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Despues de tanto tiempo sin adentrarnos en el maravilloso mundo de la Loop Quantum Gravity vamos a ver si hacemos un esfuerzo y presentamos algunas cuestiones en las que se está trabajando actualmente.
Primero haremos una breve discusión de las bases conceptuales de esta teoría, fundamentalmente para indicar donde están sus puntos oscuros.
¿Cuál es la base de LQG?
LQG toma la teoría de Einstein, Relatividad General, como punto de partida. Es decir, asume la existencia de un espaciotiempo continuo sin la presencia de un fondo métrico prefijado.
Este punto es esencial en RG, ya que la métrica es el "campo" de la teoría que interacciona con la "materia" (en RG se denomina materia a todo aquello que no es gravedad) y por tanto está sujeta a una dinámica.
Por así decirlo, LQG es fiel a RG y es un intento de cuantizarla lo más fielmente posible. No hace uso de dimensiones extra o de supersimetría. Esto no quiere decir que LQG no sea compatible con estos conceptos, simplemente no los necesita en su estado actual.
En caso de descubrirse las dimensiones extra o la supersimetría se podrían incluir en la teoría de forma consistente.
La principal característica de un intento de cuantización sobre un espaciotiempo sin una métrica prefijada es que esta cuantización no se puede hacer perturbativamene. Usualmente en teoría cuántica de campos para describir una interacción efectuamos un desarrollo en serie desarrollando las cantidades alrededor de un valor de un parámetro (usualemente la constante de acoplo del campo involucrado). En RG no podemos hacer esto porque la serie no converge, y los términos en si mismos serían divergentes. RG cuántica no es renormalizable.
¿Cuál es el ingrediente esencial de LQG?
Ashtekar mostró cómo RG se podía describir de una forma análoga a las teorías gauge. Como es sabido las teorías gauge se describen en base a lo que se conoce como potenciales gauge.
En RG podemos hacer una descripción del espaciotiempo en lo que se conoce como descomposición 3+1. Elegimos una dirección que identificamos localmente como un tiempo el 1, y las hipersuperficies tridimensionales que quedan como espaciales, el 3.
Esta elección denominada descomposición ADM es arbitraria ya que RG no identifica ninguna de las cuatro componentes espaciotemporales como el tiempo, lo que da lugar al conocido como problema del tiempo en Gravedad Cuántica.
Lo interesante es lo siguiente, cuando tenemos una descomposición 3+1 la métrica en cuatro dimensiones g, induce una métrica sobre las hipersuperficies tridimensionales q. Pero estos espacios tridimensionales tendrán una cierta curvatura al verlas embebidas en el espacio de cuatros dimensiones, esto viene descrito por la segunda forma fundamental,K, del espacio tridimensional.
Pues bien, en estas hipersuperficies podemos definir el siguiente objeto:
Este objeto describe como cambian los vectores al ir de un punto a otro, descrito por , y como se ven influidos por la curvatura de la hipersuperficie, dado por la segunda forma fundamental .
es un parámetro real indeterminado. Se conoce como parámetro de Barbero-Immirzi, es un parámetro libre de la teoría que ha de ser determinado a través de argumentos físicos.
La cuestión esencial es que si uno desarrolla una teoría en base a esta A, conexión de Ashtekar, su cuantización no es posible. Sin embargo, esto no es problema porque como sabemos de teorías gauge dado un potencial gauge, la A, podemos describir la misma teoría empleando un objeto relacionado, su holonomía.
Una holonomía es el valor que tiene una determinada integral del objeto A a lo largo de un camino cerrado sobre un espacio. A este camino cerrado se le denomina loop, por esto se conoce a la teoría como Loop Quantum Gravity.
Resulta que la teoría se puede cuantizar si empleamos las holonomías en vez de los potenciales puros y duros.
Esta es una interesante dualidad que ya fue promulgada por Faraday, un campo se puede describir como una función que toma valores en cada punto, en nuestro caso la A, o como las líneas de campo, que son estas integrales que acabamos de describir, las holonomías. El paso de una a otra es directo a nivel clásico.
(Notemos que las líneas de campo eléctrico de una carga son lineas abiertas, pero si no tenemos cargas las líneas de campo son cerradas para verificar la ley de Gauss, esto son los análogos a los Loops)
Lo que ocurre es que el espaciotiempo sufre una discretización, ahora solo tiene sentido hablar de estas líneas, fuera de ellas no hay gravedad y no se puede definir la materia.
