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Consulta sobre la diferencia entre tensor contravariante y covariante.

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  • #16
    Mmmmm... ya que estamos puestos , quiza me aclares algo, mas allá de ser la "matriz" que representa la métrica, ... junto con su inversa son las "matrices que permiten transformar" vectores (tensor rango 1) o componentes de cualquier tensor de otro rango, que este descripto en coordenadas covariantes a las respectivas contravariantes y viceversa, de acuerdo no? son la famosas y la , ya que creo es lo que expresan las cuatro ecuaciones que inserte en la tabla.

    He modificado mi post anterior, quizá ahora se entienda mas claro

    es un vector con componentes y cada como publique antes es el cálculo de cualesquiera de las cuatro componentes anteriores con
    Última edición por Richard R Richard; 14/11/2019, 00:00:34.

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    • #17
      Escrito por Richard R Richard Ver mensaje
      Mmmmm... ya que estamos puestos , quiza me aclares algo, mas allá de ser la "matriz" que representa la métrica, ... junto con su inversa son las "matrices que permiten transformar" vectores (tensor rango 1) o componentes de cualquier tensor de otro rango, que este descripto en coordenadas covariantes a las respectivas contravariantes y viceversa, no? son la famosas y la
      Ahora que lo comentas déjame hacer otro pequeño comentario sobre el tema de los índices. La inversa de la métrica es y viendo esto uno estaría tentado a pensar que las componentes de la matriz inversa de un tensor de orden 2 cualquiera pueden ser obtenidas como , pero esto no es cierto. La métrica es un caso bastante particular pero en en general en el caso de los índices arriba representan una contracción con la métrica y nada más.

      Con este comentario parecería que la notación de Einstein es un poco endiablada pero realmente para trabajar con coordenadas es lo más fácil y rápido porque si no las ecuaciones serían una jungla.
      \dst \oint_S \vec{E} \cdot d \vec{S}=\dst \frac{Q}{\epsilon_0}

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      • #18
        Gracias por tu paciencia y tu tiempo;

        Escrito por Weip Ver mensaje
        ….Alguna vez te he hablado de esto pero insisto: es una operación entre las componentes del vector y de la matriz, no entre el vector y la matriz directamente. Es decir, la expresión no significa literalmente. El producto que se efectua en es un producto entre escalares (números) de toda la vida. Muchas veces verás el abuso de lenguaje de confundir por ejemplo con la matriz de la métrica pero es solo un atajo del lenguaje cuando ya se entiende por contexto de lo que se habla.
        Es que soy muy testarudo y me cuesta mucho entender las coasas.

        Cuando aumenta nuestro área de conocimiento aumenta nuestro perímetro de ignorancia (autor desconocido)
        No tengo talento, lo que hago, lo hago solo con mucho trabajo Maria Blanschard (Pintora)

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        • #19
          Escrito por Weip Ver mensaje
          …. El producto que se efectua en es un producto entre escalares (números) de toda la vida. Muchas veces verás el abuso de lenguaje de confundir por ejemplo con la matriz de la métrica pero es solo un atajo del lenguaje cuando ya se entiende por contexto de lo que se habla.
          A ver si voy empezando a entender las cosas;

          Partamos de , el término se repite en el término de la derecha. Según el convenio de sumación de Einstein al estar repetido se entiende como una sumatoria para distintos valores de , esto se traduciría en . Donde los distintos valores de y son escalares. De manera que tendríamos que este producto transforma un vector covariante (subíndice arriba) en un vector contravariante (subíndice bajo).

          ¿Es asi?
          Última edición por inakigarber; 14/11/2019, 23:47:42. Motivo: Corrección ortográfica
          Cuando aumenta nuestro área de conocimiento aumenta nuestro perímetro de ignorancia (autor desconocido)
          No tengo talento, lo que hago, lo hago solo con mucho trabajo Maria Blanschard (Pintora)

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          • #20
            Escrito por inakigarber Ver mensaje

            A ver si voy empezando a entender las cosas;

            Partamos de , el término se repite en el término de la derecha. Según el convenio de sumación de Einstein al estar repetido se entiende como una sumatoria para distintos valores de , esto se traduciría en . Donde los distintos valores de y son escalares. De manera que tendríamos que este producto transforma un vector covariante (subíndice arriba) en un vector contravariante (subíndice bajo).

