Densidad de corriente conductor no homogeneo

[Phys]

Buenas, estaba intentando realizar este ejercicio pero no consigo sacarlo: Tenemos un condensador esferico de radios R1, R2 con un conductor no homogeneo entre las placas, la conductividad varia de la siguiente forma $\sigma=\frac{R_1 \sigma_1}{r}$ mientras que le permitividad es $\epsilon$ practicamente homogenea, conectamos una fuente de voltaje V y nos pide calcular entre otras cosas la densidad de corriente J.

Yo lo que he intentado es lo siguiente, partiendo de $J=\sigma E$ donde E=$\frac{KQ}{r^2}$ intentar integrar respecto dr, pero no llego al resultado correcto, la verdad que ando bastante perdido, creo que ni si quiera debo de usar esa expresion para el campo electrico, espero vuestra ayuda.

[Abdulai]

- Considerá un cascarón esférico de espesor $\text{d}r$

- La corriente que lo atraviesa será $I = 4\pi r^2 J$

- Y la caída de potencial en ese espesor diferencial $\text{d}V = E\,\text{d}r$

- Siendo $J = \sigma E \;\;\longrightarrow\;\; \dfrac{I}{4\pi r^2} =\underbrace{ \frac{\sigma_1 R_1}{r}}_{\sigma} \dfrac{\text{d}V}{\text{d}r} \;\;\longrightarrow\;\; \text{d}V = \dfrac{I}{4\pi\sigma_1 R_1}\dfrac{\text{d}r}{r}$

- Integrando entre $R_1$ y $R_2$ obtenés la corriente $I$ para esa diferencia de potencial $V$ y con eso ya podés expresar la densidad de corriente en función del radio.

[Phys]

Muchísimas gracias por la ayuda

[Phys]

Solo una pequeña duda, la primera expresión ¿de donde la sacas?

[Abdulai]

$4\pi r^2$ es la superficie del cascarón esférico

[JCB]

Hola a tod@s.

Una consulta: ¿ tiene sentido hablar de permitividad para un conductor ?.

Saludos cordiales,
JCB.

[Alriga]

... Una consulta: ¿ tiene sentido hablar de permitividad para un conductor ?...

Sí, permitividad compleja, mira este hilo: Funcion Dieléctrica. Permitividad compleja

Mira también Relative permittivity, este hilo Permitividad del vacío /permitividad del aire y en la Wikipedia Classification of materials based on permittivity

Saludos.

[JCB]

Ya veo que se trata de un tema "complejo" (en todas las acepciones de la palabra). Saludos cordiales.

[Phys]

La verdad que no conocía la permitividad compleja, gracias por las referencias