Potencial eléctrico de todo el espacio con cascarones cargados

[Hodel]

Buenas. Vuelvo a hacer un tema, espero esta vez no incumplir ninguna norma. Pero sigo atascado en el problema (que es el siguiente), concretamente en el punto c y d:

Una carga puntual Q > 0 se encuentra rodeada por dos cascarones esféricos de radio a y b (a < b) como muestra la figura 1. El cascarón interno se encuentra cargado con densidad superficial de carga σ1 > 0, mientras que el cascarón externo posee densidad de carga superficial σ2 = −σ1a²/b² .

(a) Calcule el campo eléctrico en todo el espacio, justificando correctamente.
(b) Dibuje cualitativamente las líneas de campo eléctrico en todo el espacio.
(c) Calcule el potencial en todo el espacio. Sea claro en el punto de referencia elegido.
(d) Calcule el trabajo que hay que aplicar para que una carga positiva pueda llevarse desde un punto C ubicado en un radio mayor a b como se muestra en la figura hasta un punto ubicado sobre el cascarón de radio b.

Concretamente, me pierdo ya que no sé si estoy haciendo bien. Ya que no puedo subir fotos con texto, no puedo poner lo que hice.
Pero los resultados que me dieron son:

para los r > b (tomando como punto de referencia el infinito, a distancia r): V (r) = - (Q + σ1 + σ2) / (4πεr)
para el espacio entre esferas en donde a < r < b (tomando como punto de referencia a b, a distancia r): V (r) = -2 (Q + σ1 + σ2) / (4πεb) + (Q + σ1) / (4πεr)
y para el espacio interno, directamente no sé cómo da el resultado.
Sobre todo esto porque no me deja plantear el trabajo, que sé que es la diferencia de potencial entre los puntos, y no sé como calcular el potencial sobre la superficie b.
Gracias de antemano.

[Abdulai]

...
para los r > b (tomando como punto de referencia el infinito, a distancia r): V (r) = - (Q + σ1 + σ2) / (4πεr)
...

$Q$ es carga y $\sigma_{1,2}$ es densidad de carga. No las podés sumar alegremente, tenés que multiplicarlas por la respectiva superficie para obtener la carga de cascarón.

Es decir $Q+4\pi a^2\sigma_1+4\pi b^2\sigma_2$

[JCB]

Hola a tod@s.

Aplicando Gauss, el campo eléctrico en la región exterior al cascarón mayor es

$E(r>b)=\dfrac{Q+\sigma_14\pi a^2+\dfrac{-\sigma_1a^2}{b^2}4\pi b^2}{4\pi\epsilon_0r^2}=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0r^2}=\dfrac{kQ}{r^2}$.

Tomando como origen de potencial al infinito,

$V(b)=-\displaystyle\int_{\infty}^{b}\dfrac{kQ}{r^2}dr=\dfrac{kQ}{b}$.

De la misma manera (aplicando Gauss), puedes obtener el campo eléctrico en la región $a<r<b$, y a continuación el potencial en $a$. A ver qué valores te salen.

Saludos cordiales,
JCB.

[Al2000]

Fíjate que el enunciado no pide el potencial en "a" o en "b", sino en todo punto del espacio. La integral que escribiste debería llegar hasta "r" en su límite superior. Como el campo es discontinuo en r=a y en r=b, al integrar desde infinito hasta a "r" habrá que dividir la integral en dos o tres, según te encuentres en a< r < b o en 0 < r < a, respectivamente.

[Hodel]

Perdón, ahí edité el punto d, que es el que me da más dolores de cabeza. Lo había escrito mal.

[Hodel]

Tengo un problema a la hora de calcular el potencial en las zonas de la corteza interna (entre a y b y dentro de a). No sé qué criterios usar para saber si debo sumar o no cargas o campos eléctricos.
Tampoco entiendo muy bien cómo sacar el trabajo que me pide el punto d: sé que el trabajo por unidad de carga es el potencial, pero no consigo entender cómo calcular en el radio del cascarón b para comparar.

