Sobre ondas electromagnéticas y circuito oscilante L C

[arivasm]

Re: Sobre ondas electromagnéticas y circuito oscilante L C

En el enunciado aparece la siguiente expresión;

$$\vec{E}=\vec{E_o} cos(\omega t-kz) \vec{u_x}$$

De manera que esto representaría a una onda que avanza por el eje x cuyas variables son $t,z, \omega$, y $k$.
Entiendo que se refiere a una onda que se propaga sobre el eje x y cuyo valor depende de las variables arriba mencionadas. ¿Es correcto?

Casi. Es una onda plana (todos los puntos con la misma z tienen el mismo campo eléctrico) que se propaga en el sentido del eje Z. Pero no sólo sobre el eje Z. Se propaga por todo el espacio, en dirección Z.

El versor $\vec u_x$ simplemente expresa que en cada punto $\vec E$ es perpendicular a Z.

Fíjate que la idea es ésta: dame las coordenadas de un punto cualquiera, por ejemplo (1,2,3), y substituye en la expresión. Evidentemente sólo el z=3 influye en el resultado, pero eso no quiere decir que a narices estemos hablando de puntos como el (0,0,3).

En el apartado 2 al mencionar el campo magnético tenemos;

$$\nabla x E=\begin{pmatrix} i & j &k\\ 0 & 0 & \frac{\partial }{\partial z}\\ E_{(z,t)} &0 &0\end{pmatrix}$$

cuya solución aplicando determinantes y derivadas parciales sería

$$\frac{\partial E }{\partial z}=k sen(\omega t-k z)$$

En este caso tanto el operador $\nabla$ y el campo son vectores y su producto es perpendicular a ambos.
Entonces;

$$\nabla x E=k sen(\omega t-k z)$$

Un par de correcciones. En primer lugar la expresión correcta sería $\nabla \times \vec E=k sen(\omega t-k z) \vec u_y$

En segundo lugar (ya sabes que soy un tiquismiquis) el vector $\nabla \times \vec E$ es el resultado de aplicar un operador de derivación a $\vec E$. Es decir, no es lo mismo que multiplicar por un vector que no sea un operador, tipo $\vec v \times \vec E$ (por ejemplo siendo $\vec v$ la velocidad de una partícula, por poner cualquier cosa). En este último caso el resultado sí sería perpendicular a los dos vectores, $\vec v$ y $\vec E$. En cambio, no sucede lo mismo con $\nabla \times \vec E$. Es más, no tiene sentido decir que algo es perpendicular a $\vec \nabla$, pues ni siquiera es un vector: es un operador vectorial.

Aclarémoslo con un ejemplo: imagínate que fuese $\vec E=(yz,xy,xz)$. Entonces $\vec \nabla\times\vec E=(0,y-z,y-z)$. El producto escalar entre este vector y $\vec E$ es $x(y^2-z^2)$. Evidentemente habrá un montón de puntos en los que este resultado no será nulo (por ejemplo, el punto (1,2,3)) lo que significa que en ellos $\vec E$ y $\vec \nabla\times\vec E$ no son perpendiculares.

Entiendo que en las Ecuaciones de Maxwell
1) Ley de Gauss $\vec \nabla \cdot \vec{E}$ nabla es una divergencia;
2) Ley de Gauss $\vec \nabla \cdot \vec{B}$ nabla también es una divergencia;
3) Ley de Faraday $\vec \nabla x \vec{E}$ nabla es un rotacional;
4) Ley de Ampere $\vec \nabla x \vec{B}$ nabla también es un rotacional.
¿Estoy en lo cierto?

Como soy un tiquismiquis eso que has puesto lo escribiría así:
1) Ley de Gauss $\vec \nabla \cdot \vec{E}$ es una divergencia;
2) Ley de Gauss $\vec \nabla \cdot \vec{B}$ también es una divergencia;
3) Ley de Faraday $\vec \nabla \times \vec{E}$ es un rotacional;
4) Ley de Ampere $\vec \nabla \times \vec{B}$ también es un rotacional.

