Otras carreras Campo eléctrico en esfera con una cavidad esférica

[Visitante]

Hola buenas tardes estoy intentando realizar este ejercicio pero no me sale, tengo dudas por si me podéis ayudar a resolverlo.

Se tiene una esfera de radio R0 con una densidad de carga volumétrica ρe. En el interior de dicha esfera se realiza una cavidad esférica de radio R0/2 y se deja hueca, tal y como indica la figura. Se pide:
a) ¿Cuál es el valor del campo eléctrico (módulo, dirección y sentido) en el punto A?
b) ¿Cuál es el valor del campo eléctrico (módulo, dirección y sentido) en el punto B?
Nota. Los puntos A y C están en los centros de sus respectivas esferas.

[JCB]

Hola a tod@s.

Se trata de un clásico: primero supón una esfera de radio $R_0$ con una carga volumétrica $\rho_E$, después supón una esfera de radio $\dfrac{R_0}{2}$ con una carga volumétrica $-\rho_E$.

Por cierto, siempre es conveniente que expongas tus dudas. Está muy mal visto escribir el enunciado y decir simplemente que no me sale.

Saludos cordiales,
JCB.

[Al2000]

https://forum.lawebdefisica.com/foru...era-incompleta
https://forum.lawebdefisica.com/foru...fera-con-hueco
https://forum.lawebdefisica.com/forum/el-aula/electromagnetismo/24822-campo-eléctrico-en-el-interior-de-una-esfera
https://forum.lawebdefisica.com/foru...isas-ejercicio

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Trisko]

Este es el típico ejercicio de electrostática y es importante que para resolverlo tengas en cuenta tanto el principio de superposición como los cambios de sistemas de coordenadas. Con ello vamos a definir un sistema de coordenadas O que estará en el centro de la esfera rellena (punto A) con vector radial $\vec{u_{r}}$ y otro sistema de coordenadas O' que estará en el centro de la esfera hueca (punto C) con vector unitario radial $\vec{u'_{r}}$ de forma que calcularemos el campo eléctrico en el espacio debido a la esfera rellena. Por la ley de Gauss en el sistema O:
$\dst\oint_S \vec{E} \cdot \dd \vec{s}=\dfrac{q}{\epsilon_0} \rightarrow \vec{E}=\dfrac{\rho r}{3}\vec{u_{r}}=\dfrac{\rho}{3}\vec{r} \hspace{0.3cm} \forall \hspace{0.1cm} r<R_{0}$
$\dst\oint_S \vec{E} \cdot \dd \vec{s}=\dfrac{q}{\epsilon_0} \rightarrow \vec{E}=\dfrac{\rho R_{0}^{3}}{3r^{2}}\vec{u_{r}}=-\dfrac{\rho R_{0}^{3}}{3r^{3}}\vec{r} \hspace{0.3cm} \forall \hspace{0.1cm} r>R_{0}$
Dónde hemos supuesto una simetría radial en el campo eléctrico y además utilizamos el hecho de que la densidad (que supondremos constante) $\rho=\dfrac{dq}{dv} \rightarrow q=\int \rho dv=\rho \dfrac{4}{3}\pi r^{3}$.
Ahora supondremos la esfera hueca como una esfera rellena pero de carga $dq=-\rho dv$ (osea negativa) ya que así estaríamos quitando todo el campo eléctrico que generaría ese trozo hueco. Aplicamos la ley de Gauss pero en el sistema O' de forma que:
$\dst\oint_S \vec{E'} \cdot \dd \vec{s}=\dfrac{q'}{\epsilon_0} \rightarrow \vec{E'}=-\dfrac{\rho r'}{3}\vec{u'_{r}}=-\dfrac{\rho}{3}\vec{r'} \hspace{0.3cm} \forall \hspace{0.1cm} r'< \dfrac{R_{0}}{2}$
$\dst\oint_S \vec{E'} \cdot \dd \vec{s}=\dfrac{q'}{\epsilon_0} \rightarrow \vec{E'}=-\dfrac{\rho R_{0}^{3}}{3r'^{2}}\vec{u'_{r}}=-\dfrac{\rho R_{0}^{3}}{3r'^{3}}\vec{r'} \hspace{0.3cm} \forall \hspace{0.1cm} r'>\dfrac{R_{0}}{2}$
En ambos casos hemos usado $\vec{r}=r\vec{u_{r}}$ y $\vec{r'}=r'\vec{u'_{r}}$.
Ahora trasladaremos todo al sistema de coordenadas O eso significa buscar una relación de transformación de coordenadas, en este caso cogiendo un punto P cualquiera por relacion de vectores teniendo en cuenta que la distancia entre centros es la distancia de A a C es decir el vector que los relaciona es $\vec{AC}=\dfrac{R_{0}}{2}\vec{i}$, su relación es por tanto:
$\vec{r'}=\vec{r}-\vec{AC} \rightarrow \lvert \vec{r'} \lvert^{2}=\lvert \vec{r} \lvert^{2}-2\vec{r}\vec{AC} +\lvert \vec{AC} \lvert^{2} \rightarrow r'=\sqrt{r^{2}-2rAC \cos{\alpha}+AC^{2}}$
Con $\alpha$ el ángulo que forman $\vec{r}$ y $\vec{AC}$ o lo que es lo mismo el ángulo que forma el vector de posición con la horizontal y definiendo el módulo del vector como la letra sin el vector encima.
Así el campo eléctrico de la esfera hueca referido a O' nos queda:
$\vec{E'}=-\dfrac{\rho}{3}\vec{r}+\dfrac{\rho}{3}\vec{AC} \hspace{0.3cm} \forall \hspace{0.1cm} r'< \dfrac{R_{0}}{2}$
$\vec{E'}=-\dfrac{\rho R_{0}^{3}}{3}\sqrt[\frac{2}{3}]{r^{2}-2rAC \cos{\alpha}+AC^{2}}\vec{r}+\dfrac{\rho R_{0}^{3}}{3}\sqrt[\frac{2}{3}]{r^{2}-2rAC \cos{\alpha}+AC^{2}}\vec{AC} \hspace{0.3cm} \forall \hspace{0.1cm} r'>\dfrac{R_{0}}{2}$
Con esto a cada punto dónde quisieras calcular el campo eléctrico simplemente tendrías que especificar su ángulo y posición radial.
Por ejemplo para el a) cómo el punto A está en los puntos $r=0$ y $r'=\dfrac{R_{0}}{2}$ y el ángulo de la posición con respecto a la horizontal es $\alpha=0$ ya podrías calcular los campos correspondientes a la situación es decir los que incluyen ese radio y obtener el vector campo eléctrico total mediante el principio de superposición tal que $\vec{E}_{T}=\vec{E}+\vec{E'}$ eso te lo dejo a ti como ejercicio.