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Método de imágenes; esfera conductora conectada a tierra y carga puntual

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  • 1r ciclo Método de imágenes; esfera conductora conectada a tierra y carga puntual

    Hola.

    El problema se trata de calcular el potencial debido a un sistema constituido por una esfera conductora conectada a tierra (a potencial ) de radio y una carga puntual a una cierta distancia , medida desde el centro de la esfera.

    El método propuesto en la bibliografía para la resolución del problema se basa en el uso del denominado método de las imágenes: introducir otro sistema de cargas de tal manera que las condiciones de contorno del problema original y la situación virtual nueva sean las mismas, y concluir por el teorema de unicidad de la ecuación de Laplace que el potencial buscado es el correspondiente a la distribución de cargas virtual.

    El problema que tengo es que en la bibliografía parece que dan al problema un cierto carácter bidimensional, ya que al calcular el potencial producido en un punto genérico del espacio (fuera de la esfera) por la carga y la carga imagen situada a una distancia (del centro de la esfera y en la misma línea que une el centro con la carga y con ), se usa el teorema del coseno, relacionando uno de los ángulos de coordenadas esféricas y la coordenada radial , pero no aparece la otra coordenada esférica angular; es como si trabajaran con coordenadas polares planas, sin ninguna referencia a una tercera variable.



    Según este sistema de referencia, la distancia entre y es y por analogía, entre y , , y de esta manera



    donde el objetivo es determinar y en función de los datos del problema. Se hace y tal, imponiendo las condiciones de contorno en dos puntos de la superficie de la esfera y resolviendo el sistema de ecuaciones resultante.

    Pero el problema es que aparentemente se ha calculado este potencial en el plano, como dije antes. Es más, en la bibliografía luego se concluye que una de las componentes del campo (aquella donde aparece la derivada parcial del potencial con respecto a la variable angular que no aparece) es 0, porque el potencial no es función de esta variable. Hombre, lógico, si se resuelve el problema en el plano.

    En fin, que creo que tal vez debería resolverse el problema con la dependencia total del potencial con respecto a las tres variables de coordenadas esféricas; lo que me desquicia es que todos los autores lo hacen así en el plano, y no sé qué es lo que ocurre.

    ¿Alguien se anima a intentar explicarme qué es lo que está ocurriendo? ¿Por qué lo resuelve todo el mundo en el plano?

    Saludos.

  • #2
    Re: Método de imágenes; esfera conductora conectada a tierra y carga puntual

    Hay infinitos planos que contienen la carga y el centro de la esfera, y puedes pasar de uno a otro simplemente cambiado el valor de la variable azimutal. Si te das cuenta, cada uno de esos planos es equivalente, hay simetría axial al rededor del eje que forman esos dos puntos. Por lo tanto, el potencial no puede depender del ángulo azimutal.
    La única alternativo a ser Físico era ser etéreo.
    @lwdFisica

    Comentario


    • #3
      Re: Método de imágenes; esfera conductora conectada a tierra y carga puntual

      Escrito por pod Ver mensaje
      Hay infinitos planos que contienen la carga y el centro de la esfera, y puedes pasar de uno a otro simplemente cambiado el valor de la variable azimutal. Si te das cuenta, cada uno de esos planos es equivalente, hay simetría axial al rededor del eje que forman esos dos puntos. Por lo tanto, el potencial no puede depender del ángulo azimutal.
      No parece mal argumento. A ver si tengo un momento y lo demuestro.

      Comentario


      • #4
        Re: Método de imágenes; esfera conductora conectada a tierra y carga puntual

        Escrito por Metaleer Ver mensaje
        No parece mal argumento. A ver si tengo un momento y lo demuestro.
        Por un momento, has parecido un matemático
        La única alternativo a ser Físico era ser etéreo.
        @lwdFisica

        Comentario


        • #5
          Re: Método de imágenes; esfera conductora conectada a tierra y carga puntual

          Escrito por pod Ver mensaje
          Por un momento, has parecido un matemático
          Jej. Es que aparte de los razonamientos de simetría y tal, no me parece mal realizar el cálculo completo para corroborarlo.

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          • #6
            Re: Método de imágenes; esfera conductora conectada a tierra y carga puntual

            Bueno, al final era una tontería. El truco está en colocar las cargas sobre el origen del ángulo polar (eje Z; yo las colocaba en otro eje, por eso no salía), y así sí se ve la independencia del potencial con respecto al otro ángulo de coordenadas esféricas.
            Última edición por Metaleer; 24/08/2009, 12:24:51.

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            • #7
              Re: Método de imágenes; esfera conductora conectada a tierra y carga puntual

              Escrito por Metaleer Ver mensaje
              Bueno, al final era una tontería. El truco está en colocar las cargas sobre el origen del ángulo polar (eje Z; yo las colocaba en otro eje, por eso no sabía), y así sí se ve la independencia del potencial con respecto al otro ángulo de coordenadas esféricas.
              Bueno, si tienes un problema con simetría axial, tienes que poner el eje OZ en el eje de simetría. Por eso te decía que era obvio y que queriendo demostrar lo obvio pareces matemático
              La única alternativo a ser Físico era ser etéreo.
              @lwdFisica

              Comentario


              • #8
                Re: Método de imágenes; esfera conductora conectada a tierra y carga puntual

                Escrito por pod Ver mensaje
                Bueno, si tienes un problema con simetría axial, tienes que poner el eje OZ en el eje de simetría. Por eso te decía que era obvio y que queriendo demostrar lo obvio pareces matemático
                Ya, si el eje Z es el eje de simetría se ve, aunque haciéndolo formalmente (de forma analítica, sustituyendo las expresiones de cartesianas a esféricas y usando identidades trigonométricas) también sale. Es casi siempre mejor hacerlo de forma analítica cuando se tiene la más mínima duda de que si hay simetría o no, de que si tal componente se anula o no, etc...

                Y por cierto, los matemáticos no demuestran cosas obvias solamente.

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