Saludos!

[inakigarber]

Re: Sobre ondas electromagnéticas y circuito oscilante L C

Casi. Es una onda plana (todos los puntos con la misma z tienen el mismo campo eléctrico) que se propaga en el sentido del eje Z. Pero no sólo sobre el eje Z. Se propaga por todo el espacio, en dirección Z.

El versor $\vec u_x$ simplemente expresa que en cada punto $\vec E$ es perpendicular a Z.

¿Sería algo así?

En el que el campo eléctrico avanzara en el sentido t pero fluctuando en el eje de los x y el campo magnético avanza en el mismo sentido pero fluctuando en el eje y.

...En segundo lugar (ya sabes que soy un tiquismiquis) el vector $\nabla \times \vec E$ es el resultado de aplicar un operador de derivación a $\vec E$. Es decir, no es lo mismo que multiplicar por un vector que no sea un operador, tipo $\vec v \times \vec E$ (por ejemplo siendo $\vec v$ la velocidad de una partícula, por poner cualquier cosa). En este último caso el resultado sí sería perpendicular a los dos vectores, $\vec v$ y $\vec E$. En cambio, no sucede lo mismo con $\nabla \times \vec E$. Es más, no tiene sentido decir que algo es perpendicular a $\vec \nabla$, pues ni siquiera es un vector: es un operador vectorial.

Aclarémoslo con un ejemplo: imagínate que fuese $\vec E=(yz,xy,xz)$. Entonces $\vec \nabla\times\vec E=(0,y-z,y-z)$. El producto escalar entre este vector y $\vec E$ es $x(y^2-z^2)$. Evidentemente habrá un montón de puntos en los que este resultado no será nulo (por ejemplo, el punto (1,2,3)) lo que significa que en ellos $\vec E$ y $\vec \nabla\times\vec E$ no son perpendiculares....

No entiendo muy bien este texto. Yo pensaba que el producto cruz $\nabla \times \vec E$, por ejemplo, siempre implicaba multiplicar dos vectores. Pero aquí también estaba equivocado.

[FONT=Verdana]

...Como soy un tiquismiquis eso que has puesto lo escribiría así:...

Supongo que queda mejor escribiendo el comando \times que una simple x. Supongo que la próxima vez me acordare del gran Dylan y su "the \times they are a changing" quizá asi lo escriba mejor.

Hay algo que tal vez es el origen de mi confusión. Cuando estudie en la escuela profesional (unas décadas antes de que se acabara el anterior milenio) nos enseñaron la ley de autoinducción de Faraday de la siguiente manera, si no recuerdo mal (la memória puede fallar)
[/FONT]$V=-\frac{\Delta \phi}{\Delta t}$[FONT=Verdana], donde $v$ es la tensión $\phi$ el campo magnético y $t$ el tiempo. Que se podría escribir;
[/FONT]$V=-\frac{d \phi}{d t}$[FONT=Verdana]
Ahora bien, en un campo magnético del tipo [/FONT]$\phi= cos(\omega t -kz)$[FONT=Verdana]
su derivada con respecto al tiempo será; $\frac{d phi}{t}$[/FONT]$= -\omega sen(\omega t -kz)$[FONT=Verdana]En en primer caso tenemos una función coseno (que define el campo magnético) y en el segundo (que define el campo eléctrico) una función seno, de manera que cuando una esté en su valor máximo, la otra estará en el mínimo y viceversa.
[/FONT][FONT=Verdana]¿como lo veis vosotros?
P.D. Al dividir el valor de E/B me sale c, ¿que tiene que ver el cociente con la velocidad de la luz?[/FONT]

[Alriga]

Re: Sobre ondas electromagnéticas y circuito oscilante L C

... Yo pensaba que el producto cruz ... siempre implicaba multiplicar dos vectores ...