Los estados cuánticos y estructura discreta del espaciotiempo
Una vez que hemos cuantizado la teoría podemos describir las funciones de onda, estas funciones de onda dependerán de las holonomías de las conexiones sobre los loops.
Pero tenemos un problema tenemos una sobredeterminación de estados si empleamos loops.
Sin embargo esto se soluciona cuando uno se da cuenta que toda descripción basada en Loops se puede redescribir en base a lo que se conoce como grafos. Los grafos son líneas unidas en vértices. Uno puede pasar de un grafo a una descripción de Loops de forma directa. Lo interesante es que podemos definir estados invariantes bajo transformaciones gauge. Lo malo es que cualquier difeomorfismo cambiará el grafo, y dará estados distintos, por lo tanto si describimos una base de estados esta será infinita y no contable, lo que hace que el espacio de Hilbert no sea separable. Estos estados definidos sobre grafos, es decir, los estados cuyas funciones de onda dependen de las holonomías sobre los lados del grafo, se denominan spin-networks. Este concepto fué introducido por Roger Penrose sobre la base de otros argumentos.
Pero si hablamos de espacio de Hilbert es que tenemos definido un producto interno. Y en efecto lo tenemos, en LQG. Pero existe un problemilla, qué pasa si elegimos otro producto interno en el espacio de spin-networks. Esto es elegir otra representación para los observables cuánticos. En mecánica cuántica sabemos que toda representación es equivalente a la usual de Schrödinger, es decir, cualquier conjunto de observables elegidos (algebra de operadores) es unitariamente equivalente a la usual , es lo que se conoce como teorema de Stone-von Neumann.
En teoría cuántica de campos esto no se cumple en general cuando trabajamos en espacios curvos, es decir, podemos tener representaciones inequivalentes que dan lugar a diferentes físicas, hay que elegir la adecuada en términos físicos y no solo matemáticos.
Pues bien, en LQG, la invariancia bajo difeomorfismos asegura que la representación asociada a los spin-networks es la única posible. Existe un teorema de unicidad.
Proximamente...
Queda por hablar de:
a) Operadores geométricos
b) Dinámica
c) Propagador del gravitón
d) Entropía de un agujero negro.
Primero haremos una breve discusión de las bases conceptuales de esta teoría, fundamentalmente para indicar donde están sus puntos oscuros.
¿Cuál es la base de LQG?
LQG toma la teoría de Einstein, Relatividad General, como punto de partida. Es decir, asume la existencia de un espaciotiempo continuo sin la presencia de un fondo métrico prefijado.
Este punto es esencial en RG, ya que la métrica es el "campo" de la teoría que interacciona con la "materia" (en RG se denomina materia a todo aquello que no es gravedad) y por tanto está sujeta a una dinámica.
Por así decirlo, LQG es fiel a RG y es un intento de cuantizarla lo más fielmente posible. No hace uso de dimensiones extra o de supersimetría. Esto no quiere decir que LQG no sea compatible con estos conceptos, simplemente no los necesita en su estado actual.
En caso de descubrirse las dimensiones extra o la supersimetría se podrían incluir en la teoría de forma consistente.
La principal característica de un intento de cuantización sobre un espaciotiempo sin una métrica prefijada es que esta cuantización no se puede hacer perturbativamene. Usualmente en teoría cuántica de campos para describir una interacción efectuamos un desarrollo en serie desarrollando las cantidades alrededor de un valor de un parámetro (usualemente la constante de acoplo del campo involucrado). En RG no podemos hacer esto porque la serie no converge, y los términos en si mismos serían divergentes. RG cuántica no es renormalizable.
¿Cuál es el ingrediente esencial de LQG?
Ashtekar mostró cómo RG se podía describir de una forma análoga a las teorías gauge. Como es sabido las teorías gauge se describen en base a lo que se conoce como potenciales gauge.
En RG podemos hacer una descripción del espaciotiempo en lo que se conoce como descomposición 3+1. Elegimos una dirección que identificamos localmente como un tiempo el 1, y las hipersuperficies tridimensionales que quedan como espaciales, el 3.
Esta elección denominada descomposición ADM es arbitraria ya que RG no identifica ninguna de las cuatro componentes espaciotemporales como el tiempo, lo que da lugar al conocido como problema del tiempo en Gravedad Cuántica.
