Consulta sobre la diferencia entre tensor contravariante y covariante.

[Richard R Richard]

Mmmmm... ya que estamos puestos , quiza me aclares algo, mas allá de ser la "matriz" que representa la métrica, ... $g_{\mu\nu}$ junto con su inversa $g^{\mu\nu}$son las "matrices que permiten transformar" vectores (tensor rango 1) o componentes de cualquier tensor de otro rango, que este descripto en coordenadas covariantes a las respectivas contravariantes y viceversa, de acuerdo no? son la famosas $M$ y la $M^{-1}$, ya que creo es lo que expresan las cuatro ecuaciones que inserte en la tabla.

He modificado mi post anterior, quizá ahora se entienda mas claro

$v_{\mu}$ es un vector con componentes $(v_0,v_1,v_2,v_3)$ y cada $v_j$ como publique antes es el cálculo de cualesquiera de las cuatro componentes anteriores con $j\in(0,1,2,3)$

[Weip]

Mmmmm... ya que estamos puestos , quiza me aclares algo, mas allá de ser la "matriz" que representa la métrica, ... $g_{\mu\nu}$ junto con su inversa $g^{\mu\nu}$son las "matrices que permiten transformar" vectores (tensor rango 1) o componentes de cualquier tensor de otro rango, que este descripto en coordenadas covariantes a las respectivas contravariantes y viceversa, no? son la famosas $M$ y la $M^-1$

Ahora que lo comentas déjame hacer otro pequeño comentario sobre el tema de los índices. La inversa de la métrica $g_{\mu\nu}$ es $g^{\mu\nu}$ y viendo esto uno estaría tentado a pensar que las componentes de la matriz inversa de un tensor de orden 2 cualquiera $T_{\mu\nu}$ pueden ser obtenidas como $T^{\mu\nu}$, pero esto no es cierto. La métrica es un caso bastante particular pero en en general en el caso de $T_{\mu\nu}$ los índices arriba representan una contracción con la métrica y nada más.

Con este comentario parecería que la notación de Einstein es un poco endiablada pero realmente para trabajar con coordenadas es lo más fácil y rápido porque si no las ecuaciones serían una jungla.

[inakigarber]

Gracias por tu paciencia y tu tiempo;

….Alguna vez te he hablado de esto pero insisto: $v_{\mu}=g_{\mu \nu}v^{\nu}$ es una operación entre las componentes del vector y de la matriz, no entre el vector y la matriz directamente. Es decir, la expresión $v_{\mu}=g_{\mu \nu}v^{\nu}$ no significa $v^T=Gv$ literalmente. El producto que se efectua en $v_{\mu}=g_{\mu \nu}v^{\nu}$ es un producto entre escalares (números) de toda la vida. Muchas veces verás el abuso de lenguaje de confundir por ejemplo $g_{\mu\nu}$ con la matriz de la métrica pero es solo un atajo del lenguaje cuando ya se entiende por contexto de lo que se habla.

Es que soy muy testarudo y me cuesta mucho entender las coasas.

[inakigarber]

…. El producto que se efectua en $v_{\mu}=g_{\mu \nu}v^{\nu}$ es un producto entre escalares (números) de toda la vida. Muchas veces verás el abuso de lenguaje de confundir por ejemplo $g_{\mu\nu}$ con la matriz de la métrica pero es solo un atajo del lenguaje cuando ya se entiende por contexto de lo que se habla.

A ver si voy empezando a entender las cosas;

Partamos de $v_{\mu}=g_{\mu \nu}v^{\nu}$, el término $\nu$ se repite en el término de la derecha. Según el convenio de sumación de Einstein al estar repetido se entiende como una sumatoria para distintos valores de $\nu=1,2,3$, esto se traduciría en $v_{\mu}=g_{\mu 1}v^1+g_{\mu 2}v^2+g_{\mu 3}v^3$. Donde los distintos valores de $g_{\mu x}$ y $v^x$ son escalares. De manera que tendríamos que este producto transforma un vector covariante (subíndice arriba) en un vector contravariante (subíndice bajo).

¿Es asi?

