Secundaria Problema cambio de sistema de referencia, fuerza electromagnética dos cargas puntuales

[alexpglez]

En cierto instante, tenemos dos partículas cargadas q dispuestas sobre el eje x separadas una distancia d, y velocidad v en el eje z. Siendo la velocidad y la carga las mismas para cada partícula.

a) Calcular campos, fuerza, velocidad a la cuál fuerza eléctrica y magnética son iguales..
En este apartado no tengo problema, de hecho donde dudo es en el siguiente, así que prefiero dejar la fórmula de la fuerza y preguntar:

$$F=k\frac{q^2}{d^2}(1-\frac{v^2}{c^2})$$

b) En un sistema que se mueva con las cargas y por tanto $v=0$, ve que su F' es distinta. Si observadores que se diferencian de una velocidad cte, observadores inerciales deben sentir la misma fuerza según el principio de Galileo. ¿En qué nos hemos equivocado?

Esta pregunta, aparentemente sencilla ahora mismo no la veo. Creo recordar que había una relación entre la densidad y la densidad en reposo $\rho=\rho \gamma$, quizá esto tenga que ver, y por tanto se ha interpretado que $q$ es la carga de la partícula cuando en realidad no es si no una carga efectiva...

¿Me podríais explicar?

Saludos.

[Breogan]

Re: Problema cambio de sistema de referencia, fuerza electromagnética dos cargas puntuales

Hola:

En cierto instante, tenemos dos partículas cargadas q dispuestas sobre el eje x separadas una distancia d, y velocidad v en el eje z. Siendo la velocidad y la carga las mismas para cada partícula.

a) Calcular campos, fuerza, velocidad a la cuál fuerza eléctrica y magnética son iguales..
En este apartado no tengo problema, de hecho donde dudo es en el siguiente, así que prefiero dejar la fórmula de la fuerza y preguntar:

$$F=k\frac{q^2}{d^2}(1-\frac{v^2}{c^2})$$

b) En un sistema que se mueva con las cargas y por tanto $v=0$, ve que su F' es distinta. Si observadores que se diferencian de una velocidad cte, observadores inerciales deben sentir la misma fuerza según el principio de Galileo. ¿En qué nos hemos equivocado?

Esta pregunta, aparentemente sencilla ahora mismo no la veo. Creo recordar que había una relación entre la densidad y la densidad en reposo $\rho=\rho \gamma$, quizá esto tenga que ver, y por tanto se ha interpretado que $q$ es la carga de la partícula cuando en realidad no es si no una carga efectiva...

¿Me podríais explicar?

Saludos.

La fuerza no es un invariante ante las transformaciones relativistas, consulta el siguiente Link Fuerza en la teoria de la relatividad o este dinámica relativista (no lo lei completamente, yo me basaría en el anterior).

s.e.u.o.

Suerte

[alexpglez]

Re: Problema cambio de sistema de referencia, fuerza electromagnética dos cargas puntuales

Según tenía entendido, Einstein modificó la expresión del momento para que la ecuación dp/dt=F fuese invariante.

[Weip]

Re: Problema cambio de sistema de referencia, fuerza electromagnética dos cargas puntuales

Según tenía entendido, Einstein modificó la expresión del momento para que la ecuación dp/dt=F fuese invariante.

En el segundo enlace que te ha dado Breogan, al principio de todo, tienes detallados los cálculos. Si no te convence coge papel y lápiz y comprueba tú mismo que no es invariante, o si no entiendes algún paso en concreto del enlace, pregunta.

[alexpglez]

Re: Problema cambio de sistema de referencia, fuerza electromagnética dos cargas puntuales

Hola, no me refiero a la fuerza Newtoniana $\vec F=m\frac{d\vec v}{dt}$. Si no a la expresión $\vec F=m\frac {d (\gamma \vec v)}{dt}=q (\vec E + \vec v\times \vec B)$
Saludos

[Weip]

Re: Problema cambio de sistema de referencia, fuerza electromagnética dos cargas puntuales

Hola, no me refiero a la fuerza Newtoniana $\vec F=m\frac{d\vec v}{dt}$. Si no a la expresión $\vec F=m\frac {d (\gamma \vec v)}{dt}=q (\vec E + \vec v\times \vec B)$
Saludos

Insisto: La fuerza $\vec{F}=q(\vec{E}+\vec{v} \times\vec{B})$ no es invariante bajo transformaciones de Lorentz. Como te podrás imaginar el problema viene del término magnético, que no es invariante.