            ¿Es asi?
            Sí, es correcto, y para cada valor de obtendrías una componente distinta del vector covariante. Si me permites el detalle titismiquis del dia: los índices griegos van de a o de a por convención. Si quieres índices que vayan del al utiliza letras como , , , etc.

            Edito:

            Ahora que me fijo aquí hay otra cosa a comentar.

            Escrito por inakigarber Ver mensaje
            De manera que tendríamos que este producto transforma un vector covariante (subíndice arriba) en un vector contravariante (subíndice bajo).
            Lo has dicho al revés: índice arriba es vector contravariante, índice abajo es vector covariante. Lo primero es un vector de toda la vida, lo segundo es una forma.
            Última edición por Weip; 15/11/2019, 00:28:06.
            \dst \oint_S \vec{E} \cdot d \vec{S}=\dst \frac{Q}{\epsilon_0}

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            • #21
              Buenas noches;

              Aún sigo teniendo dudas y no veo las cosas claras.
              Supongamos que tengo un vector contravariante de toda la vida cuyos componentes son que podría redefinirlos como , supongo que para pasarlos a los valores tendré que aplicar una matriz de rotación que me de como resultado los valores mencionados, pero todavía no se muy bien como tratar el tema.

              Saludos y gracias.
              Cuando aumenta nuestro área de conocimiento aumenta nuestro perímetro de ignorancia (autor desconocido)
              No tengo talento, lo que hago, lo hago solo con mucho trabajo Maria Blanschard (Pintora)

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              • #22
                A ver, Iñakigarber. Voy a ver si un ejemplo sencillo te aclara las cosas.

                Imagina que queremos describir vectores en un plano. Lo habitual es tomar dos vectores base unitarios y perpendiculares. Pero imaginate que queremos complicarnos la vida y tomamos como vectores base dos vectores arbitrarios (aunque independientes). Sean estos vectores . Cualquier vector del plano puede expresarse como una combinación de , . En esta descripción, son las componentes "contravariantes" del vector, porque frente a un cambio de base estas componentes se modifican con la matriz inversa a la que cambiaría los vectores de la base.

                Ahora imagina que queremos calcular la norma (al cuadrado) del vector . En este caso, ya no se cumple que . En general, tendremos que


                Esta expresion se piede poner en forma más compacta si definimos una matriz 2x2, , cuyos elementos sean los productos escalares de los vectores de la base. Entonces nos queda:



                Aqui la matriz es el famoso tensor métrico. A partir de esta expresión, podemos definir unas nuevas componentes y
                . Estas serían las componentes "covariantes", porque frente a un cambio de base se modifican por la misma matriz que cambia los vectores unitarios. Con esta definición, la norma del vector es
                .

                Puedes tomar como ejemplo una base de dos vectores de modulo uno que forman 60 grados. en ese caso, el tensor métrico es

                .

                Un vector cuyas componentes contravariantes sean , tendrá una norma , y unas componentes covariantes

                Un saludo
                Última edición por carroza; 19/11/2019, 15:51:51.

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                • #23

                  Buenas tardes y gracias por tu respuesta y por tu paciencia;

                  Creo que debe haber algo muy básico y evidente, pero que de todas maneras se me escapa, o sea que voy a ir por partes;

                  Escrito por carroza Ver mensaje
                  A ver, Iñakigarber. Voy a ver si un ejemplo sencillo te aclara las cosas.

                  Imagina que queremos describir vectores en un plano. Lo habitual es tomar dos vectores base unitarios y perpendiculares. Pero imaginate que queremos complicarnos la vida y tomamos como vectores base dos vectores arbitrarios (aunque independientes). Sean estos vectores . Cualquier vector del plano puede expresarse como una combinación de , . En esta descripción, son las componentes "contravariantes" del vector, porque frente a un cambio de base estas componentes se modifican con la matriz inversa a la que cambiaría los vectores de la base.

                  Ahora imagina que queremos calcular la norma (al cuadrado) del vector . En este caso, ya no se cumple que . En general, tendremos que


                  ...
                  En este aspecto totalmente de acuerdo. Pero me confundo con el ejemplo siguiente;
                  Escrito por carroza Ver mensaje

                  ....Puedes tomar como ejemplo una base de dos vectores de modulo uno que forman 60 grados. en ese caso, el tensor métrico es

                  .
                  Un vector cuyas componentes contravariantes sean , tendrá una norma , y unas componentes covariantes
                  Un saludo
                  Bien, el vector contravariante tendrá un módulo , bien, de acuerdo con la explicación que me das y el módulo del vector covariante sería , con lo que el módulo de ambos vectores no coincidiría.