[Weip]

A ver si voy empezando a entender las cosas;

Partamos de $v_{\mu}=g_{\mu \nu}v^{\nu}$, el término $\nu$ se repite en el término de la derecha. Según el convenio de sumación de Einstein al estar repetido se entiende como una sumatoria para distintos valores de $\nu=1,2,3$, esto se traduciría en $v_{\mu}=g_{\mu 1}v^1+g_{\mu 2}v^2+g_{\mu 3}v^3$. Donde los distintos valores de $g_{\mu x}$ y $v^x$ son escalares. De manera que tendríamos que este producto transforma un vector covariante (subíndice arriba) en un vector contravariante (subíndice bajo).

¿Es asi?

Sí, es correcto, y para cada valor de $\mu$ obtendrías una componente distinta del vector covariante. Si me permites el detalle titismiquis del dia: los índices griegos van de a $3$ o de $1$ a $4$ por convención. Si quieres índices que vayan del $1$ al $3$ utiliza letras como $i$, $j$, $k$, etc.

Edito:

Ahora que me fijo aquí hay otra cosa a comentar.

De manera que tendríamos que este producto transforma un vector covariante (subíndice arriba) en un vector contravariante (subíndice bajo).

Lo has dicho al revés: índice arriba es vector contravariante, índice abajo es vector covariante. Lo primero es un vector de toda la vida, lo segundo es una forma.

[inakigarber]

Buenas noches;

Aún sigo teniendo dudas y no veo las cosas claras.
Supongamos que tengo un vector contravariante de toda la vida cuyos componentes son $x=5,y=2\\y\\z=7$ que podría redefinirlos como $V^1=5,V^2=2\ \ y V^3=7$, supongo que para pasarlos a los valores $V_1,V_2,V_3$ tendré que aplicar una matriz de rotación que me de como resultado los valores mencionados, pero todavía no se muy bien como tratar el tema.

Saludos y gracias.

[carroza]

A ver, Iñakigarber. Voy a ver si un ejemplo sencillo te aclara las cosas.

Imagina que queremos describir vectores en un plano. Lo habitual es tomar dos vectores base unitarios y perpendiculares. Pero imaginate que queremos complicarnos la vida y tomamos como vectores base dos vectores arbitrarios (aunque independientes). Sean estos vectores $\hat u_1, \hat u_2$. Cualquier vector $\vec v$ del plano puede expresarse como una combinación de $\hat u_1, \hat u_2$ , $\vec v = x^1 \hat u_1 + x^2 \hat u_2$. En esta descripción, $x^1, x^2$ son las componentes "contravariantes" del vector, porque frente a un cambio de base estas componentes se modifican con la matriz inversa a la que cambiaría los vectores de la base.

Ahora imagina que queremos calcular la norma (al cuadrado) del vector $\vec v$. En este caso, ya no se cumple que $|\vec v|^2 = (x^1)^2 + (x^2)^2$. En general, tendremos que
$|\vec v|^2 = (x^1)^2 (\hat u_1 \cdot \hat u_1) + (x^1)(x^2) (\hat u_1 \cdot \hat u_2) + (x^2)(x^1) (\hat u_2 \cdot \hat u_1) + (x^2)^2 (\hat u_2 \cdot \hat u_2)$

Esta expresion se piede poner en forma más compacta si definimos una matriz 2x2, $g_{ij}$, cuyos elementos sean los productos escalares de los vectores de la base. Entonces nos queda:

$|\vec v|^2 = (x^1)^2 g_{11} + (x^1)(x^2) g_{12} + (x^2)(x^1) g_{21} + (x^2)^2 g_{22}$

Aqui la matriz $g_{ij}$ es el famoso tensor métrico. A partir de esta expresión, podemos definir unas nuevas componentes $x_1 = g_{11} x^1 + g_{12} x^2$ y
$x_2 = g_{21} x^1 + g_{22} x^2$. Estas serían las componentes "covariantes", porque frente a un cambio de base se modifican por la misma matriz que cambia los vectores unitarios. Con esta definición, la norma del vector es
$|\vec v|^2 = x^1 x_1 + x^2 x_2$.

Puedes tomar como ejemplo una base de dos vectores de modulo uno que forman 60 grados. en ese caso, el tensor métrico es

$g_{ij} = \left( {\begin{array}{cc} 1 & 1/2 \\ 1/2 & 1 \end{array}} \right)$.

