Calcular potencia que puede realizar un fluido

[juan991]

Hola, buenas a todos! Tengo el siguiente problema, y no termino de darme cuenta que ecuaciones utilizar para resolverlo.

El problema reza la siguiente:
Suponiendo que se tiene un depósito de agua abierto a la atmosfera a cierta altura, del cual, por medio de una tubería se procede a conducir el agua hasta a un nivel inferior. El recorrido de la tubería termina entonces más abajo, en donde se encontrara con una turbina hidroeléctrica que desemboca el agua a la atmosfera. Lo que se pretende calcular entonces será la potencia que podrá desarrollar la turbina teniendo en cuenta las perdidas de carga.

Los datos del problema son:
-El diámetro y la sección de la tubería.
-La altura desde el nivel del agua del tanque hasta la turbina.
-La longitud de la tubería (que en realidad para este problema a efectos de simplificar se usara el mismo valor que la altura del nivel del agua en el tanque hasta la turbina).
-Y por último la rugosidad de la tubería

Para calcular la potencia seguí el siguiente procedimiento:
Primero que nada plantee la fórmula de potencia para fluidos: $W=P*Q$

Donde:
W es la potencia que podrá realizar el agua sobre la turbina.
P es la presión.
Q es el caudal.

Entonces, con esta expresión ya planteada me puse primero que nada a intentar calcular el caudal.
Para ello procedí a calcular la velocidad, donde emplee las siguientes ecuaciones:

Ecuación de Bernoulli para fluidos reales, donde de ahí despeje la velocidad.

Luego para hallar las perdidas de carga use la ecuación de Darcy Weisbach.

Y para calcular el factor de fricción utilicé la ecuacion Swamee y Jain.

Como resultado me quedo una ecuación que se tendrá que iterar para resolverla, ya que el valor que se pretende hallar (la velocidad) aparece en ambos lados de la igualdad.

Entonces para resolver la ecuación resultante me vi obligado a utilizar Excel.

Luego finalmente, con el valor de velocidad encontrado procedí a calcular el caudal.

El paso restante sería entonces hallar la presión y multiplicarla por el caudal para finalmente calcular la potencia.

Y es una vez llegado a este punto donde no sé cómo avanzar.
Mi duda está en que valor de presión utilizar.
Donde me pregunto si sería válido usar la presión hidrostática. ¿O habría que utilizar un valor de presión que tome en cuenta las perdidas de carga al igual que pasa con la velocidad?

Entonces, procedo a preguntarles a ustedes:
¿Está bien el procedimiento que seguí?
¿De ser así, como puedo hacer para calcular la presión?

Gracias por leer, y agradezco profundamente a cualquiera que me pueda dar una mano.

¡Saludos cordiales a toda la comunidad!

[JCB]

Hola a tod@s.

Aplicando Bernoulli entre un punto (1) de la superficie libre del agua en el depósito y un punto en la entrada (E) de la turbina,

$\cancelto{0}{\dfrac{p_1}{\rho g}}+h_1+\cancelto{0}{\dfrac{v_1^2}{2g}}-\Delta h_{1E}=\dfrac{p_E}{\rho g}+h_E+\dfrac{v_E^2}{2g}$

Por la ecuación de continuidad, y como el diámetro de la tubería es constante, la velocidad del agua en toda la tubería también es constante, $v=v_E$. Considerando $\Delta h_{1E}=f\dfrac{L}{D}\dfrac{v^2}{2g}$,

$\dfrac{v^2}{2g}\left(1+f\dfrac{L}{D}\right)=h_1-h_E-\dfrac{p_E}{\rho g}$

Al ser $f=f(v)$, queda una ecuación con dos incógnitas, $v$ y $\dfrac{p_E}{\rho g}$. No acabo de ver cómo se puede determinar $v$, sin conocer la presión manométrica en la entrada de la turbina.

Saludos cordiales,
JCB.

[juan991]

Hola a tod@s.

