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Hola.
El problema se trata de calcular el potencial debido a un sistema constituido por una esfera conductora conectada a tierra (a potencial ) de radio y una carga puntual a una cierta distancia , medida desde el centro de la esfera.
El método propuesto en la bibliografía para la resolución del problema se basa en el uso del denominado método de las imágenes: introducir otro sistema de cargas de tal manera que las condiciones de contorno del problema original y la situación virtual nueva sean las mismas, y concluir por el teorema de unicidad de la ecuación de Laplace que el potencial buscado es el correspondiente a la distribución de cargas virtual.
El problema que tengo es que en la bibliografía parece que dan al problema un cierto carácter bidimensional, ya que al calcular el potencial producido en un punto genérico del espacio (fuera de la esfera) por la carga y la carga imagen situada a una distancia (del centro de la esfera y en la misma línea que une el centro con la carga y con ), se usa el teorema del coseno, relacionando uno de los ángulos de coordenadas esféricas y la coordenada radial , pero no aparece la otra coordenada esférica angular; es como si trabajaran con coordenadas polares planas, sin ninguna referencia a una tercera variable.
El problema se trata de calcular el potencial debido a un sistema constituido por una esfera conductora conectada a tierra (a potencial ) de radio y una carga puntual a una cierta distancia , medida desde el centro de la esfera.
El método propuesto en la bibliografía para la resolución del problema se basa en el uso del denominado método de las imágenes: introducir otro sistema de cargas de tal manera que las condiciones de contorno del problema original y la situación virtual nueva sean las mismas, y concluir por el teorema de unicidad de la ecuación de Laplace que el potencial buscado es el correspondiente a la distribución de cargas virtual.
El problema que tengo es que en la bibliografía parece que dan al problema un cierto carácter bidimensional, ya que al calcular el potencial producido en un punto genérico del espacio (fuera de la esfera) por la carga y la carga imagen situada a una distancia (del centro de la esfera y en la misma línea que une el centro con la carga y con ), se usa el teorema del coseno, relacionando uno de los ángulos de coordenadas esféricas y la coordenada radial , pero no aparece la otra coordenada esférica angular; es como si trabajaran con coordenadas polares planas, sin ninguna referencia a una tercera variable.
Según este sistema de referencia, la distancia entre y es y por analogía, entre y , , y de esta manera
donde el objetivo es determinar y en función de los datos del problema. Se hace y tal, imponiendo las condiciones de contorno en dos puntos de la superficie de la esfera y resolviendo el sistema de ecuaciones resultante.
Pero el problema es que aparentemente se ha calculado este potencial en el plano, como dije antes. Es más, en la bibliografía luego se concluye que una de las componentes del campo (aquella donde aparece la derivada parcial del potencial con respecto a la variable angular que no aparece) es 0, porque el potencial no es función de esta variable. Hombre, lógico, si se resuelve el problema en el plano.
En fin, que creo que tal vez debería resolverse el problema con la dependencia total del potencial con respecto a las tres variables de coordenadas esféricas; lo que me desquicia es que todos los autores lo hacen así en el plano, y no sé qué es lo que ocurre.
¿Alguien se anima a intentar explicarme qué es lo que está ocurriendo? ¿Por qué lo resuelve todo el mundo en el plano?
Saludos.
Pero el problema es que aparentemente se ha calculado este potencial en el plano, como dije antes. Es más, en la bibliografía luego se concluye que una de las componentes del campo (aquella donde aparece la derivada parcial del potencial con respecto a la variable angular que no aparece) es 0, porque el potencial no es función de esta variable. Hombre, lógico, si se resuelve el problema en el plano.
En fin, que creo que tal vez debería resolverse el problema con la dependencia total del potencial con respecto a las tres variables de coordenadas esféricas; lo que me desquicia es que todos los autores lo hacen así en el plano, y no sé qué es lo que ocurre.
¿Alguien se anima a intentar explicarme qué es lo que está ocurriendo? ¿Por qué lo resuelve todo el mundo en el plano?
Saludos.
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