Un vector cuyas componentes contravariantes sean $x^1=1, x^2=1$, tendrá una norma $|\vec v|^2 = 3$, y unas componentes covariantes $x_1=3/2, x_2=3/2$

Un saludo

[inakigarber]

Buenas tardes y gracias por tu respuesta y por tu paciencia;

Creo que debe haber algo muy básico y evidente, pero que de todas maneras se me escapa, o sea que voy a ir por partes;

A ver, Iñakigarber. Voy a ver si un ejemplo sencillo te aclara las cosas.

Imagina que queremos describir vectores en un plano. Lo habitual es tomar dos vectores base unitarios y perpendiculares. Pero imaginate que queremos complicarnos la vida y tomamos como vectores base dos vectores arbitrarios (aunque independientes). Sean estos vectores $\hat u_1, \hat u_2$. Cualquier vector $\vec v$ del plano puede expresarse como una combinación de $\hat u_1, \hat u_2$ , $\vec v = x^1 \hat u_1 + x^2 \hat u_2$. En esta descripción, $x^1, x^2$ son las componentes "contravariantes" del vector, porque frente a un cambio de base estas componentes se modifican con la matriz inversa a la que cambiaría los vectores de la base.

Ahora imagina que queremos calcular la norma (al cuadrado) del vector $\vec v$. En este caso, ya no se cumple que $|\vec v|^2 = (x^1)^2 + (x^2)^2$. En general, tendremos que
$|\vec v|^2 = (x^1)^2 (\hat u_1 \cdot \hat u_1) + (x^1)(x^2) (\hat u_1 \cdot \hat u_2) + (x^2)(x^1) (\hat u_2 \cdot \hat u_1) + (x^2)^2 (\hat u_2 \cdot \hat u_2)$

...

En este aspecto totalmente de acuerdo. Pero me confundo con el ejemplo siguiente;

....Puedes tomar como ejemplo una base de dos vectores de modulo uno que forman 60 grados. en ese caso, el tensor métrico es

$g_{ij} = \left( {\begin{array}{cc} 1 & 1/2 \\ 1/2 & 1 \end{array}} \right)$.
Un vector cuyas componentes contravariantes sean $x^1=1, x^2=1$, tendrá una norma $|\vec v|^2 = 3$, y unas componentes covariantes $x_1=3/2, x_2=3/2$
Un saludo

Bien, el vector contravariante tendrá un módulo $|\vec v|^2=1^2+1^2=2$, bien, de acuerdo con la explicación que me das y el módulo del vector covariante sería $|\vec v_1|^2=(\dfrac 2 3)^2+(\dfrac 2 3)^2=\dfrac{3}{\sqrt 2}$, con lo que el módulo de ambos vectores no coincidiría.

Bien, creo que el malentendido parte de esta cuestión.
En esta dirección que se me indicó anteriormente, aparece la siguiente imagen;


Bien, en ella puede verse al vector A como la suma de dos vectores contravariantes $a^1 y a^2$, pero también como la suma de dos vectores covariantes que aún siendo de módulos distintos, dan el mismo valor resultante, de manera que tengo la idea, creo que equivocada, que el módulo de un vector contravariante y el de su vector covariante tienen que ser iguales.

Veo que sigo hecho un lío.

[Weip]

Hola inakigarber.

Bien, el vector contravariante tendrá un módulo $|vec v|^2=1^2+1^2=2$, bien, de acuerdo con la explicación que me das y el módulo del vector covariante sería $|\vec v_1|^2=(\dfrac 2 3)^2+(\dfrac 2 3)^2=\dfrac{3}{\sqrt 2}$, con lo que el módulo de ambos vectores no coincidiría.

Sé que me repito mucho últimamente en lo hilos pero sigo insistiendo en las ideas fundamentales: el tensor métrico depende de la base. Esto significa que $g_{ij}=\delta_{ij}$ en la base canónica pero con un cambio de base puedes llegar a un tensor métrico $g_{ij}\neq\delta_{ij}$, como el que propone carroza. Si cambias los vectores $(1,0)$ y $(0,1)$ por dos vectores unitarios que forman sesenta grados entre ellos entonces obtienes un nuevo tensor métrico que es el que ya ha sido escrito. Ahora los módulos ya no se calculan usando $\delta_{ij}$ como has hecho en el fragmento que he citado, si no que se calculan usando $g_{ij}$. Así pues si tienes el vector contravariante de coordenadas $(1, 1)$ en la base que comenta carroza su módulo al cuadrado vendrá dado por:

$|\vec{v}|^2=\left(\begin{matrix}1 & 1 \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1 & 1/2 \\ 1/2 &1 \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix}\right)=3$

Repasa tú mismo el cálculo para autoconvencerte del resultado. Quizás a la práctica puedes diferenciar los módulos mediante notaciones como $|\cdot|_{\delta_{ij}}$ para uno y $|\cdot|_{g_{ij}}$ para el otro.