Aplicando Bernoulli entre un punto (1) de la superficie libre del agua en el depósito y un punto en la entrada (E) de la turbina,

$\cancelto{0}{\dfrac{p_1}{\rho g}}+h_1+\cancelto{0}{\dfrac{v_1^2}{2g}}-\Delta h_{1E}=\dfrac{p_E}{\rho g}+h_E+\dfrac{v_E^2}{2g}$

Por la ecuación de continuidad, y como el diámetro de la tubería es constante, la velocidad del agua en toda la tubería también es constante, $v=v_E$. Considerando $\Delta h_{1E}=f\dfrac{L}{D}\dfrac{v^2}{2g}$,

$\dfrac{v^2}{2g}\left(1+f\dfrac{L}{D}\right)=h_1-h_E-\dfrac{p_E}{\rho g}$

Al ser $f=f(v)$, queda una ecuación con dos incógnitas, $v$ y $\dfrac{p_E}{\rho g}$. No acabo de ver cómo se puede determinar $v$, sin conocer la presión manométrica en la entrada de la turbina.

Saludos cordiales,
JCB.

Hola, que tal? Gracias por responder a mi pregunta.

Entiendo lo que me comentas, y es ahí donde estoy complicado.
Yo me pregunto si sería válido hallar la presión manométrica en la turbina aparte, donde para este caso aplicaría la fórmula de presión hidrostática.
Y eso sería lo primero que haría, para luego aplicar Bernoulli.
Entonces una vez hallada la presión manométrica y la velocidad podría ya calcular la potencia.

¿Me pregunto si la forma de proceder que estoy detallando es correcta?

Así sería mi proceder a nivel matemático:

Primero calculo la presión en la turbina, para ello como explique antes usaré la fórmula de presión hidrostática
(siendo este el paso que considero más dudoso)

$p_E={(h_1-h_E)}{\rho g}$

Luego, como ya detallo JCB aplicamos Bernoulli:

$\cancelto{0}{\dfrac{p_1}{\rho g}}+h_1+\cancelto{0}{\dfrac{v_1^2}{2g}}-\Delta h_{1E}=\dfrac{p_E}{\rho g}+h_E+\dfrac{v_E^2}{2g}$

$\dfrac{v^2}{2g}\left(1+f\dfrac{L}{D}\right)=h_1-h_E-\dfrac{p_E}{\rho g}$


Solo que esta vez como conocemos la presión podremos seguir adelante despejando $v$

Finalmente obtenemos:
(La expresión esta reordenada y simplificada)


$v=\sqrt{\dfrac{2g\left(-\frac{P_\text{E}}{g{\rho}}-h_\text{e}+h_1\right)}{\frac{fl}{d}+1}}$

Y como $f(v)$ se tendrá que iterar hasta obtener el valor correcto de velocidad.

Ahora ya es posible obtener el caudal:

$Q=Sv$

Y por último para hallar la potencia:

$P_ot=Qp_E$

Donde también tengo la duda de si es correcto para hallar la potencia utilizar la presión $p_E$ anteriormente calculada.


Gracias por leer.
Aguardo cualquier respuesta atentamente.
Saludos cordiales.

[JCB]

Hola a tod@s.

Considerar que la presión en la entrada de la turbina es simplemente la presión hidrostática, implica despreciar las pérdidas de carga en la tubería y también despreciar la energía cinética del agua. Recordando la aplicación de Bernoulli entre un punto (1) de la superficie libre del agua en el depósito, y un punto en la entrada (E) de la turbina,

$\cancelto{0}{\dfrac{p_1}{\rho g}}+h_1+\cancelto{0}{\dfrac{v_1^2}{2g}}-\Delta h_{1E}=\dfrac{p_E}{\rho g}+h_E+\dfrac{v_E^2}{2g}$

$\dfrac{p_E}{\rho g}=h_1-h_E-\Delta h_{1E}-\dfrac{v_E^2}{2g}$

Si $\Delta h_{1E}\approx 0$, y $\dfrac{v_E^2}{2g}\approx 0$,

$\dfrac{p_E}{\rho g}=h_1-h_E$

$p_E=\rho g(h_1-h_E)$

Supongo que en algunos casos concretos pueda resultar una primera aproximación. En la práctica, es tan sencillo como instalar un manómetro en la entrada de la turbina.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Hola a todos, cuando se dimensiona una central hidroeléctrica, ya se viene observando en los estudios previos, varios parámetros que estiman la potencia final que podrá dar la central.

El desnivel máximo entre la cota máxima de embalse y las aguas abajo.
El caudal del rio,
La estacionalidad de los afluentes.