[Al2000]

Bueno, a ver si puedo hacer un resumen no muy extenso. El problema tiene simetría esférica y el cálculo del campo eléctrico en cada región se hace fácilmente usando el teorema de Gauss. En cada caso obtendrás campos eléctricos similares al de una carga puntual:

$$E_{(r)} = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {q_\text {encerrada}} {r^2}$$

No estoy poniendo los vectores ya que el campo es siempre radial dada la simetría esférica. Te dejo a ti eso y los detalles para llegar a que el campo en todo el espacio vale

$$\dst E_{(r)} =<br /> \left \{\begin{aligned}<br /> &\frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac Q {r^2},& 0 < r& < a \\ <br /> &\frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {Q + 4 \pi \sigma_1 a^2 } {r^2},& a \leqslant r& < b \\ <br /> &\frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac Q {r^2},& b \leqslant r& < \infty <br /> \end{aligned}\right .$$

Nota que el valor de $\sigma_2$ es tal que las cargas de los cascarones son de la misma magnitud pero signo contrario, cancelándose sus contribuciones al campo para $r > b$.

Con el campo conocido, calcular el potencial en cada punto del espacio es un cálculo repetitivo (de nuevo te dejo a ti los detalles). Para cada región tienes que evaluar

$$V_{(r)} = - \int_{\infty }^r \!\! E_{(r)}\,dr$$

dividiendo la integral en tantas partes como campos diferentes tengas.

Para $0 < r \leqslant a$: $\dst V_{(r)} = -\frac 1 {4 \pi \epsilon_0}\left(\int_{\infty }^b\! \frac Q {r^2}\,dr + \int_b^a\! \frac {Q + 4 \pi \sigma_1 a^2}{r^2} + \int_a^r \! \frac Q {r^2}\right)$

Para $a \leqslant r \leqslant b$: $\dst V_{(r)} = -\frac 1 {4 \pi \epsilon_0}\left(\int_{\infty }^b\! \frac Q {r^2}\,dr + \int_b^r\! \frac {Q + 4 \pi \sigma_1 a^2}{r^2}\right)$

Para $b \leqslant r < \infty$: $\dst V_{(r)} = -\frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \int_{\infty }^r\! \frac Q {r^2}\,dr$

Una vez conocido el potencial, calcular el trabajo es simplemente aplicar la definición W = q V. El trabajo que te piden es $W = q V_{(b)}$.

Revisa, que lo escribí sobre la marcha y se pueden haber colado algún error.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Hodel]

Muchas gracias. Me quedó todo muy claro.

[JCB]

Fíjate que el enunciado no pide el potencial en "a" o en "b", sino en todo punto del espacio. La integral que escribiste debería llegar hasta "r" en su límite superior. Como el campo es discontinuo en r=a y en r=b, al integrar desde infinito hasta a "r" habrá que dividir la integral en dos o tres, según te encuentres en a< r < b o en 0 < r < a, respectivamente.

Hola a tod@s.

Efectivamente, el enunciado indica “(c) Calcule el potencial en todo el espacio …”, aunque también es cierto que Hodel escribió “… y no sé como calcular el potencial sobre la superficie b.”

Yo me limité a resolver la duda planteada por Hodel, y compruebo, con gran satisfacción, que después de tu excelente resumen, Al2000, coincidimos en el valor del potencial en $b$.

Gracias y saludos cordiales,
JCB.

[Al2000]

Por cierto que el trabajo que anoté en mi mensaje anterior, $W = q V_{(b)}$, es el trabajo para llevar la carga $q$ desde el infinito hasta $r = b$. Si la carga parte de un punto (no mostrado en el dibujo) a la distancia $r = c$, entonces el trabajo (del agente externo) sería $W = q (V_{(b)}-V_{(c)})$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$