1r ciclo Problema, sobre un depósito y sus orificios

[rosaleda]

Hola buenas tardes a todos. Me gustaría plantear una duda que tengo con un problema el cual por mas que lo miro no soy capaz de resolver adecuadamente.

De un depósito de agua, abierto a la atmósfera, sale liquido por dos orificios situados en la misma vertical. Los dos chorros cortan al plano horizontal, donde descansa el recipiente, en un mismo punto. La altura del líquido, que se supone constante, en el interior del depósito es de 90 cm, y el orificio mas elevado se halla 16 cm por debajo de la superficie del líquido. ¿Donde se encuentra el otro?
SOLUCION: A 16 cm del fondo del depósito.

Le he dado muchas vueltas, pero hay algo que se me escapa, he pensado en calcular la presión que hay en la línea donde está el segundo agujero, y a partir de ahí con la ecuación de la continuidad de los fluidos sacar la altura, pero no se como calcular la presión. Puedo calcular la presión en el primer orificio, y la final, pero aun con eso sigo sin ver la relación con la altura del segundo orificio. igual no voy por el camino correcto... Voy a adjuntar un dibujo sobre como yo entiendo el planteamiento.

[Metaleer]

Re: Problema, sobre un depósito y sus orificios

Hola.

Sea $H$ la altura del depósito de agua, y sea $y_0$ la altura, medida desde el suelo, de un orificio que nosotros hagamos para que salga agua. Por el Teorema de Torricelli, la velocidad de salida del agua del orificio será una cosa tal que

$\displaystyle v = \sqrt{2 g (H - y_0)}.$

Podemos aplicar al chorro las ecuaciones de tiro parabólico, teniendo en cuenta que no hay componente inicial de velocidad en el eje $Y$.

$x = v t,$

$\displaystyle y = y_0 - \frac{1}{2} g t^2,$

y para saber el tiempo que tarda en llegar al suelo, se tiene que tener $y = 0$, entonces $\displaystyle t = \sqrt{\frac{2 y_0}{g}}$, y por tanto la distancia horizontal recorrida será

$\displaystyle x = vt = \sqrt{2 g (H - y_0)}\sqrt{\frac{2 y_0}{g}} = \sqrt{4 (H - y_0) y_0} .$

Vamos a desarrollar esto un poco:

$$\begin{aligned}x & = \sqrt{4 (H - y_0) y_0} \Rightarrow x^2 = 4 (H - y_0) y_0 \Rightarrow x^2 = 4 (H y_0 - y_0^2) \\ & \Rightarrow x^2 = 4H y_0 - 4 y_0^2 \Rightarrow 4 y_0^2 - 4H y_0 + x^2 = 0 \Rightarrow \boxed{y_0^2 - H y_0 + \frac{x^2}{4} = 0,}\end{aligned}$$

es decir, en principio (dependiendo del discriminante), para cada valor de $x$, distancia horizontal recorrida por el chorro, existen dos valores de $y_0$, altura a la que se localiza el orificio.

Para calcular el valor común $x$, usas los datos que te dan:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Lo único que queda ahora es usar este valor de $x$ en la ecuación de segundo grado $\displaystyle y_0^2 - H y_0 + \frac{x^2}{4} = 0$. Una de las soluciones va a ser el valor que ya sabes del enunciado, los $0,9 - 0,16 = 0,74~ \text{m}$. La otra solución es la que te interesa, y en efecto, da $0,16~ \text{m}$.

Saludos.

[rosaleda]

Re: Problema, sobre un depósito y sus orificios

Gracias por la aclaración, ya he realizado el ejercicio, aunque la verdad que iba yo muy perdido. Gracias.