Y así es, el producto vectorial de DOS vectores es otro vector $\vec u \times \vec v=\vec w$

Pero es que $\bold{rot} \vec E=\nabla \times \vec E$ no es un producto vectorial de 2 vectores, es una regla mnemotécnica, un convenio de símbolos para recordar con facilidad como calcular el rotacional de un vector: trata el operador Nabla $\dst \bold{\nabla}=\left( \frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z} \right)$ como si fuera un vector, (aunque no lo sea) para aplicar la misma regla mecánica del pseudodeterminante que se utiliza para calcular el producto vectorial.

Saludos.

[arivasm]

Re: Sobre ondas electromagnéticas y circuito oscilante L C

En el que el campo eléctrico avanzara en el sentido t pero fluctuando en el eje de los x y el campo magnético avanza en el mismo sentido pero fluctuando en el eje y.

El tiquismiquis ataca de nuevo. t representa el tiempo. Tal como está el dibujo (y pasa lo mismo con las ecuaciones de tu post anterior), a medida que éste progresa la onda, tanto representada por el campo eléctrico como por el magnético, se propaga en sentido Z, con el campo magnético oscilando en cada punto según la dirección del eje X y el magnético según la del eje Y.

No entiendo muy bien este texto. Yo pensaba que el producto cruz $\nabla \times \vec E$, por ejemplo, siempre implicaba multiplicar dos vectores. Pero aquí también estaba equivocado.

Sí es un producto, vectorial, pero en este caso no de dos vectores, sino de un operador y un vector.

[FONT=Verdana]

Supongo que queda mejor escribiendo el comando \times que una simple x...

Mi corrección no era por el \times (que ciertamente queda más bonito y por eso también lo cambié), sino porque suprimí la palabra "nabla" de tus textos.

Hay algo que tal vez es el origen de mi confusión. Cuando estudie en la escuela profesional (unas décadas antes de que se acabara el anterior milenio) nos enseñaron la ley de autoinducción de Faraday de la siguiente manera, si no recuerdo mal (la memória puede fallar)
[/FONT]$V=-\frac{\Delta \phi}{\Delta t}$[FONT=Verdana], donde $v$ es la tensión $\phi$ el campo magnético y $t$ el tiempo. Que se podría escribir;
[/FONT]$V=-\frac{d \phi}{d t}$[FONT=Verdana]
Ahora bien, en un campo magnético del tipo [/FONT]$\phi= cos(\omega t -kz)$[FONT=Verdana]
su derivada con respecto al tiempo será; $\frac{d phi}{t}$[/FONT]$= -\omega sen(\omega t -kz)$[FONT=Verdana]En en primer caso tenemos una función coseno (que define el campo magnético) y en el segundo (que define el campo eléctrico) una función seno, de manera que cuando una esté en su valor máximo, la otra estará en el mínimo y viceversa.
[/FONT][FONT=Verdana]¿como lo veis vosotros?
[/FONT]

Antes de nada, en la ley de Faraday, tal como la has escrito, $\phi$ es el flujo magnético, no el campo magnético.

Los tiros van de algún modo por otro lado. La ley de Faraday (por ejemplo) puede expresarse tanto de forma diferencial $\dst\vec\nabla\times\vec E=-\frac{\partial \vec B}{\partial t}$ que en forma integral (que se deduce de la anterior aplicando un par de teoremas) $\dst\oint\vec E\cdot\dd\vec r=-\frac{\partial}{\partial t}\int\vec B\cdot\dd\vec S$. El sentido físico de la integral de la izquierda es una fuerza electromotriz, mientras que la de la derecha es el flujo magnético a través de cualquier superficie cuyo contorno sea el de la integral de la izquierda.

Usualmente, especialmente en estudios en los que se prima lo aplicado frente a lo teórico, no se explica esa transformación (o las equivalencias a las que me acabo de referir), como parece ser el caso que indicas.

La aplicación de la forma integral que planteas no es correcta, pues previamente debe tomarse el contorno de integración (a menudo suele ser un circuito, y por eso se habla del "flujo magnético a través del circuito" y de "fem inducida en el circuito"), etc. Sin embargo, tú estás planteando el valor del campo en un punto (lo del post anterior, "dime las coordenadas y el instante y te digo el valor del campo en ese punto y en ese instante"), por eso la forma aplicable es la diferencial.