[pod]

Re: Problema cambio de sistema de referencia, fuerza electromagnética dos cargas puntuales

De hecho, los campos $\vec E$ y $\vec B$ tampoco son invariantes ante transformaciones de Lorentz. El valor de ambos campos es diferente en sistemas de referencia diferentes. Además, es una transformación un tanto curiosa, porque son tri-vectores, y no cuadri-vectores.

Sacando las ecuaciones del formulario de electrodinámica clásica que tenemos en esta misma web:

$$<br /> \begin{aligned}\vec E' & = \vec E + \gamma (\vec v \times \vec B) + \dfrac{1-\gamma}{v^2} \vec v \times (\vec v \times \vec E) \ , \\<br /> \vec B' & = \vec B - \dfrac\gamma{c^2} (\vec v \times \vec E) + \dfrac{1-\gamma}{v^2} \vec v \times (\vec v \times \vec B) \ .<br /> \end{aligned}$$

En resumen, observadores diferentes ven campos eléctricos y magnéticos diferentes; por eso, aunque la expresión de la fuerza en término de E y B sea la misma, el resultado es diferente.

[alexpglez]

Re: Problema cambio de sistema de referencia, fuerza electromagnética dos cargas puntuales



No entiendo la última igualdad a la que creo llegar. $q'=q \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$
Por otra parte, la fuerza no debería variar si esta y la velocidad relativa tienen sentidos distintos¿?

[pod]

Re: Problema cambio de sistema de referencia, fuerza electromagnética dos cargas puntuales

No pareces haber adjuntado bien.

No entiendo la última igualdad a la que creo llegar. $q'=q \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$

La carga es un invariante Lorenz. No cambia al cambiar de sistema de referencia.

Por otra parte, la fuerza no debería variar si esta y la velocidad relativa tienen sentidos distintos¿?

¿Qué?

[alexpglez]

Re: Problema cambio de sistema de referencia, fuerza electromagnética dos cargas puntuales

No pareces haber adjuntado bien.



La carga es un invariante Lorenz. No cambia al cambiar de sistema de referencia.




¿Qué?

Edito el mensaje anterior. Y me lío en como se debe transformar la fuerza y cuál debe ser en el sistema de referencia comóvil. Sé que la carga es un invariante de Lorentz, pero no entiendo. Mi hipótesis parte de que (según creo) en sistemas de referencia que se vean las cargas paradas o con movimiento rectilíneo y uniforme $\vec E=k\frac{q}{r^2}=\frac{\mu_0 q c^2}{4 \pi r^2}$, y comparar la transformación del tri-vector de un sistema de referencia a otro.

[pod]

Re: Problema cambio de sistema de referencia, fuerza electromagnética dos cargas puntuales

Y me lío en como se debe transformar la fuerza y cuál debe ser en el sistema de referencia comóvil.

La transformación de la tri-fuerza es bastante compleja, ya que no es un quadri-vector; ni siquiera forma parte de uno. Y, precisamente por esos motivos, es algo bastante inútil; no se suele utilizar en relatividad. Se puede obtener a partir de la 2a ley de Newton de forma general. En el caso electromagnético, puedes obtenerla un poco más fácilmente a partir de la fuerza de Lorentz usando las transformaciones de los campos que te di en el post #7.

Yo te recomiendo que pases a utilizar cantidades tensoriales, con transformaciones conocidas. Por ejemplo, la cuadri-fuerza es:

$$f^\mu = \frac{\dd^2 x^\mu}{\dd\tau^2} .$$

Por desgracia, no se trata de añadir una componente temporal a la tri-fuerza, ya que la derivada es respecto el tiempo propio ($\tau$), en vez de respecto del tiempo coordenado ($t$); para resolver esto hay que aplicar la regla de la cadena que da un factor $\gamma$ adicional, y es lo que complica la transformación de la tri-fuerza,

$$f^\mu = \Big( \gamma \vec v \cdot \vec F / c,\ \gamma \vec F\Big) .$$

La fuerza de Lorentz en este formalismo pasa a ser

$$f^\mu = q F^{\mu}_{\ \nu} u^\nu = q \eta^{\mu\rho} F_{\rho\nu} u^\nu .$$

Sé que la carga es un invariante de Lorentz, pero no entiendo. Mi hipótesis parte de que (según creo) en sistemas de referencia que se vean las cargas paradas o con movimiento rectilíneo y uniforme $\vec E=k\frac{q}{r^2}=\frac{\mu_0 q c^2}{4 \pi r^2}$, y comparar la transformación del tri-vector de un sistema de referencia a otro.

En movimiento uniforme, no. Lo puedes ver en la transformación que te di en el mensaje #7. Fíjate que, en realidad, en un sistema de referencia que se mueva respecto de la carga hay una dependencia temporal escondida en la r.


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