Consulta sobre herramientas matemáticas de mecánica cuántica, (producto escalar)

[sater]

Re: Consulta sobre herramientas matemáticas de ma mecánica cuántica, (producto escalar)

Buenas Inakigarber.

Lo que estas poniendo entiendo que es el producto escalar entre dos vectores $\varphi,\psi$. Como estos vectores pertenecen a un espacio vectorial complejo, su producto escalar tiene algunas propiedades curiosas. Quitando la segunda que listas (que ocurre igual con los vectores de toda la vida), tenemos que:

- El producto escalar es un número. Cuando los vectores son reales, el número es real, luego no importa hacer $\vec u \cdot \vec v$ que $\vec v \cdot \vec u$ (se dice que el producto es conmutativo). Ahora el resultado es un número complejo, y resulta que el orden importa. Si multiplicar en cierto orden nos da un número complejo, multiplicar en el orden contrario resulta su conjugado (de ahí el asterisco) (se dice que el producto es hermítico, esto tiene su explicación técnica pero creo que no interesa en este nivel).

- En la tercera, resulta que cuando se quiere aplicar la propiedad distributiva y es en el primer vector donde tenemos una combinación lineal de vectores, los coeficientes de la combinación (que pueden ser números complejos) "salen" del producto como los conjugados complejos. Esta se deriva de la anterior realmente y de la distributiva.

- La última que citas es la definición usual de vectores perpendiculares: aquellos cuyo producto escalar es nulo.

[inakigarber]

Buenas noches;
Estoy repasando un capítulo del Cohen relativo a las herramientas matemáticas de la mecánica cuántica y me he encontrado con algo que no he debido entenderlo muy bien.
$(\varphi,\psi)=(\psi,\varphi)*$
$(\varphi,\lambda_1\psi_1+\lambda_2\psi_2)=\lambda_1(\varphi,\psi_1)+\lambda_2(\varphi,\psi_2)$
$(\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2,\psi)=\lambda_1*(\varphi_1,\psi)+\lambda_2*(\varphi_2,\psi)$

Me doy cuenta repasándolo que no he entendido la demostración de estas ecuaciones y el significado de los asteriscos que aparecen en la primera y última ecuación, asi como el valor de las variables $\lambda_1$ y $\lambda_2$, ¿son números reales o complejos?

Lo que sí he entendido es el párrafo siguiente en el que dice (traducción mia, el original está en Ingles) Si $If(\varphi,\psi)=0,\ \varphi_(r)\ \ y\ \psi_(r)$, son perpendiculares.

¿Como podría entender el conjunto de ecuaciones arriba expuesto?

Saludos y gracias,