campo eléctrico

MMM, pero la integral en la corteza de las tapas del cilindro por que no la calculas?

Lo digo más que nada porque en un problema normal, se diferencian por un lado las integrales en las tapas y por otro en la superficie

[Al2000]

Re: Ley de Gauss, campo eléctrico

Eso es correcto. En las ecuaciones que escribí todo ese cálculo y demás consideraciones están englobados en la flecha ($\longrightarrow$) y espera a que tú llenes el hueco

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[daniiy]

Re: Ley de Gauss, campo eléctrico

Pero cómo sé el ángulo que forman E y S si no sé que sentido tiene E ?

[Weip]

Re: Ley de Gauss, campo eléctrico

Pero cómo sé el ángulo que forman E y S si no sé que sentido tiene E ?

En este tipo de ejercicios el enunciado te da todas las pistas. Si no tienes práctica lo mejor es que te hagas un dibujo y representes los vectores.

[daniiy]

Re: Ley de Gauss, campo eléctrico

Pero qué vectores voy a representar? El único que sabría representar es el de la superficie, porque el del campo no sé que sentido puede tomar.

Por cierto, en el apartado b, preguntan en calcular la fuerza que experimenta un electrón en el punto (20,10,0) expresado en cm. El valor numérico me sale tal y como está en la solución, sin embargo, el sentido de la fuerza eléctrica no sé hallarlo.
Por otro lado, lo único que hice para calcular la fuerza fue: F=qE, poniendo como r=0.2m, y obtuve de solución 8.14·10^-14 (N). No entiendo por qué en algunos ejercicios tienes que calcular el vector ur y en otros no, como en este, porque la solución sale sin calcularlo.

No sé si me he explicado bien en estas dos dudas.
Saludos

[Samir M.]

Re: Ley de Gauss, campo eléctrico

¿Entiendes qué implica el hecho de que tu sistema tenga simetría cilíndrica?

[daniiy]

Re: Ley de Gauss, campo eléctrico

Sí, lo que no entiendo es cómo representar el vector campo eléctrico en el punto que piden

[gdonoso94]

Re: Ley de Gauss, campo eléctrico

Sí, lo que no entiendo es cómo representar el vector campo eléctrico

Hola:

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_//problemas/electromagnetismo/gauss/problemas/electro_5_1.gif

Saludos,
G.

[daniiy]

Re: Ley de Gauss, campo eléctrico

Pero por qué tiene ese sentido? Y me refiero en el punto (20, 10, 0) con un electrón ahí

Saludos