1r ciclo Ecuación de onda

[Trisko]

Saludos, me he quedado atascado en la deducción de la soluciones para la propagación de las ondas electromagnéticas en el vacío y lejos de las fuentes que son las siguientes:
$\Delta \vec{E}-\dfrac{1}{c^{2}} \dfrac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}}=0$
$\Delta \vec{B}-\dfrac{1}{c^{2}} \dfrac{\partial^{2} \vec{B}}{\partial t^{2}}=0$
Resolviendo cualquiera de las dos ecuaciones, por ejemplo para la componente x del campo eléctrico en este caso sería:
$\dfrac{\partial^{2} E_{x}}{\partial x^{2}}-\dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial^{2} E_{x}}{\partial t^{2}}=0$
Aplicando separación de variables $E_{x}=u(x)f(t)$ llego a:
$\dfrac{u^{''}(x)}{u(x)}=\dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{f^{''}(t)}{f(t)}$
Como ambas funciones son independientes han de ser igual a una constante, suponiendo una constante $-k^{2}_{x}$ llego a:
$E_{x}=(A\cos(k_{x}x)+B\sin(k_{x}))(C\cos(\omega_{x} t)+D\sin(\omega_{x} t))$
Dónde $\omega=ck_{x}$, habría que hacer este cálculo entonces para componente.
Lo que quiero obtener es la solución para una onda plana propagandose en la dirección $\vec{s}$ que siempre se da por conocida pero no he encontrado razonada en ningún sitio y no soy capaz de obtenerla a partir de lo que he calculado con métodos de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, esta ha de ser de la forma:
$\vec{E}=\vec{E}_{0}e^{i(k\vec{r}\vec{s}-\omega t)}$
No sé que condiciones iniciales aplicar para esta forma de la onda, además sé utilizar fasores pero no veo forma de aplicarlos aquí y creo que es porque ya me he nublado totalmente.
Gracias de antemano.

[Weip]

Hola Trisko, intentaré decirte cuál es el camino aunque antes de eso haré un cambio de notación por comodidad:

$\vec{E}=\vec{E}_0e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}$

Es decir, pongo el vector $\vec{k}$ de módulo $k$ para indicar la dirección de propagación de la onda. Con este pequeño cambio hecho, has de resolver:

$\nabla^2 \vec{E}=\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}$

Para hacerlo aplica la separación de variables $\vec{E}(\vec{r},t)=\vec{f}(\vec{r})g(t)$ como antes. Resolviendo la ecuación diferencial de $g(t)$ (que es la de un movimiento armónico simple) te acabará quedando algo de la forma $\vec{E}(\vec{r}, t)=\text{Re}\left(\vec{E}(\vec{r})e^{-i \omega t}\right)$. Si sustituyes esto en la ecuación de onda original obtendrás:

$\nabla^2 \vec{E}(\vec{r})+k^2\vec{E}(\vec{r})=0$

Para resolver esta ecuación podemos fijarnos en su forma y proponer la solución $\vec{E}(\vec{r})=\vec{E}_0 e^{ \pm i\vec{k}\cdot\vec{r}}$. Comprueba que efectivamente lo es y al sustituir con lo que ya teníamos queda $\vec{E}=\vec{E}_0e^{\pm i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}$, que es a lo que queríamos llegar (el tema del signo indica la dirección de la onda). Intenta completar los cálculos con detalle y si te encallas lo miramos.

Espero haberte ayudado.