[inakigarber]

Re: Sobre ondas electromagnéticas y circuito oscilante L C

Gracias Lorentz por tu post. Creo que me ha sido muy aclarador, aunque he necesitado también de los post del resto de compañeros para aclararme. Voy a seguir reflexionando al respecto, porque todavia me quedan unos cuantos flecos sobre los que reflexionar.

[skynet]

Re: Sobre ondas electromagnéticas y circuito oscilante L C

$\dst\oint\vec E\cdot\dd\vec r=-\frac{\partial}{\partial t}\int\vec B\cdot\dd\vec S$ esta ecuación dice que la circulación del campo eléctrico es igual a menos la variación temporal del flujo magnetico



$\dst\vec\nabla\times\vec E=-\frac{\partial \vec B}{\partial t}$ esta dice que la variación espacial del campo eléctrico es igual a menos la variación temporal del campo magnético

lo que es sorprendente es que las dos ecuaciones sean equivalentes, ya se que esta equivalencia está apoyada en un teorema matemático ... lo curioso es que parece que digan cosas distintas ...

[inakigarber]

Re: Sobre ondas electromagnéticas y circuito oscilante L C

Vamos a ver si he entendido algo.
Para ello me he inventado un ejemplo, a ver si lo desarrollo bien;
Supongamos una onda EM que se desplaza en el vacío a lo largo del eje y en el que el campo magnético tiene la siguiente expresión. $B=B_o Sen(\omega t-kx) u_y$ y que el rotacional es $\nabla=(0,0,\frac{\partial }{\partial x})$. Puesto que la onda se desplaza en el vacío las dos primeras ecuaciones son cero.
Bien;
$\frac{\partial B}{\partial t}=\omega B_o Cos(\omega t-k x)$
Como $\nabla \times \vec E=-\frac{\partial B}{\partial t}=-\omega B_o Cos(\omega t-k x)$
Luego, ya tenemos la ley de autoinducción de Faraday;
$\nabla \times \vec E=-\omega B_o Cos(\omega t-k x)$
Ahora para calcular el rotacional $\nabla \times \vec B$,
$\nabla \times \vec B=\begin{pmatrix}i & j & k\\0 & 0 & \frac{\partial }{\partial x }\\0 & B & 0\end{pmatrix}=\frac{\partial B}{\partial x}=k B_o Cos(\omega t-kx) i$
Por tanto;
$\nabla \times \vec B=k B_o Cos(\omega t-kx) i$
Segun la ley de Ampere Maxwell para el vacío tenemos;
$\nabla \times \vec B=\mu_0 \varepsilon_0\frac{\mathrm{dE} }{\mathrm{dt} }=k B_o Cos(\omega t-kx)i$
Despejando ;
$E=\frac{k B_o}{\mu_0 \varepsilon_0 \omega}\int{Cos (\omega t-kx)}$
E integrando me sale;

$$E=\frac{k B_o Sen(\omega t-kx)} {\mu_0 \varepsilon_0 \omega}$$

¿Es esto correcto?

[arivasm]

Re: Sobre ondas electromagnéticas y circuito oscilante L C

Las primeras enmiendas ya son al principio...

Supongamos una onda EM que se desplaza en el vacío a lo largo del eje y en el que el campo magnético tiene la siguiente expresión. $B=B_o Sen(\omega t-kx) u_y$

Si la onda se propaga en el sentido Y, la única variable espacial relevante será la y y no la x. La ecuación que has escrito se refiere a una onda que se propaga en sentido X con el campo magnético oscilando paralelo al eje Y.

y que el rotacional es $\nabla=(0,0,\frac{\partial }{\partial x})$.

Nabla siempre es $\dst\vec\nabla=\left(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\right)$. El rotacional siempre es $\vec\nabla\times$.