Sobre la imagen que has puesto, la clave es justo lo que estoy explicando: el vector está expresado en bases distintas.

[Fortuna]

A ver inakigarber , el post 22 de carroza lo explica muy bien. Voy a repetir casi su post, así que paciencia.

Lo primero de todo, [el cuadrado de] la norma de un vector se define como el producto escalar del vector por sí mismo, no la suma de los cuadrados de sus componentes. Eso sólo ocurre si los dos vectores son perpendiculares.

Si elegimos dos vectores base unitarios $\hat u_1$ y $\hat u_2$ que forman un ángulo $\theta$ podemos expresar cualquier vector como

$\vec v = x^1 \hat u_1 + x^2 \hat u_2$

La norma
$|\vec{v}|^{2}=\vec{v}\cdot\vec{v}=(x^1 \hat u_1 + x^2 \hat u_2) \cdot (x^1 \hat u_1 + x^2 \hat u_2)$

que desarrollando da la fórmula genera que puso carroza.

$|\vec v|^2 = (x^1)^2 (\hat u_1 \cdot \hat u_1) + (x^1)(x^2) (\hat u_1 \cdot \hat u_2) + (x^2)(x^1) (\hat u_2 \cdot \hat u_1) + (x^2)^2 (\hat u_2 \cdot \hat u_2)$

Ahora llamamos

$g_{11}=\hat u_1 \cdot \hat u_1$
$g_{12}=\hat u_1 \cdot \hat u_2$
$g_{21}=\hat u_2 \cdot \hat u_1$
$g_{22}=\hat u_2 \cdot \hat u_2$

sustituyendo

$|\vec v|^2 = (x^1)^2 g_{11} + (x^1)(x^2) g_{12} + (x^2)(x^1) g_{21} + (x^2)^2 g_{22}$

En nuestro caso, los vectores de la base unitarios forman entre si un ángulo de 60º, por tanto

$g_{11}=\hat u_1 \cdot \hat u_1=1$
$g_{12}=\hat u_1 \cdot \hat u_2=\frac{1}{2}$
$g_{21}=\hat u_2 \cdot \hat u_1=\frac{1}{2}$
$g_{22}=\hat u_2 \cdot \hat u_2=1$

Por tanto, la norma de $\vec v$ es $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+1=3$ usando las componentes del vector en la base dada.

Veo que Weip ha respondido mientras escribía, así que dejo esta parte del cálculo de la norma con la metrica

Que quede claro, si el vector es el mismo, da igual con respecto a que componentes lo refiramos, su longitud será la misma.

[inakigarber]

Hola inakigarber.

Sé que me repito mucho últimamente en lo hilos pero sigo insistiendo en las ideas fundamentales....

No es que te repitas mucho en los hilos, es que yo soy bastante corto y me cuesta mucho entender conceptos, y este caso me esta costando especialmente, espero entenderlo antes de acabar con vuestra paciencia.

Si considero el módulo del vector como un escalar (es decir, un número) este será invariante respecto al sistema de coordenadas que use, de manera que en la ecuación que pones arriba y comparándola con la figura que repetí en el post #23 $|\vec{v}|^2=\left(\begin{matrix}1 & 1 \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1 & 1/2 \\ 1/2 &1 \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix}\right)=3$ el término $|\vec{v}|^2=3$ representaría al cuadrado del módulo A, el término $\left(\begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix}\right)$ el vector contravariante, el término$\left(\begin{matrix}1 & 1 \end{matrix}\right)$ al vector covariante y finalmente el término $\left(\begin{matrix}1 & 1/2 \\ 1/2 &1 \end{matrix}\right)$ al tensor métrico. De manera que dicha figura y la expresión que he reproducido significarían lo mismo.

¿Es así o continuo echando balones fuera?