                  Bien, creo que el malentendido parte de esta cuestión.
                  En esta dirección que se me indicó anteriormente, aparece la siguiente imagen;

                  Haz clic en la imagen para ampliar  Nombre:	Basis.gif Vitas:	4 Tamaño:	20,3 KB ID:	344106
                  Bien, en ella puede verse al vector A como la suma de dos vectores contravariantes , pero también como la suma de dos vectores covariantes que aún siendo de módulos distintos, dan el mismo valor resultante, de manera que tengo la idea, creo que equivocada, que el módulo de un vector contravariante y el de su vector covariante tienen que ser iguales.

                  Veo que sigo hecho un lío.
                  Archivos adjuntos
                  Última edición por inakigarber; 20/11/2019, 23:15:24. Motivo: añadir \ que faltaba en código Latex
                  Cuando aumenta nuestro área de conocimiento aumenta nuestro perímetro de ignorancia (autor desconocido)
                  No tengo talento, lo que hago, lo hago solo con mucho trabajo Maria Blanschard (Pintora)

                  Comentario


                  • #24
                    Hola inakigarber.
                    Escrito por inakigarber Ver mensaje
                    Bien, el vector contravariante tendrá un módulo , bien, de acuerdo con la explicación que me das y el módulo del vector covariante sería , con lo que el módulo de ambos vectores no coincidiría.
                    Sé que me repito mucho últimamente en lo hilos pero sigo insistiendo en las ideas fundamentales: el tensor métrico depende de la base. Esto significa que en la base canónica pero con un cambio de base puedes llegar a un tensor métrico , como el que propone carroza. Si cambias los vectores y por dos vectores unitarios que forman sesenta grados entre ellos entonces obtienes un nuevo tensor métrico que es el que ya ha sido escrito. Ahora los módulos ya no se calculan usando como has hecho en el fragmento que he citado, si no que se calculan usando . Así pues si tienes el vector contravariante de coordenadas en la base que comenta carroza su módulo al cuadrado vendrá dado por:


                    Repasa tú mismo el cálculo para autoconvencerte del resultado. Quizás a la práctica puedes diferenciar los módulos mediante notaciones como para uno y para el otro.

                    Sobre la imagen que has puesto, la clave es justo lo que estoy explicando: el vector está expresado en bases distintas.
                    Última edición por Weip; 20/11/2019, 19:13:52.
                    \dst \oint_S \vec{E} \cdot d \vec{S}=\dst \frac{Q}{\epsilon_0}

                    Comentario


                    • #25
                      A ver inakigarber , el post 22 de carroza lo explica muy bien. Voy a repetir casi su post, así que paciencia.

                      Lo primero de todo, [el cuadrado de] la norma de un vector se define como el producto escalar del vector por sí mismo, no la suma de los cuadrados de sus componentes. Eso sólo ocurre si los dos vectores son perpendiculares.

                      Si elegimos dos vectores base unitarios y que forman un ángulo podemos expresar cualquier vector como



                      La norma


                      que desarrollando da la fórmula genera que puso carroza.



                      Ahora llamamos






                      sustituyendo



                      En nuestro caso, los vectores de la base unitarios forman entre si un ángulo de 60º, por tanto






                      Por tanto, la norma de es usando las componentes del vector en la base dada.

                      Veo que Weip ha respondido mientras escribía, así que dejo esta parte del cálculo de la norma con la metrica

                      Que quede claro, si el vector es el mismo, da igual con respecto a que componentes lo refiramos, su longitud será la misma.
                      Última edición por Fortuna; 20/11/2019, 19:59:06.
                      Cuanto más estudio, más sé lo que ignoro.

                      Comentario


                      • #26
                        Escrito por Weip Ver mensaje
                        Hola inakigarber.

                        Sé que me repito mucho últimamente en lo hilos pero sigo insistiendo en las ideas fundamentales....
                        No es que te repitas mucho en los hilos, es que yo soy bastante corto y me cuesta mucho entender conceptos, y este caso me esta costando especialmente, espero entenderlo antes de acabar con vuestra paciencia.

                        Si considero el módulo del vector como un escalar (es decir, un número) este será invariante respecto al sistema de coordenadas que use, de manera que en la ecuación que pones arriba y comparándola con la figura que repetí en el post #23 el término representaría al cuadrado del módulo A, el término el vector contravariante, el término al vector covariante y finalmente el término al tensor métrico. De manera que dicha figura y la expresión que he reproducido significarían lo mismo.