Con eso en mente ya se tiene una idea de que tipo de rodete se usar, Kaplan,Pelton,Francis. etc. alli se toma una decisión
Luego dado el espacio disponible,por la topgrafia del terreno, y una relación coste tamaño , se sabe cuantas turbinas se ponen en el proyecto y el tamaño del aliviadero.
Pero en definitiva la presión a la entrada de la turbina, es un parámetro que debe ser dado previamente para hacerla eficiente y eficaz.
Luego sabes con eso el rendimiento que tendrás y de ahi sacas la potencia eléctrica total del proyecto, previo a la transmisión y transformación.

Por eso P_E, tengo muy pocas dudas de que debe ser un dato de diseño, lo que tienes que calcular es el caudal que satisfaga tener esa presión a la entrada de la turbina.
La potencia bruta sera esa presión manométrica por el caudal de la linea, que lo calculas como lo han hecho por Bernoulli entre la cota de referencia, a velocidad nula y presión atmosférica, y por el otro la cota inferior de instalación del rodete, la velocidad de linea y la presión necesaria para el optimo funcionamiento de la generación, ya que deberíamos intentar que la velocidad de flujo sea constante, y con pequeñas variaciones de velocidad angular para que todos los rodetes generen en fase.

En definitiva estando dentro del posible salto de presión para el tipo de turbina se dimensionan los rodetes en función del caudal posible de sostener como media en el tiempo.

La operatoria normal, funcionaria a la inversa, la idea es mantener la cota del embalse h a un nivel en el cual descontando las perdidas en la tubería garantice la presión a la entrada y el caudal, para que la velocidad angular del rodete, sea muy aproximado a un múltiplo de la frecuencia angular de generación.

[JCB]

Hola a tod@s.

Se me ha ocurrido el siguiente ejercicio: sea una tubería de diámetro interno $D=0,2\ m$, longitud $L=2.000\ m$ y rugosidad absoluta $\epsilon=0,05\ mm$. Ésta conduce agua a una temperatura de $20\ ^{\circ}C\ (\rho=998\ kg/m^3, \mu=1,0020\cdot 10^{-3}\ Pa\cdot s)$. La altura de la superficie libre del agua en el depósito es $h_1=100\ m$. La turbina está situada en el origen de la altura geodésica, $h_E=h_S=0\ m$.

Aplicando Bernoulli, esta vez entre un punto 1 (situado en la superficie libre del agua en el depósito) y un punto S, situado en la salida de la turbina,

$\cancelto{0}{\dfrac{p_1}{\rho g}}+h_1+\cancelto{0}{\dfrac{v_1^2}{2g}}-\Delta h_{1S}-H_T=\cancelto{0}{\dfrac{p_S}{\rho g}}+\cancelto{0}{h_S}+\cancelto{0}{\dfrac{v_S^2}{2g}}$

Considerando $\Delta h_{1S}\approx \Delta h_{1E}$, a pesar de que $\Delta h_{1S}>\Delta h_{1E}$, ya que $\Delta h_{1S}$ debe incluir a la pérdida de carga interna de la turbina. De esta manera,

$H_T=h_1-\Delta h_{1E}=h_1-f\dfrac{L}{D}\dfrac{v^2}{2g}$

Si bien de momento desconozco la velocidad, aplico Swamee-Jain (https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci...de_Swamee-Jain) para régimen turbulento,

$f=\dfrac{0,25}{\left(\log\left(\dfrac{\epsilon/D}{3,7}\right)\right)^2}=0,0144$

Nota: gracias por la aportación de esta ecuación, juan991 (hasta hoy, era totalmente desconocida para mí).

La potencia absorbida por la turbina es

$$P=\rho gQH_T=\rho gv\dfrac{\pi}{4}D^2H_T=\dfrac{\rho gv\pi D^2}{4}\left(h_1-f\dfrac{L}{D}\dfrac{v^2}{2g}\right)$$

quedando ésta en función de la velocidad, todavía desconocida.

En este punto obtengo la velocidad que optimiza la potencia, derivándola,

$\dfrac{dP}{dv}=0$, llegando a que $v=\sqrt{\dfrac{2gDh_1}{3fL}}=2,13\ m/s$. Ahora ya puedo comprobar si el régimen es turbulento. Resulta que sí, pues $Re=424.671,91$. Luego, el valor de $f$ se ha obtenido de manera correcta.

Sustituyendo $v=2,13\ m/s$ en (1),

$P=43,67\ kW$

Saludos cordiales,
JCB.