Secundaria Carga inducida encerrada por superficie gausiana

[Richard R Richard]

Hola compañeros, me entro una duda, en el esquema que adjunto la carga encerrada por las superficies gausianas S1 y S2 son iguales, ?

el plano es un conductor infinito,la superficie cilíndrica entra hasta la mitad del plano, la carga en la superficie es la inducida por la carga puntual Q.

El plano no esta a tierra y la carga total del mismo es nula.

Equivale a decir la carga inducida sobre la superficie que da a la carga tiene una distribucion no uniforme y la que da al otro lado, si es uniforme...? o no?

Gracias de antemano

[Al2000]

La densidad de carga en la superficie enfrentada a la carga puntual es no uniforme, de signo opuesto a Q y de simetría radial respecto de la sombra de Q en la superficie. La densidad de carga en la superficie opuesta es nula (carga inducida Q distribuida uniformemente en un área infinita).

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[JCB]

Hola a tod@s.

Yo creía que la carga inducida en el lado izquierdo del plano, debía ser del mismo signo que la carga de prueba (y distribuida superficialmente, aunque no sabría decir de qué manera). En cambio, la carga inducida en el lado derecho del plano (el lado enfrentado a Q), debía ser de signo contrario a la carga de prueba. El argumento era que al no estar conectado a tierra el conductor, la carga neta en él siempre será cero, al no estar cargado inicialmente.

Saludos cordiales,
JCB.

[teclado]

Hola Richard R Richard ,

Yo diría que la carga no es uniforme en ninguna de las caras:

Dentro del conductor el campo debe ser nulo, por lo que la aportación de la distribución de cargas en su superficie debe compensar la creada por la carga Q exterior:

$\dst\vec{E}_1+\vec{E}_2 = -K_C\frac{Q}{r^2}\hat{u_{\vec{r}}}$

Lejos de la carga, sin embargo, $\vec{E_1}+\vec{E_2}=\vec{0}$. A la izquierda del primer plano:

$-E_1+E_2=0$

Dentro del conductor:

$E_1+E_2=0$

A la derecha de la segunda superficie:

$E_1-E_2=0$

Si la carga fuera uniforme en alguno de los planos, $E_1$ y $E_2$ serían constantes, y la única forma que tiene lo anterior de cumplirse es que $E_1=0$ y $E_2=0$, por lo que lejos de la carga, las densidades de carga de ambas caras deberían ser nulas. Como cerca de la carga Q, el conductor adquiere cierta densidad de carga no nula, ya que tiene que compensar el campo creado por Q, la densidad de carga de ambos planos nunca es constante.

Un saludo.

EDITADO: Sin embargo, esto me sigue cuadrando con lo dicho por Al2000 .

[Richard R Richard]

Gracias a todos por contestar!!!

Hola Richard R Richard ,
Yo diría que la carga no es uniforme en ninguna de las caras:
.

Si el campo en el interior es nulo no hay forma que un lado se entere de como esta distribuida la carga del otro lado... "eso lo intuia, pero no estaba seguro", por eso creo que sucede lo que Al2000 comenta.

El formulerio me lo acuerdo mas o menos, pero la base la tengo floja floja...

[Al2000]

La densidad de carga se puede determinar de manera fácil usando el método de las imágenes. Si reemplazas el sistema carga-plano por su equivalente carga-carga, tienes que el campo en puntos sobre un anillo de radio $r$ vale

$$E = 2 \times \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac Q {r^2 + a^2} \times \frac a {\sqrt {r^2 + a^2}}$$

y por lo tanto la densidad de carga, $\sigma = - \epsilon_0 E$ vale

$$\sigma_{(r)} = - \frac {Q a} {2 \pi \left(r^2 + a^2\right)^{3/2}}$$

la cual, por integración a todo el plano, resulta en una carga inducida de valor $-Q$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Richard R Richard]

Si, sí de acuerdo, voy entrando en sintonia.

[Richard R Richard]

De perogrullo Al2000, no hice cuentas , pero para evitarlas.... si integro esa densidad en toda el area, osea desde $r=0$ hasta infinito y multiplico por $2\pi$obtengo -Q ...no? si no estoy donde empece

[Al2000]

$\dst \int_0^\infty \!\! \sigma_{(r)}\,(2 \pi r\, dr) \longrightarrow -Q$

[Richard R Richard]

Aha! me iba a olvidar el jacobiano ,pero listo ya entiendo como es la cosa de fondo gracias Al2000

[JCB]

Hola a tod@s.

Para aclararme las ideas y suponiendo a la carga de prueba $Q$ positiva.

1) La carga inducida en el lado izquierdo del plano es $Q (+)$. La densidad superficial es $\sigma=\dfrac{Q}{S(\infty)}=0$.

2) La carga inducida en el lado derecho del plano es $Q (-)$. La densidad superficial no es uniforme (varía radialmente) y se rige por la expresión dada por Al2000.

3) Dentro del conductor el campo eléctrico es , pues la suma de los campos creados por las cargas inducidas, más la de prueba, se anulan. Por otra parte, ¿ se puede demostrar que el campo eléctrico es , en el interior de un conductor sometido a un campo eléctrico externo ?. Al2000: quedo a la espera de otra de tus sutilezas .

Gracias y saludos cordiales,
JCB.