[Weip]

el término $\left(\begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix}\right)$ el vector contravariante, el término$\left(\begin{matrix}1 & 1 \end{matrix}\right)$ al vector covariante

Esta parte no es correcta y quizás es consecuencia de haberme explicado de manera confusa. Recuerdo que una vez te dije que los vectores contravariantes eran vectores columna y los vectores covariantes eran vectores fila pero en aquel mismo mensaje te avisé de que era un eslógan y que a la hora de operar esta forma de pensar no servía porque las dimensiones de los vectores y matrices no cuadran. Pues bien, aunque haya escrito el vector en horizontal para hacer la operación que debía hacer, eso no indica que el vector sea covariante. El motivo por el que se pone así es porque la métrica es una forma bilineal y así actúa sobre los vectores pero dada la confusión es mejor que te lo mires en coordenadas como te han explicado tanto carroza como Fortuna y calcular $|\vec v|^2 = (x^1)^2 g_{11} + (x^1)(x^2) g_{12} + (x^2)(x^1) g_{21} + (x^2)^2 g_{22}$. Yo creo que así te aclararás más.

Otra cosilla: $\left(\begin{matrix}1 & 1 \end{matrix}\right)$ no es el vector covariante asociado a $\left(\begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix}\right)$. Es tentador pensar así pero recuerda que para pasar un vector contravariante a vector covariante has de utilizar la métrica: $v_i=g_{ij}v^j$. Tal como te dijo carroza, el resultado será $v_1=3/2$, $v_2=3/2$.

[inakigarber]

Gracias por tu respuesta;

No estaba muy satisfecho con lo que habia escrito (me parece una soberana tontería) y buscando en internet he encontrado el siguiente video que lo he visionado en su totalidad y que mañana lo veré con más detalle (aquí son las 0 horas y voy a descansar), pero voy pegar el siguiente pantallazo que creo que me ha aclarado la cuestión sobre la diferencia entre covariante y contravariante;

La proyección contravariante de un vector es la proyección paralela de toda la vida en tanto que la contravariante sería perpendicular a los ejes de coordenadas. En una proyección en que los ejes de coordenadas sean perpendiculares ambas coinciden. En caso contrario no.

Creo que ahora si empiezo a ir en una mejor dirección.

Saludos y gracias.

[inakigarber]

Buenas noches;
Para terminar con el tema, si no me equivoco, puedo pasar los componentes contravariantes de un vector a covariantes utilizando la transformación;
$\left( {\begin{array}{cc} x_1 \\ x_2 \end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{cc} 1 & cos(a) \\ 0 & sen(a) \end{array}} \right)<br /> \left( {\begin{array}{cc} x^1\\ x^2\end{array}} \right)$
Ecuación que habia visto anteriormente, pero que no entendí.
La ecuación inversa me ha costado bastante más y me ha salido;
$\left( {\begin{array}{cc} x^1 \\ x^2 \end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{cc} 1 & -cotg(a) \\ 0 & cosec(a) \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{cc} x_1\\ x_2\end{array}} \right)$

Si no estoy equivocado.

[Alriga]

... La ecuación inversa me ha costado bastante más ...

Kaixo Iñaki, no se como lo has hecho, pero como se trata de una matriz 2x2, hallar la matriz inversa es muy fácil y rápido aplicando que "La matriz inversa es igual a la matriz de los adjuntos traspuesta dividida por el determinante"

$A^{-1}=\dfrac{(adj \ A)^T}{|A|}$

En tu caso:

$A=\left( {\begin{array}{cc} 1 & \cos a \\ 0 & \sin a \end{array}} \right)$

La matriz formada por los adjuntos en casos 2x2 es muy fácil:

$adj \ A=\left( {\begin{array}{cc} \sin a & 0 \\ -\cos a & 1 \end{array}} \right)$

Ahora la trasponemos, simplemente cambiamos filas por columnas:

$(adj \ A)^T=\left( {\begin{array}{cc} \sin a & -\cos a \\ 0 & 1 \end{array}} \right)$

El determinante de la matriz A es también fácil al ser 2x2, aplicando la Regla de Sarrus:

$|A|=\sin a$

Dividimos y ya está:

$A^{-1}=\left( {\begin{array}{cc} 1 & -\cot a \\ 0 & \csc a \end{array}} \right)$

Saludos.