Lo interesante es lo siguiente, cuando tenemos una descomposición 3+1 la métrica en cuatro dimensiones g, induce una métrica sobre las hipersuperficies tridimensionales q. Pero estos espacios tridimensionales tendrán una cierta curvatura al verlas embebidas en el espacio de cuatros dimensiones, esto viene descrito por la segunda forma fundamental,K, del espacio tridimensional.
Pues bien, en estas hipersuperficies podemos definir el siguiente objeto:
Este objeto describe como cambian los vectores al ir de un punto a otro, descrito por , y como se ven influidos por la curvatura de la hipersuperficie, dado por la segunda forma fundamental .
es un parámetro real indeterminado. Se conoce como parámetro de Barbero-Immirzi, es un parámetro libre de la teoría que ha de ser determinado a través de argumentos físicos.
La cuestión esencial es que si uno desarrolla una teoría en base a esta A, conexión de Ashtekar, su cuantización no es posible. Sin embargo, esto no es problema porque como sabemos de teorías gauge dado un potencial gauge, la A, podemos describir la misma teoría empleando un objeto relacionado, su holonomía.
Una holonomía es el valor que tiene una determinada integral del objeto A a lo largo de un camino cerrado sobre un espacio. A este camino cerrado se le denomina loop, por esto se conoce a la teoría como Loop Quantum Gravity.
Resulta que la teoría se puede cuantizar si empleamos las holonomías en vez de los potenciales puros y duros.
Esta es una interesante dualidad que ya fue promulgada por Faraday, un campo se puede describir como una función que toma valores en cada punto, en nuestro caso la A, o como las líneas de campo, que son estas integrales que acabamos de describir, las holonomías. El paso de una a otra es directo a nivel clásico.
(Notemos que las líneas de campo eléctrico de una carga son lineas abiertas, pero si no tenemos cargas las líneas de campo son cerradas para verificar la ley de Gauss, esto son los análogos a los Loops)
Lo que ocurre es que el espaciotiempo sufre una discretización, ahora solo tiene sentido hablar de estas líneas, fuera de ellas no hay gravedad y no se puede definir la materia.
Los estados cuánticos y estructura discreta del espaciotiempo
Una vez que hemos cuantizado la teoría podemos describir las funciones de onda, estas funciones de onda dependerán de las holonomías de las conexiones sobre los loops.
Pero tenemos un problema tenemos una sobredeterminación de estados si empleamos loops.
Sin embargo esto se soluciona cuando uno se da cuenta que toda descripción basada en Loops se puede redescribir en base a lo que se conoce como grafos. Los grafos son líneas unidas en vértices. Uno puede pasar de un grafo a una descripción de Loops de forma directa. Lo interesante es que podemos definir estados invariantes bajo transformaciones gauge. Lo malo es que cualquier difeomorfismo cambiará el grafo, y dará estados distintos, por lo tanto si describimos una base de estados esta será infinita y no contable, lo que hace que el espacio de Hilbert no sea separable. Estos estados definidos sobre grafos, es decir, los estados cuyas funciones de onda dependen de las holonomías sobre los lados del grafo, se denominan spin-networks. Este concepto fué introducido por Roger Penrose sobre la base de otros argumentos.
Pero si hablamos de espacio de Hilbert es que tenemos definido un producto interno. Y en efecto lo tenemos, en LQG. Pero existe un problemilla, qué pasa si elegimos otro producto interno en el espacio de spin-networks. Esto es elegir otra representación para los observables cuánticos. En mecánica cuántica sabemos que toda representación es equivalente a la usual de Schrödinger, es decir, cualquier conjunto de observables elegidos (algebra de operadores) es unitariamente equivalente a la usual , es lo que se conoce como teorema de Stone-von Neumann.
En teoría cuántica de campos esto no se cumple en general cuando trabajamos en espacios curvos, es decir, podemos tener representaciones inequivalentes que dan lugar a diferentes físicas, hay que elegir la adecuada en términos físicos y no solo matemáticos.
Pues bien, en LQG, la invariancia bajo difeomorfismos asegura que la representación asociada a los spin-networks es la única posible. Existe un teorema de unicidad.
Proximamente...
Queda por hablar de:
a) Operadores geométricos
b) Dinámica
c) Propagador del gravitón
d) Entropía de un agujero negro.
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