                        ¿Es así o continuo echando balones fuera?
                        Última edición por inakigarber; 21/11/2019, 22:31:02.
                        Cuando aumenta nuestro área de conocimiento aumenta nuestro perímetro de ignorancia (autor desconocido)
                        No tengo talento, lo que hago, lo hago solo con mucho trabajo Maria Blanschard (Pintora)

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                        • #27
                          Escrito por inakigarber Ver mensaje
                          el término el vector contravariante, el término al vector covariante
                          Esta parte no es correcta y quizás es consecuencia de haberme explicado de manera confusa. Recuerdo que una vez te dije que los vectores contravariantes eran vectores columna y los vectores covariantes eran vectores fila pero en aquel mismo mensaje te avisé de que era un eslógan y que a la hora de operar esta forma de pensar no servía porque las dimensiones de los vectores y matrices no cuadran. Pues bien, aunque haya escrito el vector en horizontal para hacer la operación que debía hacer, eso no indica que el vector sea covariante. El motivo por el que se pone así es porque la métrica es una forma bilineal y así actúa sobre los vectores pero dada la confusión es mejor que te lo mires en coordenadas como te han explicado tanto carroza como Fortuna y calcular . Yo creo que así te aclararás más.

                          Otra cosilla: no es el vector covariante asociado a . Es tentador pensar así pero recuerda que para pasar un vector contravariante a vector covariante has de utilizar la métrica: . Tal como te dijo carroza, el resultado será , .
                          \dst \oint_S \vec{E} \cdot d \vec{S}=\dst \frac{Q}{\epsilon_0}

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                          • #28
                            Gracias por tu respuesta;

                            No estaba muy satisfecho con lo que habia escrito (me parece una soberana tontería) y buscando en internet he encontrado el siguiente video que lo he visionado en su totalidad y que mañana lo veré con más detalle (aquí son las 0 horas y voy a descansar), pero voy pegar el siguiente pantallazo que creo que me ha aclarado la cuestión sobre la diferencia entre covariante y contravariante;
                            Haz clic en la imagen para ampliar  Nombre:	Covariante y contravariante.gif Vitas:	0 Tamaño:	215,8 KB ID:	344147
                            La proyección contravariante de un vector es la proyección paralela de toda la vida en tanto que la contravariante sería perpendicular a los ejes de coordenadas. En una proyección en que los ejes de coordenadas sean perpendiculares ambas coinciden. En caso contrario no.

                            Creo que ahora si empiezo a ir en una mejor dirección.

                            Saludos y gracias.
                            Cuando aumenta nuestro área de conocimiento aumenta nuestro perímetro de ignorancia (autor desconocido)
                            No tengo talento, lo que hago, lo hago solo con mucho trabajo Maria Blanschard (Pintora)

                            Comentario


                            • #29
                              Buenas noches;
                              Para terminar con el tema, si no me equivoco, puedo pasar los componentes contravariantes de un vector a covariantes utilizando la transformación;

                              Ecuación que habia visto anteriormente, pero que no entendí.
                              La ecuación inversa me ha costado bastante más y me ha salido;


                              Si no estoy equivocado.
                              Última edición por inakigarber; 27/11/2019, 00:09:19.
                              Cuando aumenta nuestro área de conocimiento aumenta nuestro perímetro de ignorancia (autor desconocido)
                              No tengo talento, lo que hago, lo hago solo con mucho trabajo Maria Blanschard (Pintora)

                              Comentario


                              • #30
                                Escrito por inakigarber Ver mensaje
                                ... La ecuación inversa me ha costado bastante más ...
                                Kaixo Iñaki, no se como lo has hecho, pero como se trata de una matriz 2x2, hallar la matriz inversa es muy fácil y rápido aplicando que "La matriz inversa es igual a la matriz de los adjuntos traspuesta dividida por el determinante"



                                En tu caso:



                                La matriz formada por los adjuntos en casos 2x2 es muy fácil:



                                Ahora la trasponemos, simplemente cambiamos filas por columnas:



                                El determinante de la matriz A es también fácil al ser 2x2, aplicando la Regla de Sarrus:



                                Dividimos y ya está:



                                Saludos.
                                Última edición por Alriga; 27/11/2019, 12:45:33.
                                "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch! "

                                Comentario

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