Otras carreras Circuito con Inductancia y Condensador

[Visitante]

Buenas a todos,

Me he encontrado con este problema en el que no entiendo muy bien cómo proceder, a alguien se le ocurre alguna sugerencia? Comparto el enunciado a continuación.

En el circuito que se ilustra en la figura, el interruptor/conmutador se encuentra inicialmente en la posición A, de forma que el condensador de capacidad C se carga al potencial de la fuente V₀. Una vez que el condensador está completamente cargado se pasa el conmutador a la posición B estableciéndose una corriente a través de la inductancia L.

¿Cuál es la corriente I(t) que circula por el circuito (formado por la inductancia y el condensador) en función del tiempo t transcurrido desde el momento en que se pasa el conmutador a la posición B? Represéntese gráficamente la corriente respecto al tiempo.

Entiendo que las condiciones iniciales del problema son que la corriente inicial es 0 y que la variación (derivada) de dicha corriente inicial es la opuesta de la variación de la corriente que se induce en la inductancia L por la ley de inducción de Faraday.

Agradezco cualquier tipo de aportación,

Saludos cordiales.

[Alriga]

Hola laranga22 bienvenida a La web de Física, como miembro reciente te será útil leer consejos para recibir ayuda de forma efectiva

Cuando pones en paralelo L con C, poniendo el interruptor en "B" tienes:

$v_L=v_C=v$ (como son iguales, le llamamos "$v$" para no ir arrastrando subíndices)

$i_L=-i_C$

La ecuación básica de una inductancia es:

$$v=L\dfrac{\dd i_L}{\dd t}$$

La ecuación básica de un condensador es:

$i_C=C\dfrac{\dd v}{\dd t} \qquad \Longrightarrow$

$$i_L=-C\dfrac{\dd v}{\dd t}$$

Esta última la derivamos:

$$\dfrac{\dd i_L}{\dd t}=-C\dfrac{\dd^2v}{\dd t^2}$$

Sustituimos (3) en (1)

$v=-LC \dfrac{\dd^2v}{\dd t^2}$

$\dfrac{\dd^2v}{\dd t^2}+\dfrac 1{LC} v=0$

Llamando $w^2=\dfrac 1{LC}$

$$\dfrac{\dd^2v}{\dd t^2}+w^2 \ v=0$$

Esta es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, homogénea de coeficientes constantes. La manera de solucionarla (es muy sencillo) es la que aparece en tu libro de matemáticas en el capítulo de ecuaciones diferenciales. Esta ecuación es la misma que la archiconocidísima ecuación diferencial del movimiento armónico simple, de solución teniendo en cuenta las condiciones iniciales:

$$v(t)=V_0 \cos w t$$

Siendo $v(0)=V_0$ la tensión inicial del condensador e $i_L(0)=0$ la corriente inicial por la inductancia.

La corriente hacia la inductancia la calculas derivando y aplicando (2)

$$i_L(t)=w C V_0 \sin w t$$

O si lo prefieres en función solo de L y C:

$$i_L(t)=V_0 \ \sqrt{\dfrac C L} \ \sin \dfrac t{\sqrt{LC}}$$

La gráfica de la función seno es muy sencilla, la dejo para tí, el valor de pico es $V_0 \ \sqrt{\dfrac C L}$ y el periodo es $T=2\pi \sqrt{LC}$

Saludos.

[Visitante]

Hola de nuevo,
he estado haciendo el ejercicio por mi cuenta y me ha surgido una duda, la solución de la ecuación diferencial no debería ser de la forma y(x) = A cos(g x) + B sin(g x)? No estoy realmente segura pero calculándolo es lo que me da aunque puede que esté confundida.

Un saludo.

[Alriga]

... me ha surgido una duda, la solución de la ecuación diferencial no debería ser de la forma y(x) = A cos(g x) + B sin(g x)? No estoy realmente segura pero calculándolo es lo que me da aunque puede que esté confundida...

$y(x)=A\cos g x+B\sin g x$

Es la solución de la ecuación diferencial

$\dfrac{\dd^2y}{\dd x^2}+g^2 \ x=0$

Del mismo modo, la solución general a la ecuación diferencial

$\dfrac{\dd^2v}{\dd t^2}+w^2 \ v=0$

Es

$$v(t)=A\cos w t+B\sin w t$$

Ahora, para hallar las constantes "A" y "B" impón las condiciones iniciales, es decir impón que al cambiar de posición el interruptor (en t=0) la tensión inicial en el condensador es $v(0)=V_0$ y que la corriente inicial por la inductancia es $i_L(0)=0$

¿Qué valores obtienes en (1) para "A" y para "B"?

Saludos.

PD: Te recordamos que cuando desees escribir expresiones matemáticas uses LaTeX que es muy fácil, se aprende en media hora, aquí tienes un tutorial: Cómo introducir ecuaciones en los mensajes y aquí puedes practicar tus fórmulas La web de Física - Prueba y ejemplos de LaTeX
Además si haces doble click sobre cualquier fórmula del foro verás el código en el que está escrita, si quieres copiarla, márcala con el ratón, con el botón de la derecha del ratón haz copiar, y a continuación entre medio de los corchetes

[TEX]Pegar como texto sin formato[/TEX] ¡y ya tienes tu fórmula en LaTeX!
.
En Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva se explica la prohibición de insertar ecuaciones como imágenes entre otros consejos interesantes, léelos con atención.

[Abdulai]

Hola de nuevo,
he estado haciendo el ejercicio por mi cuenta y me ha surgido una duda, la solución de la ecuación diferencial no debería ser de la forma y(x) = A cos(g x) + B sin(g x)? ...

La solución general es: $y(t) = y(0) \cos(\omega t) + \dfrac{y^\prime (0)}{\omega}\sin(\omega t)$

Como sabemos que $y(0) = V_0$ e $y^\prime (0) = 0$ queda $v(t) = V_0 \cos(\omega t)$

Saludos.

[Visitante]

Hola de nuevo, me olvidé de responderte ayer pero sí tenías razón, me olvidé de las condiciones iniciales, ya está solucionado muchas gracias.
En cuanto a lo de LaTEX ya me he puesto con ello, los próximos posts contarán con ese formato.

Un saludo.

[Alriga]

...En cuanto a lo de LaTEX ya me he puesto con ello, los próximos posts contarán con ese formato ..

Recuerda que si tienes dudas y lo necesitas, también hay un subforo de LaTeX en el que puedes consultar dudas sobre su utilización abriendo un hilo allí.

Saludos