[Al2000]

...
3) Dentro del conductor el campo eléctrico es , pues la suma de los campos creados por las cargas inducidas, más la de prueba, se anulan. Por otra parte, ¿ se puede demostrar que el campo eléctrico es , en el interior de un conductor sometido a un campo eléctrico externo ?...

En el cálculo del campo y de la densidad de carga se usa como primera consideración que el plano es conductor y se encuentra en condiciones electrostáticas, con todas las consecuencias que eso acarrea (campo nulo en el interior, etc.) Supongo que lo que deseas es hacer las cosas en la dirección contraria para verificar que todo cuadre... mmm, calcular el campo en un punto interior del conductor no es difícil, pero anticipo que se obtendrá una integral que no tendrá solución analítica.

Déjame jugar un rato con el Mathcad y luego te digo lo que obtuve.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Richard R Richard]

3) Dentro del conductor el campo eléctrico es , pues la suma de los campos creados por las cargas inducidas, más la de prueba, se anulan. Por otra parte, ¿ se puede demostrar que el campo eléctrico es , en el interior de un conductor sometido a un campo eléctrico externo ?. Al2000: quedo a la espera de otra de tus sutilezas .

Gracias y saludos cordiales,
JCB.

Ahora que te han respondido, me animo, coincido en 1 y 2 , en 3 si las carga están en la superficie, haces una superficie ideal, que tenga toda la placa menos su superficie, analizas la carga encerrada y será nula, luego el campo es nulo por Gauss...

S el campo eléctrico no fuera nulo en alguna región interna del plano habría cargas en movimiento osea corriente, luego como no hay corriente, entonces el campo en el interior es nulo ...como consideramos la carga y al plano estáticos, tampoco hay corriente en su superficie.... ando errado?

[JCB]

Hola a tod@s.

Gracias Al2000, Richard y teclado por vuestros mensajes. Disculpad si no respondo con la rapidez que desearía, pero el tema de campos eléctricos no lo había vuelto a tocar desde hace mucho tiempo (unos 34 años), por lo que necesito recordar, repasar, y digerir de forma pausada y progresiva la materia. En mi época, tenía como referencia a los siguientes libros:

- Campos y ondas electromagnéticos (Lorrain – Corson).

- Electromagnetismo aplicado (Plonus).

La verdad es que los encuentro un poco crípticos para mi nivel actual. ¿ Conocéis alguno más pedagógico ?.

Dicho esto, Richard: los puntos 1) y 2) de mi mensaje # 9, no son más que lo escrito por Al2000 en su mensaje # 2. Quería aclararme un poco, fijar ideas y por eso lo he repetido en modo esquemático.

La expresión indicada por Al2000 para la densidad superficial en el lado derecho, está desarrollada en ambos libros mencionados, pero el conductor plano está conectado a tierra, y esto me desconcierta, pues no es el caso que nos ocupa.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

La expresión indicada por Al2000 para la densidad superficial en el lado derecho, está desarrollada en ambos libros mencionados, pero el conductor plano está conectado a tierra, y esto me desconcierta, pues no es el caso que nos ocupa.

Esa fue una de las preguntas que me hacía y me trajo a presentar el hilo...

Preguntate, el campo creado por la carga puntual y por la carga distribuida en el plano cambia si conectas el plano a tierra????..... no!!!, pero necesitaba autoconvencerme.

La diferencia creo esta en que al poner la tierra, el potencial de la placa entera cambia, la carga +Q del lado opuesto fluye a la tierra, la placa queda cargada con -Q, pero en el semiespacio del lado de la carga nada ocurre,la distribución no varía, luego el campo en esa región no varía. Bueno,eso me gustaría mucho creer.

[JCB]

Hola a tod@s.

Richard: aunque vas muy rápido para mí, intento responderte. Suponiendo una carga de prueba $Q (+)$:

1) Caso presente, de conductor no conectado a tierra (conductor aislado y descargado). Como el conductor no tiene carga inicial, si la carga inducida en el lado derecho es $Q (-)$, la inducida en el lado izquierdo debe ser $Q (+)$. La carga total del conductor sigue siendo .

2) Caso alternativo, de conductor conectado a tierra. La carga inducida en el lado derecho sigue siendo $Q (-)$, pero en este caso, en el lado izquierdo no habría carga inducida, porque ya no haría falta que los electrones saliesen del propio material conductor (podrían venir a través de la toma de tierra). El conductor tendría una carga total igual a $Q (-)$.

Yo lo veo así, pero tampoco me hagas mucho caso, estoy verde en el tema, como he dicho antes.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Coincido , así que, si no es así, los dos estamos equivocados, cuando Al2000 pase por aquí, por ahí si da el visto bueno ...o sino me pone el tiro de gracia a la expectativa de volver a entender algo del electromagnetismo, también ya van 30 años en que lo estudie y se me resiste lo obvio...

[JCB]

Fíjate Richard, que estoy, todavía, en la fase preliminar de cargas. Aún no he abordado ni densidad de carga, ni campo eléctrico.

[Al2000]

Estoy de acuerdo con lo que planteas tanto en 1) como en 2).

Hice el intento de calcular el campo en un punto en el interior del plano, pero no pude concluir nada definitivo. El software que tengo no se defiende muy bien evaluando la integral doble con límites infinitos y aun tomando límites finitos la solución diverge cuando considero el plano moderadamente grande.

Saludos,

$\mathcal A \ell$