Ejercicio circuito con condensador

[alexistron]

Hola, con el siguiente ejercicios, tengo problemas

Problema :En el circuito de la figura, considere una carga inicial Q(t = 0) = Qo = 0, es decir, el sistema está inicialmente descargado. Determine
a) La carga en función del tiempo.
b) La corriente en función del tiempo
c) El voltaje como función del tiempo



Agradecería un poco de orientación a la hora de fórmulas y conceptos. No tengo apuntes claros y el profesor no explica como se puede desear.

Muchas gracias, siento tanto problemas con los circuitos, me lío mucho, lo siento, gracias! .

[delmar7]

Hola alexistron

Bienvenido al foro

Denominando $i_1$ la corriente que circula por $R_2$ hacia la derecha, $i_2$ la corriente que circula por $R_1$ hacia abajo y $i_3$ la corriente que circula por el condensador hacia abajo, todas en un instante t genérico, se tienen las siguientes ecuaciones :

$i_1=i_2+i_3$ Nudo superior Ec 1

$\xi =i_1R_2+i_2R_1$ Malla de la izquierda Ec 2

$V_c=i_2R_1$ Malla de la derecha Ec 3

Donde $V_c$ es la diferencia de potencial en el condensador en el instante t ; pero existe una relación entre el voltaje y la carga $C=\frac{Q}{V_c} \Rightarrow V_c=\frac{Q}{C}$ donde C es la capacidad del condensador (es una constante) y Q es la carga del condensador en el instante t . Ha de ser claro que la carga a partir del cerrado (t=0) del circuito es $Q=\int_{0}^{t}i_3 \ dt$

Entonces la Ec 3 se puede poner $\frac{\int_{0}^{t}i_3 \ dt}{C}=i_2R_1$ derivando respecto al tiempo adopta la forma :

$i_3=CR_1i'_2$ Ec 4

Derivando respecto al tiempo las ecuaciones 1 y 2 se tiene :

$i'_1=i'_2+i'_3$ Ec 5

$i'_1R_2+i'_2R_1=0 \Rightarrow i'_1=(\frac{-R_1}{R_2} \ i'_2)$ Ec 6, sustituyendo en la Ec 5 se obtiene $(\frac{-R_1}{R_2} \ i'_2)=i'_2+i'_3 \Rightarrow i'_2=\frac{-i'_3}{1+\frac{R_1}{R_2}}$ sustituyendo este resultado finalmente en la Ec 4 se llega a :

$i_3=CR_1 \ \frac{-i'_3}{1+\frac{R_1}{R_2}} \Rightarrow i'_3+(\frac{R_1+R_2}{CR_1R_2}) \ i_3=0$

Esta es una ecuación diferencial lineal de primer grado considerando las condiciones para t=0 se puede resolver, por integración hallas la carga y puedes resolver los demás apartados.

Saludos

[Alriga]

Hola alexistron bienvenido a La web de Física, por favor como miembro reciente lee atentamente Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

Una manera alternativa muy rápida de resolver el ejercicio es usar el teorema de Thevenin para transformar el circuito inicial de la izquierda en el circuito equivalente simplificado de la derecha.

Si en el circuito de la izquierda con el condensador desconectado (interruptor S1 abierto) aplicamos "divisor de tensión", la tensión en bornes de R1 es:

$E_{th}=\dfrac{R_1}{R_1+R_2} \ E$

La resistencia que "se ve" desde el condensador con la fuente de tensión cortocircuitada:

$R_{th}=R_1 \vert \vert R_2=\dfrac{R_1 R_2}{R_1+R_2}$

Ahora el circuito equivalente de la derecha es un condensador cargándose de una batería a través de una resistencia. Ese circuito seguramente ya lo habrás estudiado, la corriente de carga del condensador es:

$i_c(t)=\dfrac{E_{th}}{R_{th}} \ e^{-\dfrac t{\tau}}$

$\tau = R_{th}C$

Sustituyendo y simplificando:

$i_c(t)=\dfrac E{R_2} \ e^{-\dfrac t{\tau}}$

La evolución de la tensión en el condensador:

$u_c(t)=E_{th}-R_{th} \cdot i_c(t)$

$u_c(t)=E_{th}\left (1- e^{-\dfrac t{\tau}}\right )$

La evolución de la carga en el condensador la puedes calcular de 2 maneras, la más fácil:

$q(t)=C \cdot u_c(t)$

O también:

$\displaystyle q(t)=\int i_c(t) dt$

Para calcular las corrientes que circulan por las resistencias R1 y R2

$i_{R_1}(t)=\dfrac{u_c(t)}{R_1}$

$i_{R_2}(t)=\dfrac{E-u_c(t)}{R_2}$

Saludos.

[Alriga]

Nota alexistron que si no deseas usar el Teorema de Thévenin, otra manera rápida de resolver el ejercicio es usar el Método de los Nudos, basado en la primera Ley de Kirchhoff que resuelve el circuito con una única ecuación:

$$\boxed{i=i_1+i_c}$$

$$\dfrac{E-u_c}{R_2}=\dfrac{u_c}{R_1}+i_c$$

Sabemos por definición de condensador:

$i_c=C \ \dfrac{du_c}{dt}$

$i_c=C \dot u_c$

Sustituyendo

$\dfrac{E-u_c}{R_2}=\dfrac{u_c}{R_1}+C \dot u_c$

$C \dot u_c+\left ( \dfrac 1{R_1}+\dfrac 1{R_2} \right ) u_c=\dfrac E{R_2}$

Llamamos:

$\dfrac1 {R_p}=\dfrac 1{R_1}+\dfrac 1{R_2}$

Y obtenemos:

$$C \dot u_c+\dfrac 1{R_p} \ u_c=\dfrac E{R_2}$$

Es una ecuación diferencial lineal ordinaria de primer orden, completa de coeficientes constantes. La puedes resolver usando el método general de resolución de este tipo de ecuaciones. O si lo prefieres operando primero para obtener una ecuación diferencial en variables separadas e integrar a continuación.

La solución general de la ecuación diferencial homogénea es:

$u_{hom}(t)=k \exp \left ( - \dfrac t{R_pC} \right )$

Una solución particular de la ecuación diferencial completa es:

$u_{part}(t)=\dfrac{R_p}{R_2} \ E$

La solución general de la ecuación diferencial completa es la suma de ambas:

$u_c(t)=\dfrac{R_p}{R_2} \ E+k \exp \left ( - \dfrac t{R_pC} \right )$

Para hallar la constante de integración, aplicamos la condición inicial:

$t=0 \quad \to \quad u_c(0)=0 \quad \to \quad k=-\dfrac{R_p}{R_2} \ E$

Sustituyendo y simplificando:

$$u_c(t)=\dfrac{R_1}{R_1+R_2} \ E \left [ 1- \exp \left ( - \dfrac t{R_pC} \right ) \right ]$$

La evolución de la corriente en el condensador:

$i_c=C \ \dfrac{du_c}{dt}$

$$i_c(t)=\dfrac E{R_2} \ \exp \left ( - \dfrac t{R_pC} \right )$$

La evolución de la carga en el condensador:

$q=C \cdot u_c$

$$q(t)=\dfrac{R_1}{R_1+R_2} \ C E \left [ 1- \exp \left ( - \dfrac t{R_pC} \right ) \right ]$$

Saludos.