Por tanto, $\dst\vec\nabla\times\vec E=\left(\frac{\partial E_z}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z},\frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x},\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}\right)$

Como en tu caso la derivada temporal del campo magnético sólo tiene componente Y serán nulas las componentes X y Z del rotacional de E. Ahora bien, como ves, te metes en un pequeño follón, salvo que ya partas del hecho de que una solución pasará porque el campo eléctrico sólo tenga componente Z que dependerá de la coordenada x.

De todos modos, supongo que no es eso lo que quieres, sino demostrarlo: lo tienes más fácil si recurres a la ley de Ampère-Maxwell (aplicada al vacío), pues entonces bastará con calcular el rotacional del campo magnético e integrar respecto del tiempo.

[Weip]

Re: Sobre ondas electromagnéticas y circuito oscilante L C

Añado un pequeño detalle. inakigarber, he visto un par de veces que cuando quieres poner un determinante en realidad usas los paréntesis redondos de matriz:

$$\nabla x E=\begin{pmatrix} i & j &k\\ 0 & 0 & \frac{\partial }{\partial z}\\ E_{(z,t)} &0 &0\end{pmatrix}$$

$\nabla \times \vec B=\begin{pmatrix}i & j & k\\0 & 0 & \frac{\partial }{\partial x }\\0 & B & 0\end{pmatrix}$

Como dice Alriga es solo una regla mnemotécnica pero lo que dice esta regla es que puedes usar un determinante como notación para el rotacional. Es por eso que lo conveniente es usar paréntesis rectos y no redondos:

$\nabla \times E=\left|\begin{matrix} i & j &k\\ 0 & 0 & \frac{\partial }{\partial z}\\ E_{(z,t)} &0 &0\end{matrix}\right|$

$\nabla \times B=\left|\begin{matrix}i & j & k\\0 & 0 & \frac{\partial }{\partial x }\\0 & B & 0\end{matrix}\right|$

[inakigarber]

Re: Sobre ondas electromagnéticas y circuito oscilante L C

Yo lo que quería expresar es esto;

Un campo magnético senoidal que se propaga en la dirección del eje y y que vibra en la dirección del eje x, y a partir de el obtener la onda correspondiente al campo eléctrico, pero parece que no tengo aún las cosas muy claras y que continuo equivocado. ¿Como se representaría?
Creo que también me equivoque al poner $\nabla=(0,0,\frac{\partial }{\partial x})$, debiera haber puesto
$\nabla=( \frac{\partial}{\partial_x},0,0)$ ¿No es asi?
- - - Actualizado - - -

Lo tendré en cuenta, hasta ahora usaba la notación de las matrices. Ya he visto como se utiliza la notación correcta.

[arivasm]

Re: Sobre ondas electromagnéticas y circuito oscilante L C

Yo lo que quería expresar es esto;
[ATTACH=CONFIG]12732[/ATTACH]
Un campo magnético senoidal que se propaga en la dirección del eje y y que vibra en la dirección del eje x, y a partir de el obtener la onda correspondiente al campo eléctrico, pero parece que no tengo aún las cosas muy claras y que continuo equivocado. ¿Como se representaría?

$\vec B=B_0\sin(\omega t-ky)\vec u_x$

Bueno, en realidad, si el instante t=0 está elegido de manera que sea el que representa el dibujo debería ser $\vec B=-B_0\cos(\omega t-ky)\vec u_x$ (por como apunta el campo magnético en el origen)

Creo que también me equivoque al poner $\nabla=(0,0,\frac{\partial }{\partial x})$, debiera haber puesto
$\nabla=( \frac{\partial}{\partial_x},0,0)$ ¿No es asi?

En rigor, como te dije antes, $\nabla=( \frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z})$

Otra cosa es que tomes atajos y digas "como aquí estoy dando por hecho que sólo habrá variaciones en sentido Y entonces me puedo ahorrar las otras dos derivadas parciales". Mi consejo es no actuar así, al menos mientras se está aprendiendo.

[Lorentz]

Re: Sobre ondas electromagnéticas y circuito oscilante L C

Bueno, en realidad, si el instante t=0 está elegido de manera que sea el que representa el dibujo debería ser (por como apunta el campo magnético en el origen)

Como te indica Arivasm el campo magnético que quieres expresar es el que te indica él. Sin embargo, me gustaría añadir una cosa que a lo mejor te puede aclarar algo, ya que pareces tener cierta confusión en qué es lo que representa la dirección en que oscila y en que se desplaza la onda.

El campo magnético es una magnitud vectorial que en este caso está oscilando transversalmente en el eje X pero sin embargo la onda se desplaza en el eje Y. Puede verse esto mejor si ves la velocidad de fase, es decir, la velocidad a la que se propaga la fase en el espacio. Para ello hacemos lo siguiente:

$\dst \omega t - k y=cte$

Que nos indica todos los puntos que comparten la misma fase.

Derivamos con respecto al tiempo a ambos lados de la igualdad:

$\dst \omega - k \frac{dy}{dt}=0$

Entonces:

$\dst v_f=\frac{dy}{dt}=\frac{\omega}{k}$

Si te das cuenta, esta velocidad de fase está referida a la coordenada $y$. La fase se está propagando en esa dirección, pero como hemos mencionado antes, oscila en la dirección X.

Como último inciso, mencionar que esta velocidad de fase puede ser mayor que la velocidad de la luz sin problemas. Esto no viola nada, ya que la velocidad a la que se propaga la energía de la onda es la velocidad de grupo (no la de fase), que siempre es menor o igual que la velocidad de la luz.

Un saludo

[inakigarber]

Re: Sobre ondas electromagnéticas y circuito oscilante L C

[TEX]...Otra cosa es que tomes atajos y digas "como aquí estoy dando por hecho que sólo habrá variaciones en sentido Y entonces me puedo ahorrar las otras dos derivadas parciales". Mi consejo es no actuar así, al menos mientras se está aprendiendo.

Lo hice porque me pareció más fácil, pero quizá fue una decisión equivocada. Supongo que me queda mucho por aprender. Siempre tengo la sensación de que solo araño la superficie no llegando nunca a lo profundo de las cosas.

[Lorentz]

Re: Sobre ondas electromagnéticas y circuito oscilante L C

Si quieres tener más claro lo del operador nabla, deberías buscar información en libros destinados a cursos de cálculo en varias variables, al menos cuando lo di en su momento me lo explicaron con profundidad, ya que era imprescindible para estudiar y "demostrar" los teoremas de Stokes y Gauss.

[Weip]

Re: Sobre ondas electromagnéticas y circuito oscilante L C

Hola inakigarber.

Lo hice porque me pareció más fácil, pero quizá fue una decisión equivocada. Supongo que me queda mucho por aprender. Siempre tengo la sensación de que solo araño la superficie no llegando nunca a lo profundo de las cosas.

Para comprender el electromagnetismo y las ecuaciones de Maxwell primero has de ver algunas matemáticas. Si miras libros o apuntes lo que encontrarás es que en todos sitios se asume que se conoce el análisis vectorial y el cálculo en varias variables. En internet puedes encontrar muchos documentos y libros que te lo explican, en este enlace puedes ver uno que está bien. Te explica lo que es el gradiente, la divergencia, el rotacional y los resultados más importantes acerca de ellos: teoremas de Green, Stokes y Gauss. Como motivación a su estudio, estos teoremas se aplican habitualmente en electromagnetismo para pasar de ecuaciones con integrales a ecuaciones diferenciales según convenga. Habrá problemas en que será mejor aplicar las leyes en una forma u otra. También te permetirán entender cosas como las ecuaciones de Maxwell, la ecuación de continuidad, la conservación de la carga eléctrica, los campos conservativos... y de paso encontrarás aplicaciones interesantes a la gravedad newtoniana. Sé que con este mensaje lo que hago es "ponerte más trabajo", pero todo necesita un orden, y en cuanto domines el análisis vectorial podrás tirar millas en electromagnetismo, fluidos, y otras ramas de la Física.